高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.1 空间向量及其运算 3.1.3 两个向量的数量积课堂导学案 新人教B版选修2-1.doc

3.1.3 两个向量的数量积课堂导学三点剖析一、利用数量积公式求两个向量的夹角的余弦值【例1】 如右图，在空间四边形oabc中，oa=8，ab=6，ac=4，bc=5，oac=45，oab=60，求oa与bc夹角的余弦值.思路分析：要求夹角的余弦值，可先利用公式求oabc的数量积.解：=|cos,-|ab|cos,=84cos135-86cos120=24-16.cos,=.oa与bc夹角的余弦值为.温馨提示 由数量积公式可知cosab=因此要求角的余弦值可先求ab.二、利用数量积的性质解决问题【例2】 如下图，已知平行四边形abcd中，ad，cd，d60，pa平面abcd，并且pa6，求pc的长思路分析：可将表示成几个向量相加的形式,再由数量积的性质a2=|a|2求出长度.解:,|2=()26242322|cos12061-1249pc7温馨提示 求pc的长，先把pc转化为向量表示，然后自身点积根据已知向量的模及向量间的夹角得其模的平方，再开方即为所求三、证明垂直问题【例3】 在正方体abcda1b1c1d1中，e、f分别是bb1、d1b1的中点.求证：ef平面b1ac.思路分析:要证ef平面b1ac,可证ef与平面b1ac内的两条相交直线垂直,因此只需证=0及b1c=0,即可.证明：设ab=a,=c,=b,则=+=(+)=()=()=(-a+b+c),=a+b.=(-a+b+c)5(a+b)=(b2-a2+ca+cb)=(|b2|-|a|2+0+0)=0.,即efab1.同理efb1c.又ab1b1c=b1,ef平面b1ac.温馨提示 要证明垂直问题，在平行六面体内或在四面体内，一般先选一组基底，然后用向量数量积的性质，证明数量积为零，即可说明两向量垂直.各个击破类题演练 1 四面体abcd的各棱长都相等，e、f分别是bc、ad的中点，求异面直线ae、cf所成角的余弦值.解析：如右图，设边长为a.=(),=,=（）（）=（a2cos60-a2cos60+a2cos60-a2）=.又|=|=,cos=.余弦值为.变式提升 1 在正方体abcda1b1c1d1中，边长为e,求向量与向量的夹角.解：设基向量=a,=b,=c,则=-a-b，=-a+c，=(-a-b)(-a+c)=e2cos,=.夹角为60.类题演练 2 已知平行六面体abcda1b1c1d1中,以顶点a为端点的三条棱长都是1,且两两夹角为60.则ac1长是多少?解析：|2=（）2=+2=1+1+1+211cos60+211cos60+211cos60=6.|=.变式提升 2 已知在平行六面体abcdabcd中，ab=4，ad=3，aa=5,bad=90,baa=daa=60，求ac的长.解析：，则|=|2=85，则|=.类题演练 3 已知空间四边形abcd，连ac、bd，若ab=cd，ac=bd，e、f分别是ad、bc的中点，试用向量方法证明ef是ad与bc的公垂线.解析：，均可用，表示，只要证=0，=0即可.变式提升 3 如右图，正方体abcda1b1c1d1中，p是dd1的中点，o是底面abcd的中心，求证：b1o平面pac.证明：连接db，取=a,=b,=c,且|a|=|b|=|c|=1.则有=+=a+b,=+=+=()+=a-b+c,=（a+b）（a-b+c）=|a|2+ab-ab-|b|2+ac+bc=-=0.