高中数学 第二章 函数 2.2 一次函数和二次函数学习导航学案 新人教B版必修1.doc

2.2 一次函数和二次函数自主整理1.一次函数(1)定义:函数y=kx+b(k0)叫做一次函数,又叫线性函数;它的定义域为r,值域为r.(2)性质:函数的改变量y2-y1与自变量的改变量x2-x1的比值等于常数k;k的大小表示直线与x轴的倾斜程度;当k0时,一次函数为增函数,当k0时,抛物线开口向上,函数在x=处取得最小值,在区间(-,上是减函数,在区间,+)上是增函数.当a0,a越大,抛物线的开口越小,a越小,抛物线的开口越大;反之,若a0时,f(x)在区间p,q上的最大值为m,最小值为m,令x0=(p+q).若p,则f(p)=m,f(q)=m;若px0,则f()=m,f(q)=m;若x0q,则f(p)=m,f()=m;若q,则f(p)=m,f(q)=m.(3)关于二次方程f(x)=ax2+bx+c=0的实根分布问题:方程f(x)=0的两根中一根比r大,另一根比r小af(r)0时函数为增函数,k0时函数为减函数,进而求得a、b所满足的条件,即ab0.解：把ax-by+c=0整理,得y=x+,要使得一次函数为减函数,则0,即只要a、b异号就可以了.绿色通道处理一次函数问题常把解析式整理成标准形式,然后再求解.变式训练1.直线mx+(m-2)y=3(m2,m0)所对应的一次函数,当函数为增函数时m满足的条件是( )a.0m b.m2 c.0m0,即只要-m、m-2同号就可以了,所以易得0m0与a0两大类五种情形讨论,过程烦琐不堪.若注意到f(x)的最值总是在闭区间的端点或抛物线的顶点处取到,因此先计算这些点的函数值,再检验其真假,过程简明.解：(1)令f()=3,得a=.此时抛物线开口向下,对称轴为x=-2,且-2,2,故a=不合题意.(2)令f(2)=3,得a=,此时抛物线开口向上,对称轴为x=0,闭区间的右端点2距离对称轴远些,故a=符合题意.(3)若f()=3,得a=,此时抛物线开口向下,对称轴为x=,闭区间为单调减区间,所以a=-符合题意.综上,a=或a=.绿色通道本题利用特殊值检验法,先计算特殊点(闭区间的端点、抛物线的顶点)的函数值,再检验其真假,思路明了、过程简洁,是解决逆向型闭区间二次函数最值问题的一种有效方法.变式训练2.二次函数y=x2+2ax-3,x1,2,试求函数的最小值.分析：首先观察到函数图象过(0,-3),再考虑对称轴的位置,由于对称轴在不同的位置会出现不同的结果,所以需要分三种情况讨论.解：y=x2+2ax-3=(x+a)2-a2-3,当-a(2,+),即a-1时,函数的最小值为f(1)=2a-2;当-a1,2,即-2a-1时,函数的最小值为f(-a)=-a2-3.【例题3】已知二次函数的图象过(0,1)、(2,4)、(3,10)三点,求这个二次函数的解析式.分析：已知是二次函数,且知三个点的坐标,所以可以先设出二次函数的解析式,用待定系数法求得.解：根据题意设这个二次函数的解析式为y=ax2+bx+c(a0),然后将图象所经过的三个点的坐标分别带入方程,联立三个方程,得解得故f(x)=x2x+1.绿色通道使用待定系数法解题的基本步骤是第一步,设出含有待定系数的解析式;第二步,根据恒等的条件,列出含待定系数的方程或方程组;第三步,解方程或方程组解出待定系数,使问题得到解决.变式训练3.若f(x)为一次函数,且满足ff(x)=1+2x,则f(x)的解析式为_.解析：已知f(x)为一次函数,可以使用待定系数法.设f(x)=kx+b,则ff(x)=f(kx+b)=k(kx+b)+b=k2x+kb+b,利用对应系数相等即可求得k=,b=-1或k=2,b=-1.