高中数学 第二章 平面向量 2.2 向量的分解与向量的坐标 2.2.2 向量的正交分解与向量的直角坐标运算学案 新人教B版必修4.doc

2.2.2向量的正交分解与向量的直角坐标运算基础知识基本能力1理解平面向量的正交分解及其作用(重点)2了解向量的坐标表示与平面直角坐标系中点的坐标的异同(易错点)3掌握平面向量的坐标运算法则(重点、难点)1结合平面向量正交分解的意义，能够写出给定向量的坐标，会作出已知坐标表示的向量(重点)2能熟练地运用向量的加法、向量的减法及实数与向量的积的坐标运算法则进行有关运算(难点)3理解平面直角坐标系内任一点的坐标，只与以原点为始点以该点为终点的向量的坐标相同，并且相等向量的坐标相同，但始点和终点坐标却可以不同(易错点)1向量的坐标(1)如果两个向量的基线互相垂直，则称这两个向量互相垂直(2)如果基底的两个基向量e1，e2互相垂直，则称这个基底为正交基底在正交基底下分解向量，叫做正交分解(3)在直角坐标系xoy内，分别取与x轴和y轴方向相同的两个单位向量e1，e2，则对任一向量a，存在唯一的有序实数对(a1，a2)，使得aa1e1a2e2，(a1，a2)就是向量a在基底e1，e2下的坐标，即a(a1，a2)其中a1叫做向量a在x轴上的坐标分量，a2叫做a在y轴上的坐标分量.(4)向量的坐标：设点a的坐标为(x，y)，则(x，y)符号(x，y)在直角坐标系中有双重意义，它既可以表示一个固定的点，又可以表示一个向量为了加以区分，在叙述中，就常说点(x，y)，或向量(x，y)名师点拨同一个向量不论怎样平移，其坐标都是唯一的这一结论告诉我们，当一个向量在原来位置不容易解决问题时，可以通过平移到合适的位置再进行处理，这样可以使得问题得以转化与坐标轴平行的向量的坐标有何特点？答：与x轴平行的向量的纵坐标为0，即b(0，y)；与y轴平行的向量的横坐标为0.【自主测试1】已知e1，e2为正交基底，且e1，e2为单位向量，a在此基底下的坐标为(2 011，2 012)，且axe1ye2，则x_，y_.答案：2 0112 0122向量的直角坐标运算(1)设a(a1，a2)，b(b1，b2)，则ab(a1b1，a2b2)，即两个向量的和与差的坐标等于两个向量相应坐标的和与差；若r，则a(a1，a2)，即数乘向量的积的坐标等于数乘以向量相应坐标的积(2)已知a(x1，y1)，b(x2，y2)，则(x2，y2)(x1，y1)(x2x1，y2y1)，即一个向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标归纳总结(1)在同一直角坐标系中，两向量的坐标相同时，两个向量相等，但是它们的始点和终点的坐标却不一定相同，如a(3,5)，b(6,8)，c(5,3)，d(2,6)，则(3,3)，(3,3)，显然，但a，b，c，d各点的坐标却不相同(2)在平面直角坐标系中，给出了向量的坐标，将向量的运算代数化，同时也给出一种用向量运算解决问题的方法向量坐标法【自主测试21】已知a(1，1)，b(3,0)，则3a2b等于()a(5,3) b(4，1) c(2，1) d(3，3)答案：d【自主测试22】已知向量(9，7)(o为原点)，则点n的坐标为()a(9，7) b(9,7)c(9,7) d(9，7)答案：a对平面向量的坐标表示的理解剖析：(1)在平面直角坐标系中，以原点为起点的向量a，点a的位置被向量a唯一确定，此时点a的坐标与向量a的坐标统一为(x，y)(2)向量的坐标只与始点和终点的相对位置有关，而与它们的具体位置无关(3)在同一直角坐标系中，向量确定后，向量的坐标就被确定了，相等的向量，其坐标的表示必然相同(4)引入向量的坐标表示以后，向量就有两种表示方法：一种是几何法，即用向量的长度和方向表示；另一种是坐标法，即用一对有序实数表示有了向量坐标表示，就可以将几何问题转化为代数问题来解决题型一 求向量的坐标【例题1】已知边长为2的正三角形abc，顶点a在坐标原点，ab边在x轴上，c在第一象限，d为线段ac的中点，分别求向量，的坐标分析：解：如图，正三角形abc的边长为2，则顶点a(0,0)，b(2,0)，c(2cos 60，2sin 60)，c(1，)，d，则(2,0)，(1，)，(12，0)(1，)，.