高中数学 第二章 平面向量 2.2 向量的分解与向量的坐标 2.2.2 向量的正交分解与向量的直角坐标运算课堂探究学案 新人教B版必修4.doc

2.2.2 向量的正交分解与向量的直角坐标运算课堂探究探究一 向量的坐标表示求向量的坐标有三种方法：(1)正交分解；(2)将向量的起点平移到原点，向量的终点，即为向量的坐标；(3)利用转角求横、纵坐标【例1】 如图所示，分别用基底i与j表示向量a，b，c，d，并求出它们的坐标解：由题图可知，a2i3j，所以a(2,3)同理，b2i3j(2,3)；c2i3j(2，3)；d2i3j(2，3)点评 在直角坐标系中求向量的坐标，一般运用“数”与“形”相结合的方法求解【例2】 在平面直角坐标系xoy中，a，b如图所示，分别求它们的坐标解：设a(a1，a2)，b(b1，b2)，则a1|a|cos 454，a2|a|sin 454b向量相对于x轴正方向的转角为120所以b1|b|cos 1203，b2|b|sin 1203所以a(，)，b评注 公式a1|a|cos ，a2|a|sin 中是指a的方向相对于x轴正方向的转角，此点不容忽视探究二 向量的坐标运算向量用坐标表示后，向量的线性运算都可用坐标来进行运算，使得向量运算完全代数化，将数与形紧密地结合起来，这样许多几何问题的解决就可以转化为熟知的数量运算【例3】 已知点a(1,2)，b(2,8)及，求点c，d和的坐标解：设c，d的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，由题意可得(x11，y12)，(3,6)，(1x2,2y2)，(3，6)，因为，所以(x11，y12)(3,6)，(1x2,2y2)(3，6)，即(x11，y12)(1,2)，(1x2,2y2)(1,2)所以和所以和所以c，d的坐标分别为(0,4)和(2,0)因此(2，4)方法技巧 此类题要充分利用向量相等的条件建立方程或方程组求待定参数，求一个向量坐标需求出向量始点与终点坐标探究三 向量坐标法的应用通过建立适当直角坐标系从而求出向量的坐标，这是解决向量或几何问题的一种常用的方法【例4】 已知o是abc内一点，aob150，boc90，设a，b，c，且|a|2，|b|1，|c|3，试用a，b表示c分析：由题中条件建立适当平面直角坐标系，由向量的模及向量与x轴正半轴夹角求向量坐标，再利用向量的坐标运算用a，b表示c解：如图所示，以o为原点，所在直线为x轴建立平面直角坐标系因为|a|=2，所以a=(2,0)设b=，所以=|b|cos 150=1=-，y1=|b|sin 150=1=所以b=同理可得c=设c= a+ b(，r)，所以= (2,0)+ =(2 -，)所以解得所以c=-3a-3b探究四 易错辨析易错点：因忽视点的位置而漏解【例5】 如图所示，已知平行四边形的三个顶点坐标分别为a(4,3)，b(3，1)，c(1，2)，求顶点d的坐标错解：设顶点d(x，y)，因为(1，4)，(1x，2y)，所以解得所以顶点d的坐标为(2,2)错因分析：没有注意到平行四边形四个顶点的顺序不同而漏解解：设顶点d(x，y)若平行四边形四个顶点的顺序为a，b，c，d，则(34，13)(1，4)，(1x，2y)由，得解得故顶点d的坐标为(2,2)若平行四边形四个顶点的顺序为a，c，b，d，则(14，23)(3，5)，(3x，1y)由，得解得故顶点d的坐标为(6,4)若平行四边形四个顶点的顺序为a，b，