高中数学 第二章 平面向量 2.2 平面向量的线性运算 2.2.3 向量数乘运算及其几何意义同步优化训练 新人教A版必修4.doc

2.2.3向量数乘运算及其几何意义5分钟训练(预习类训练，可用于课前)1.点c在线段ab上，且=，则=_.( )a. b. c. d.解析：=()=+=-,即=-,故=-.答案：d2.(2a+8b)-(4a-2b)等于( )a.2a-b b.2b-a c.b-a d.a-b解析：原式=(a+4b-4a+2b)=(6b-3a)=2b-a.答案：b3.向量a、b共线的有( )a=2e，b=-2e a=e1-e2，b=-2e1+2e2 a=4e1-e2，b=e1-e2 a=e1+e2，b=2e1-2e2a. b. c. d.解析：对于中的向量a与b，都存在一个相应的实数，使a=b，而中的两个向量，不存在实数使b=a成立.答案：a4.(2006高考广东卷，理4)如图2-2-15所示，d是abc的边ab的中点，则向量等于( )图2-2-15a.-+ b.-c. d.+解析：+，故选a.答案：a10分钟训练(强化类训练，可用于课中)1.(2005高考山东卷，文8)已知向量a，b，且=a+2b,=-5a+6b,=7a-2b,则共线的三点是( )a.a、b、d b.a、b、c c.b、c、d d.a、c、d解析：,.a，b，d三点共线.答案：a2.下列四个命题：对于实数m和向量a、b，恒有m(a-b)=ma-mb；对于实数m，n和向量a，恒有(m-n)a= ma-na；若ma=mb(mr)，则有a=b；若ma=na(m、nr，a0)，则m=n.其中正确命题的序号为_.解析：满足实数与向量积的运算律；中若m=0，则ma=mb=0，不一定有a=b；中由ma=na，则(m-n)a=0，a0，m-n=0.m=n.答案：3.求实数，使得a+b与2a+b共线.解：a+b与2a+b共线，存在一个实数，不妨设为m，使得(a+b)=m(2a+b),即(-2m)av+(1-m)b=0.解得=.4.在平行四边形abcd中，=a，=b，求,.解法一：利用平行四边形的性质得=a,=bd=b.，=ab.又,=,=a+b.解法二：将,视为未知量，由向量的加法、减法，得两式相加得,=+=a+b.两式相减得,=ab.5.一艘船以5 km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，航船实际航行方向与水流方向成30角，求水流速度和船的实际速度.解：如图，表示水流速度，表示船垂直于对岸方向行驶的速度，表示船的实际速度，aoc=30，|= 5 km/h，四边形abcd为矩形，|=|cot30=，|=10.30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)1.若3x-2(x-a)=0，则x等于( )a.2a b.-2a c. d.解析：3x-2(x-a)=0,x+2a=0,即x=-2a.答案：b2.设a是非零向量，是非零实数，下列结论正确的是( )a.a与-a的方向相反 b.|-a|a|c.a与2a的方向相同 d.|-a|=|a解析：如果0则a与-a的方向相反，如果0，则a与-a的方向相同，a错；如果|1，则|-a|a|，b错；|-a|是一个大于或等于零的实数，而|a是向量，它们之间不能比较大小，d错.答案：c3.若|a|=m，b与a的方向相反，且|b|=2，则a=_.解析：由，|a|=|b|.b与a方向相反，b与a共线.a=.答案：4.如图2-2-16，abcd中，点m是ab的中点，点n在bd上，且bn=bd.求证：m、n、c三点共线.图2-2-16证明：设=a，=b，则=a+(-a+b)=a+b，=a+b,所以.所以m、n、c三点共线.5.设e1、e2是两个不共线向量，已知=2e1+me2，=e1+3e2.若a、b、c三点共线，求实数m的值.解：a、b、c三点共线，、共线存在实数，使=，即2e1+me2=(e1+3e2)=e1+3e2，解得=2，m=6.6.如图2-2-17所示，在abc中，=a，=b，ad为边bc的中线，g为abc的重心，求向量.图2-2-17解法一：=a,=b,则=b,=a+b.而=,=a+b.解法二：过g作bc的平行线，交ab、ac于e、f.aefabc，=a,=b,=b,=a+b.7.如图2-2-18，在abc中，c为直线ab上一点，=(-1)，求证：=图2-2-18证明：因为,又=,所以=(),即(1+)=+.又因为-1,即1+0,所以=.8.用向量方法证明：三角形两边中点连线平行于第三边，且其长度等于第三边长度的一半.证明：已知右图所示abc中，d、e分别是边ab、ac的中点，求证：debc，且de=.证明：d、e分别是边ab、ac的中点，=,=.=()=.又d不在bc上，debc，