答案：f(x)=x-1或f(x)=x+-14.（2007黄冈第一次高三诊断试卷,17）已知二次函数f(x)满足条件f(0)=1,及f(x+1)-f(x)=2x.(1)求f(x)的解析式;(2)求f(x)在-1,1上的最值.分析：本题求函数解析式的基本方法仍然是待定系数法,但确定待定系数的方法是根据代数式恒等对应项系数相等来确定的.求函数在给定区间上的最值时,要注意对称轴的位置.解：(1)由f(0)=1,可设f(x)=ax2+bx+1.则由f(x+1)-f(x)=2x,可得2ax+a+b=2x.a=1,a+b=0,即b=-1.f(x)=x2-x+1.(2)f(x)=x2-x+1=(x)2+,又x-1,1,当x=时有最小值,x=-1时有最大值3.【例题4】二次函数f(x)=ax2+bx+c,an*,c1,a+b+c1,方程ax2+bx+c=0有两个小于1的不等正根,则a的最小值为( )a.2 b.3 c.4 d.5解析：由题意有由于方程有两个小于1的不等正根,画图可知01,即b24a2.4acb20.又an*,且c1,a的最小值为2.答案：a绿色通道一般地,一元二次方程根的分布情况问题往往从三个角度加以考虑:的符号,对称轴是否在区间内,端点函数值的正负.变式训练5.已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0.若方程有两根,其中一根在区间(-1,0)内,另一根在区间(1,2)内,求m的范围.分析：二次方程根的问题实质上是讨论二次函数的图象与x轴交点与坐标原点的位置关系的问题,因此,理解交点及二次函数系数(a开口方向,a、b对称轴,c图象与y轴的交点)的几何意义,掌握二次函数图象的特点,是解决此类问题的关键.解：条件说明抛物线f(x)=x2+2mx+2m+1与x轴的交点分别在区间(-1,0)和(1,2)内,画出示意图,得m0),若取一系列的x的值总是比前一个大m时(m为正整数),则有与之对应的每一个y的值总是比前一个大mk.2.探索与研究结合课件1207,对一次函数的性质进行探索.答:注意强调一次函数定义中的一次项系数k0这一条件,当k=0时,函数为y=b,它不再是一次函数,它的图象是一条与x轴平行的直线,通常称为常值函数.函数值的改变量y2-y1与自变量的改变量x2-x1的比值,称作函数x1到x2之间的平均变化率,对一次函数来说它是一个常数,等于这条直线的斜率.一次函数y=kx+b(k0)的单调性与一次项系数的正负有关,当k0时,函数为增函数,当k0时,函数为减函数.理由如下:设x1、x2是任意两个不相等的实数,且x10,所以y=f(x2)-f(x1)=(kx2+b)-(kx1+b)=k(x2-x1)=kx.当k0时,kx0,所以y0,所以f(x)在r上是增函数;当k0时,开口向上,a越大,开口越小,函数在对称轴两侧先减后增.当a0时,开口向下,a的绝对值越大开口越小,函数在对称轴两侧先增后减.(2)b是否为零决定着函数的奇偶性.当b=0时,函数为偶函数;当b0且c0时,函数既不是奇函数也不是偶函数.(3)c是否为零决定着函数的图象是否经过原点.另外,a和b共同决定着函数的对称轴,a、b和c三者共同决定着函数的顶点位置.5.探索与研究请同学们自己探索研究一下,给定哪些条件,才能求出一个具体的二次函数.答:运用待定系数法求二次函数的解析式时,一般可设出二次函数的一般形式y=ax2+bx+c(a0),但如果已知函数的对称轴或顶点坐标或最值,则解析式可设为y=a(x-h)2+k会使求解比较方便.具体来说:(1)已知顶点坐标为(m,n),可设为y=a