高中数学 第三章 导数及其应用 3.3.2 函数的极值与导数课时提升作业2 新人教A版选修11.doc

函数的极值与导数(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.下列说法正确的是()a.函数在闭区间上的极大值一定比极小值大b.函数在闭区间上的极大值一定比极小值小c.函数f(x)=|x|只有一个极小值d.函数y=f(x)在区间(a,b)上一定存在极值【解析】选c.函数的极大值与极小值之间无确定的大小关系,单调函数在区间(a,b)上没有极值,故a,b,d错误,c正确,函数f(x)=|x|只有一个极小值为0.2.(2015惠州高二检测)函数y=x3-6x的极大值为()a.42b.32c.-32d.-42【解析】选a.y=3x2-6,令y0,得x2或x-2,令y0,得-2x2.所以函数y=x3-6x在(-,-2),(2,+)上递增,在(-2,2)上递减,所以当x=-2时,函数取得极大值42.【补偿训练】函数f(x)=2-x2-x3的极值情况是()a.有极大值,没有极小值b.有极小值,没有极大值c.既无极大值也无极小值d.既有极大值又有极小值【解析】选d.f(x)=-2x-3x2,令f(x)=0有x=0或x=-23.当x-23时,f(x)0;当-23x0;当x0时,f(x)0,从而在x=0时,f(x)取得极大值,在x=-23时,f(x)取得极小值.3.函数f(x)的定义域为r,导函数f(x)的图象如图所示,则函数f(x)()a.无极大值点、有四个极小值点b.有一个极大值点、两个极小值点c.有两个极大值点、两个极小值点d.有四个极大值点、无极小值点【解题指南】可依据极大值、极小值的定义判定.【解析】选c.设f(x)与x轴的4个交点,从左至右依次为x1,x2,x3,x4,当x0,f(x)为增函数,当x1xx2时,f(x)0,f(x)为减函数,则x=x1为极大值点,同理,x=x3为极大值点,x=x2,x=x4为极小值点.【规律方法】给出图象研究函数性质问题的解题方法(1)要分清给的是f(x)的图象还是f(x)的图象.(2)若给的是f(x)的图象,应先找出f(x)的单调区间及极值点,若给的是f(x)的图象,应先找出f(x)的正负区间及由正变负还是由负变正.(3)结合题目特点分析求解,可依据极大值、极小值的定义判定.4.设f(x)=x(ax2+bx+c),其中a0,并且在x=1或x=-1处均有极值,则下列点中一定在x轴上的是()a.(a,b)b.(a,c)c.(b,c)d.(a+b,c)【解析】选a.因为f(x)=ax3+bx2+cx,所以f(x)=3ax2+2bx+c.又因为在x=1或x=-1处f(x)有极值,所以x=1或x=-1是方程3ax2+2bx+c=0的两根.所以-2b3a=0,b=0.所以点(a,b)一定在x轴上.5.(2015沈阳高二检测)若函数f(x)=x2-2bx+3a在区间(0,1)内有极小值,则实数b的取值范围是()a.(-,1)b.(1,+)c.(0,1)d.-,12【解析】选c.f(x)=2x-2b=2(x-b),令f(x)=0,解得x=b.由于函数f(x)在区间(0,1)内有极小值,则有0b1,当0xb时,f(x)0;当bx0,符合题意.所以实数b的取值范围是(0,1).二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2015哈尔滨高二检测)已知函数f(x)=ax3+bx2+c,其导数f(x)的图象如图所示,则函数的极小值是_.【解析】由图象可知,当x0时,f(x)0,当0x0,故x=0时函数f(x)取极小值f(0)=c.答案:c7.如图是函数y=f(x)的导函数y=f(x)的图象,对此图象,有如下结论:在区间(-2,1)内f(x)是增函数;在区间(1,3)内f(x)是减函数;x=2时,f(x)取到极大值;在x=3时,f(x)取到极小值.其中正确的是_(将你认为正确的序号填在横线上).【解题指南】给出了y=f(x)的图象,应观察图象找出使f(x)0与f(x)0的x的取值范围,并区分f(x)的符号由正到负和由负到正,再进行判断.【解析】由f(x)的图象可知在-,-32和(2,4)上f(x)0,f(x)单调递增,所以只有正确.答案:8.(2015陕西高考)函数y=xex在其极值点处的切线方程为_.【解析】依题意得y=ex+xex,令y=0,可得x=-1,所以y=-1e.因此函数y=xex在其极值点处的切线方程为y=-1e.答案:y=-1e三、解答题(每小题10分,共20分)9.(2015银川高二检测)已知函数f(x)=x3-12x2-2x+c,(1)求函数f(x)的极值.(2)求函数f(x)的单调区间.【解析】f(x)=3x2-x-2.(1)令f(x)=3x2-x-2=0,即(3x+2)(x-1)=0,所以x=-23或x=1.当x变化时,f(x)与f(x)的变化情况如表,x-,-23-23-23,11(1,+)f(x)+0-0+f(x)单增极大值单减极小值单增从表中可以看出当x=-23时,f(x)有极大值,极大值为2227+c;当x=1时,f(x)有极小值,极小值为c-32.