高中数学 第二讲 直线与圆的位置关系 二 圆内接四边形的性质与判定定理教材梳理素材 新人教A版选修4-1.doc

二 圆内接四边形的性质与判定定理庖丁巧解牛知识巧学 一、圆内接四边形的性质定理圆内接四边形的性质定理包括两个：定理1是圆的内接四边形对角互补；定理2是圆的内接四边形的外角等于 它的内角的对角.这两个定理的表述形式稍有差别，但反映的本质相同，都反映了圆内接四边形所具有的特征. 知识拓展 利用这两个定理，可以借助圆变换角的位置，得到角的相等关系或互补关系;再进行其他的计算或证明.利用这两个定理可以得出一些重要结论:如内接于圆的平行四边形是矩形；内接于圆的菱形是正方形；内接于圆的梯形是等腰梯形.应用这些性质可以大大简化证明有关几何题的推理过程.二、圆内接四边形的判定定理1.定理：如果一个四边形的一组对角互补，那么这个四边形内接于圆.2.符号语言表述：在四边形abcd中，如果b+d=180，那么四边形abcd内接于圆. 疑点突破 要证明四边形abcd内接于圆，就是要证明a、b、c、d四点在同一个圆上.根据我们的经验，只要能证明这四个点到一个定点距离相等即可.但是这个定点一时还找不出来.不过对于不在同一条直线上的三点来说，总可以确定一个圆.因此我们可以先经过a、b、c、d中的任意三个点，譬如a、b、c三点作一个圆，再证明第四个点d也在这个圆上就可以了.但是直接证明点d在圆上很困难，所以我们采用反证法证明.也就是假设点d不在圆上，经过推理论证，得出错误的结论，这就说明点d不在圆上是错误的，因此点d只能在圆上. 由于点d不在圆上时，可能出现点d在圆外和点d在圆内两种情况，所以应分别加以证明，下面先讨论点d在圆内的情况.假设点d在圆内，若作出对角线bd，设bd和圆交于d，连结ad、cd，则abcd为圆内接四边形(如图2-2-2)，则abc+adc=180.另一方面，因为adb、bdc分别是add和cdd的外角，所以有adbadb，bdcbdc，于是有adcadc.因为已知abc+adc=180，所以abc+adc180，这与圆内接四边形的性质定理矛盾.因此可证点d不能在圆内.用类似的方法也可以证明点d也不能在圆外.因此点d在圆上，即四边形abcd内接于圆.图2-2-2三、判定四点共圆的方法(1)如果四个点到一定点的距离相等，那么这四个点共圆.(2)如果一个四边形的一组对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆.(3)如果一个四边形的一个外角等于它的内对角，那么这个四边形的四个顶点共圆.(4)如果两个直角三角形有公共的斜边，那么这两个三角形的四个顶点共圆(因为四个顶点与斜边中点的距离相等).问题探究问题 圆内接四边形判定定理的证明，推导出与圆内接四边形性质定理相矛盾的结果，体现了用反证法证明几何命题的基本思路.反证法是证明问题的有效方法，那么与正面证明相比较，反证法有什么特点？它证明问题的步骤怎样？它有什么优点？思路:反证法是一种间接证法，它先是提出一个与命题的结论相反的假设，然后从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定原假设，达到肯定原命题正确的一种方法.探究:反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是；存在/不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大(小)于/不大(小)于；都是不都是；至少有一个一个也没有；至少有n个至多有(n-1)个；至多有一个至少有两个；唯一至少有两个. 归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水，无本之木.推理必须严谨.导出的矛盾有如下几种类型：与已知条件矛盾，与已知的公理、定义、定理、公式矛盾，与反设矛盾，自相矛盾. 