高中数学 第三讲 圆锥曲线性质的探讨 第三节 平面与圆锥面的截线课堂导学案 新人教A版选修4-1.doc

第三节 平面与圆锥面的截线课堂导学三点剖析一、圆锥曲线的结构特点【例1】如图3-3-1,已知平面与圆锥的轴的夹角为,圆锥母线与轴的夹角为,=,求证:平面与圆锥的交线为抛物线.图3-3-1证明：当=时,平面与圆锥的一部分相交,且曲线不闭合.在圆锥内嵌入一个dandelin球与圆锥交线为圆s.记圆s所在平面为,与的交线记为m.球切于f1点.在截口上任取一点p,过p作pam于a,过p作pb平面于b,过p作圆锥的母线交平面于c,连结ab、pf1、bc.由切线长定理,pf1=pc.pb平行圆锥的轴,apb=,bpc=.在rtabp中,pa=,在rtbcp中,pc=.=,pc=pa.pf1=pa,即截口上任一点到定点f和到定直线m的距离相等.截口曲线为抛物线.二、探讨圆锥曲线的几何性质【例2】探索图3-3-2中双曲线的准线和离心率.其中是dandelin球与圆锥交线s2所在平面,与的交线为m.图3-3-2解析：p是双曲线上任意一点,连结pf2,过p作pam于a,连结af2,过p作pb平面于b,连结ab,过p作母线交s2于q2.pb平行于圆锥的轴,bpa=,bpq2=.在rtbpa中,pa=,pq2=.由切线长定理得pf2=pq2,pf2=.e=.0,coscos.e1.同理,另一分支上的点也具有同样的性质.综上所述,双曲线的准线为m,离心率e=.三、圆锥曲线几何性质应用【例3】已知双曲线两顶点间距离为2a,焦距为2c,则两准线间的距离是_.解析：如图3-3-4,l1、l2是双曲线的准线,f1、f2是焦点,a1、a2是顶点,o为中心.图3-3-4由离心率定义,a1h1=a1f1.又a1f1=of1-oa1=c-a,a1h1=.oh1=oa1-a1h1=a-=.由对称性,得oh2=.h1h2=.答案: 各个击破类题演练1探究:图3-3-1中抛物线的准线与离心率.解析:由抛物线结构特点知,抛物线上的任意一点p到焦点距离pf1与到平面与的交线m的距离pa相等,e=1.抛物线的准线是m,离心率e=1.温馨提示 要紧紧围绕离心率的定义和圆锥曲线的结构特点. 探讨圆锥曲线的结构特点,关键是借助dandelin球与切线长定理,化归为线段长的关系.类题演练2如图3-3-3,a1a2=2a,f1f2=2c,求证: =.图3-3-3证明:连结o1o2、o1f1、o2f2、o1q1、o2q2.直线f1f2与dandelin双球相切,o1f1f1f2,o2f2f1f2.过o1作o1ho2f2于h,则o1hf2f1是矩形,o1h=f1f2=2c.又平面与圆锥的轴的夹角为,o1o2=. 由双曲线的定义,知双曲线上任意一点到f1、f2的距离之差为定值q1q2,故取如图位置.由切线长定理,a2q1=a2f1=a1f2.f1f2-a2f1=f1f2-a1f2.a2f2=a1f1.又a2q2=a2f2,q1q2=a2q1-a2q2=a2f1-a1f1=a1a2=2a.母线与轴夹角为,即o2oq2=,o1o2=o1o+oo2=. 由,.=e.类题演练3已知圆锥母线与轴夹角为60,平面与轴夹角为45,则平面与圆锥交线的离心率是_,该曲线的形状是_.解析:e=.e1,曲线为双曲线.答案: 双曲线变式提升3已