(2)由(1)可知f(x)的递增区间为-,-23和(1,+),递减区间为-23,1.10.已知函数f(x)=ex(ax+b)-x2-4x,曲线y=f(x)在点(0,f(0)处的切线方程为y=4x+4.(1)求a,b的值.(2)讨论f(x)的单调性,并求f(x)的极大值.【解析】(1)f(x)=ex(ax+a+b)-2x-4.由已知得f(0)=4,f(0)=4,故b=4,a+b=8.从而a=4,b=4.(2)由(1)知,f(x)=4ex(x+1)-x2-4x,f(x)=4ex(x+2)-2x-4=4(x+2)ex-12.令f(x)=0,得x=-ln2或x=-2.从而当x(-,-2)(-ln2,+)时,f(x)0;当x(-2,-ln2)时,f(x)0.故f(x)在(-,-2),(-ln2,+)上单调递增,在(-2,-ln2)上单调递减.当x=-2时,函数f(x)取得极大值,极大值为f(-2)=4(1-e-2).(20分钟40分)一、选择题(每小题5分,共10分)1.函数f(x)=ax3+bx在x=1处有极值-2,则a,b的值分别为()a.1,-3b.1,3c.-1,3d.-1,-3【解析】选a.f(x)=3ax2+b,由题意知f(1)=0,f(1)=-2,所以3a+b=0,a+b=-2,所以a=1,b=-3.2.(2015陕西高考)对二次函数f(x)=ax2+bx+c(a为非零常数),四位同学分别给出下列结论,其中有且仅有一个结论是错误的,则错误的结论是()a.-1是f(x)的零点b.1是f(x)的极值点c.3是f(x)的极值d.点(2,8)在曲线y=f(x)上【解析】选a.若选项a错误,则选项b,c,d正确.f(x)=2ax+b,因为1是f(x)的极值点,3是f(x)的极值,所以f(1)=0f(1)=3,即2a+b=0a+b+c=3,解得b=-2ac=3+a,因为点(2,8)在曲线y=f(x)上,所以4a+2b+c=8,即4a+2(-2a)+a+3=8,解得:a=5,所以b=-10,c=8,所以f(x)=5x2-10x+8,因为f(-1)=51-10(-1)+8=230,所以-1不是f(x)的零点,所以选项a错误,选项b、c、d正确.二、填空题(每小题5分,共10分)3.(2015南昌高二检测)函数f(x)=a+lnxx(ar)的极大值为_.【解析】f(x)=1-(a+lnx)x2,令f(x)=0,得x=e1-a,当x0;当xe1-a时,f(x)0,所以函数的极大值为f(e1-a)=1e1-a=ea-1.答案:ea-14.若函数y=-x3+6x2+m的极大值为13,则实数m等于_.【解题指南】先依据函数解析式求出其极大值,再结合已知条件得出关于m的方程,解方程即可.【解析】y=-3x2+12x=-3x(x-4),由y=0,得x=0或4.且当x(-,0)(4,+)时,y0.所以当x=4时取到极大值.故-64+96+m=13,解得m=-19.答案:-19三、解答题(每小题10分,共20分)5.(2015广州高二检测)若a0,试求函数f(x)=-23ax3-x2+a2x2+2ax的单调区间与极值.【解析】因为f(x)=-23ax3-x2+a2x2+2ax,所以f(x)=-2ax2-2x+2a2x+2a=-2(ax2+x-a2x-a)=-2(x-a)(ax+1).令f(x)=0,可得x=-1a或x=a.若a0,当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表:x-,-1a-1a-1a,aa(a,+)f(x)-0+0-f(x)单调递减极小值单调递增极大值单调递减所以f(x)在区间(-,-1a),(a,+)上单调递减,在区间-1a,a上单调递增.函数f(x)在x=-1a处取得极小值f-1a=-1-13a2,在x=a处取得极大值f(a)=a2+13a4.若a0,当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表:x(-,a)aa,-1a-1a-1a,+f(x)+0-0+f(x)单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以f(x)在区间(-,a),-1a,+上单调递增,在区间a,-1a上单调递减.函数f(x)在x=a处取得极大值f(a)=a2+a43,在x=-1a处取得极小值f-1a=-1-13a2.6.(2015梅州高二检测)已知函数f(x)=x3-bx2+2cx的导函数的图象关于直线x=2对称.(1)求b的值.(2)若函数f(x)无极值,求c的取值范围.【解析】(1)f(x)=3x2-2bx+2c,因为函数f(x)的图象关于直线x=2对称,所以-2b6=2,即b=6.(2)由(1)知,f(x)=x3-6x2+2cx,f(x)=3x2-12x+2c=3(x-2)2+2c-12,当2c-120,即c6时,f(x)0恒成立,此时函数f(x)无极值.【补偿训练】设函数f(x)