反思(1)向量的坐标等于终点的坐标减去始点的坐标，只有当向量的始点在坐标原点时，向量的坐标才等于终点的坐标(2)求向量的坐标一般转化为求点的坐标，解题时常常结合几何图形，利用三角函数的定义和性质进行计算互动探究本例中，在原条件的基础上，加上“e为线段ab的中点，g为三角形abc的重心”，求向量，的坐标解：(0，)，.题型二 平面向量的坐标运算【例题2】已知a(x3，x23x4)与相等，其中m(1,3)，n(1,3)，求x的值分析：先用坐标表示出向量，然后根据两向量相等的充要条件列出关于x的关系式解：m(1,3)，n(1,3)，(2,0)又a，(x3，x23x4)(2,0)解得x1.故x的值为1.反思向量的坐标运算主要是利用向量的加、减、数乘运算法则进行若已知表示向量的有向线段的两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则【例题3】已知a(1，2)，b(2,1)，c(3,2)和d(2,3)，以，为一组基底来表示.分析：首先由点a，b，c的坐标求得向量，等的坐标，然后根据平面向量基本定理得到等式mn，再列出关于m，n的方程组，进而解方程求出m，n的值解：(1,3)，(2,4)，(3,5)，(4,2)，(5,1)，(3,5)(4,2)(5,1)(12,8)根据平面向量基本定理，一定存在实数m，n，使得mn，即(12,8)m(1,3)n(2,4)，也就是(12,8)(m2n,3m4n)，可得解得3222.反思本题是平面向量基本定理与坐标运算相结合的题目，求解过程体现了方程的思想和待定系数法的特点，尤其要注意区分点的坐标与向量的坐标题型三 用向量法证明几何问题【例题4】如图所示，正方形abcd中，p为对角线bd上的一点，四边形pecf是矩形，用向量方法证明paef.分析：本题所给图形为正方形，故可考虑建立平面直角坐标系，用向量坐标法来解决，为此只要写出和的坐标，证明其模相等即可证明：建立如图所示的平面直角坐标系，设正方形的边长为a，则a(0，a)设|d|(0)，则f，p，e，.|22aa2，|22aa2，|，即paef.反思直接证明几何命题有时较复杂，但合理建立坐标系，利用向量的坐标运算将几何中的边或角进行转换，往往能起到事半功倍的效果题型四 易错辨析【例题5】已知a(3,5)，b(2，3)，将线段ab向左平移6个单位长度，再向上平移1个单位长度得到线段ab，则向量的坐标为_错解：a(3,5)，b(2，3)，(23，35)(5，8)，再根据平移，得(56，81)(11，7)错因分析：向量是自由向量，向量的平移不会改变其坐标，但会影响其始点和终点的坐标正解：a(3,5)，b(2，3)，(23，35)(5，8)又，(5，8)1已知a(1,2)，b(1，2)，则ab与ab的坐标分别为()a(0,0)，(2,4)b(0,0)，(2，4)c(2,4)，(2，4)d(1，1)，(3,3)答案：a2已知(x，y)，点b的坐标为(2,1)，则的坐标为()a(x2，y1) b(x2，y1)c(2x,1y) d(x2，y1)解析：，(2x，1y)答案：c3已知a(7,24)，|a|50，则等于_解析：|a|a|50，|2，2.答案：24已知a(，1)，则所在的直线与x轴所夹的锐角为_解析：易知点a在第四象限，如图，作ahx轴于点h，则在rtaho中，ah1，ho，则tanhoa，故hoa30.答案：305若作用在坐标原点的三个力f1(3,4)，f2(2，5)，f3(3,1)，则作用在原点的合力f1f2f3的坐标为_答案：(8,0)6在平面直角坐标系中，质点在坐标平面内做直线运动，分别求出下列位移向量的坐标(如图所示)(1)向量a表示沿东北方向移动了2个单位长度；(2)向量b表示沿西偏北60方向移动了4个单位长度；(3)向量c表示沿