反证法可以分为归谬反证法(结论的反面只有一种)与穷举反证法(结论的反面不止一种)，如在上述定理证明中，假设点d不在圆上，则有点d在圆外和点d在圆内两种情况，必须一一证出这两种情况都不成立后，才能肯定点d在圆上. 用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为：(1)反设；(2)归谬；(3)结论.对于一些从正面难以说明的问题，反证法往往有着出奇制胜的作用.典题热题例1如图2-2-3，已知abcd为平行四边形，过点a和b的圆与ad、bc分别交于e、f.求证：c、d、e、f四点共圆.图2-2-3思路分析：连结ef.由b+aef=180，b+c=180，可得aef=c.证明：连结ef.abcd为平行四边形，b+c=180.a、b、f、e内接于圆，b+aef=180.aef=c.c、d、e、f四点共圆. 深化升华 要证明四点共圆，首先要把这四个点连结组成四边形，然后说明其对角互补或外角等于它的内对角.例2两圆相交于a、b，过a作两直线分别交两圆于c、d和e、f.若eab=dab.求证：cd=ef.思路分析：要证cd=ef，只需证明cbdebf即可.从图2-2-4可以看出，c=e，d=f，因此，只需再找一条对应边相等即可.比如，能否推出bc=be呢？要证bc=be，只需ceb=ecb.有无可能呢？可以发现，ecb=1，又已知1=2，所以，只需证2=ceb即可.这时我们发现，a、b、e、c是圆内接四边形，根据性质定理，它的外角2与它的内对角ceb当然相等.至此，思路完全沟通.图2-2-4证明：abec为圆内接四边形，2=ceb.又1=ecb，且1=2，ceb=ecb.bc=be.在cbd与ebf中，c=e，d=f，bc=be，cbdebf.cd=ef. 深化升华 利用圆内接四边形的性质，直接写出2=ceb，简化了通过弧与角的计算推证2=ceb的过程，正如运用算术乘法的九九表一样，可以大大简化思维的过程.例3在锐角abc中，bd、ce分别是边ac、ab上的高线，dgce于g，efbd于f.求证：fgbc.思路分析：证fgbc，只需证dfg=dbc即可.我们设法由共斜边的两个直角三角形的四顶点共圆来分析角的关系，探求证明的思路.证明：如图2-2-5，由于rtbce与rtbcd共斜边bc，所以b、c、d、e四点共圆.由同弧上的圆周角，有dbc=deg.同理，rtedf与rtdge共斜边de，所以d、e、f、g四点共圆.图2-2-5于是，deg=dfg.因此，dbc=dfg.于是fgbc.例4如图2-2-6所示，在abc中，ab=ac，延长ca到p，再延长ab到q，使得ap=bq.图2-2-6求证：abc的外心o与a、p、q四点共圆.思路分析：要证o、a、p、q四点共圆，只需证cpo=aqo即可.为此，只要证cpoaqo即可.证明：连结oa、oc、op、oq.在ocp和oaq中，oc=oa，由已知,ca=ab，ap=bq，cp=aq.又o是abc的外心，ocp=oac.由于等腰三角形的外心在顶角的平分线上，oac=oaq，从而ocp=oaq.ocpoaq.cpo=aqo.o、a、p、q四点共圆. 深化升华 本题也可证oapobq,得到角相等，进而说明四点共圆.你可以试着写出另一种证明.例5如图2-2-7所示,在半径为1的o中，引两条互相垂直的直径ae和bf，在上取点c，弦ac交bf于p，弦cb交ae于q.证明四边形apqb的面积是1.图2-2-7思路分析：由已知条件可以证明四边形abef是正方形，且边长为2，则正方形面积为2.而abd的面积为正方形面积的一半，所以，只需证明s四边形apqb=sabd，即证sbpd=sbpq，即证dqpb.因为bpae，所以，只需证dqae.证明：ae、bf为互相垂直的两条直径，垂足o为圆心，ae、bf互相平分、垂直且相等.四边形abef是正方形.acb=aef=45，即dcq=qed.d、q、e、c四点共圆.连结ce、dq，则dce+dqe=180.ae为o的直径，dce=90，dqe=90.foe=90，进