高中数学 第三章 导数及其应用 3.2 导数的运算 3.2.3 导数的四则运算法则学案 新人教B版选修11.doc

3.2.3导数的四则运算法则能利用导数的四则运算法则求较简单初等函数的导数1初等函数由_经过有限次四则运算和有限次复合构成初等函数不要求对由基本初等函数经过复合构成的初等函数求导，即不要求对复合函数求导【做一做1】下列函数不是初等函数的为()aycbyx2cyxsin xdy2导数的四则运算法则设f(x)，g(x)是可导的，则(1)函数和(或差)的求导法则：f(x)g(x)_.即两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数_这个法则可推广到任意有限个可导函数的和(或差)，即(f1f2fn)f1f2fn.【做一做2】函数yx5x的导数为_(2)函数积的求导法则：f(x)g(x)_.即两个函数的积的导数，等于_个函数的导数乘上第二个函数，加上第一个函数乘上_个函数的导数【做一做3】cf(x)_.(其中c为常数，f(x)可导)cf(x)cf(x)此式可表述为：常数与函数积的导数，等于常数乘以函数的导数(3)函数商的求导法则：_(其中g(x)0)【做一做4】_.(其中g(x)可导且g(x)0)1对导数的四则运算法则的理解剖析：(1)若两个函数可导，则它们的和、差、积、商必可导这是因为公式中的每个函数要求在其定义域内可导，所以在其公共定义域内可导，即在它们的和、差、积、商的定义域内可导例如，f(x)log3xx2，函数f(x)是h(x)log3x与g(x)x2的和，h(x)在其定义域(0，)内可导，g(x)在其定义域r内可导，则f(x)在其定义域(0，)内可导(2)两个函数不可导，但它们的和、差、积、商(分母不为零)可能可导例如，设f(x)sin x，g(x)cos x，则f(x)，g(x)在x0处不可导，但它们的和f(x)g(x)sin xcos x在x0处可导2如何运用运算法则求初等函数的导数？剖析：要求初等函数的导数需要准确地把函数分割为基本初等函数的和、差、积、商的形式再利用运算法则求导在求导过程中，要仔细分析函数解析式的结构特征，紧扣求导法则，联系基本初等函数的求导公式进行求导对于不具备求导法则结构形式的要进行适当的恒等变形如：ycos 2x，此函数不是基本初等函数也不具备求导法则的结构形式，可对其进行变形为ycos 2x2sin xcos x，然后用积的导数运算法则求导题型一 应用求导法则求导数【例1】求下列函数的导数：(1)yx43x32x5；(2)yxlog3x；(3)y；(4)yxsincos.分析：对于前三个函数是由基本初等函数经过加减乘除四则运算得到的简单的初等函数，求导时可直接运用求导法则进行求导对于函数(4)不符合求导法则的公式结构形式，先将其解析式运用三角恒等变形公式进行适当变形，然后选用相应的法则，结合求导公式求导反思：运用求导法则和导数公式求导的基本步骤：(1)分析所给函数yf(x)的结构和特征，对于不符合求导法则公式结构形式的可适当进行变形(2)选择恰当的导数公式和求导法则进行求导(3)整理后得结果题型二 求曲线的切线【例2】(2010天津高考)已知函数f(x)ax3x21(xr)，其中a1.求曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程分析：利用导数公式和求导法则求出f(2)，再用点(2，f(2)在曲线上求得f(2)，即可求切线方程反思：能够利用导数公式和求导法则准确地对所给函数求导是解决问题的关键，因此要熟记导数公式表和求导法则【例3】(2010陕西高考)已知函数f(x)，g(x)aln x，ar.若曲线yf(x)与曲线yg(x)相交且在交点处有相同的切线，求a的值及该切线的方程分析：利用交点坐标满足两个函数解析式和两曲线在交点处切线相同得到两个方程，联立，解得a，xe2.进一步可求切线方程反思：在不知道切点的情况下，求切线方程时一般地先设切点坐标，运用已知条件列方程或方程组求切点坐标，然后求切线方程1下列运算正确的是()a(ax2bxc)a(x2)b(x)b(sin x2x2)(sin x)(2)(x2)c(cos xsin x)(sin x)cos x(cos x)cos xd(3x2)(2x3)2x(2x3)3x2(3x2)2函数yx的导数是()a1 b1c1 d13 f(x)ax33x22，若f(1)4，则a的值等于()a b c d4(2010全国卷)若曲线yx2axb在点(0，b)处的切线方程是xy10，则()aa1，b1ba1，bca1，b1da1，b15若曲线f(x)ax5ln x存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是_答案：基础知识梳理1基本初等函数【做一做1】c2(1)f(x)g(x)和(或差)【做一做2】y5x41(2)f(x)g(x)f(x)g(x)第一第二【做一做3】cf(x)cf(x)是常数函数yc与函数f(x)的积，可直接应用积的求导公式求解cf(x)cf(x)cf(x)cf(x)，即cf(x)cf(x)(3)【做一做4】函数可以看成是常数函数y1与函数g(x)的商，可直接应用商的导数公式求导.典型例题领悟【例1】解：(1)y(x43x32x5)(x4)(3x3)(2x)54x39x22.(2)y(xlog3x)xlog3xx(log3x)log3xlog3x.(3)y.(4)先化简原式yxsincosxsin x，故yx(sin x)1cos x.【例2】解：a1，f(x)x3x21，f(2)3，f(x)3x23x，f(2)6.曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程为y36(x2)，即y6x9.【例3】解：f(x)，g(x)(x0)，由已知得解得a，xe2，两条曲线交点的坐标为(e2，e)切线的斜率为kf(e2)，切线的方程为ye(xe2)，即x2eye20.随堂练习巩固1a2a(x)1.