高中数学 第四讲 数学归纳法证明不等式 4.2 用数学归纳法证明不等式课堂探究学案 新人教A版选修4-5.doc

4.2 用数学归纳法证明不等式课堂探究1观察、归纳、猜想、证明的方法剖析：这种方法解决的问题主要是归纳型问题或探索型问题，命题的成立不成立都预先需要归纳与探索，而归纳与探索多数情况下是从特例、特殊情况入手，得到一个结论，但这个结论不一定正确，因为这是靠不完全归纳法得出的，因此，需要给出一定的逻辑证明，所以，通过观察、分析、归纳、猜想，探索一般规律，其关键在于正确的归纳猜想，如果归纳不出正确的结论，那么数学归纳法的证明也就无法进行了在观察与归纳时，n的取值不能太少，否则将得出错误的结论教材例1中若只观察前3项：a11，b12a1b1；a24，b24a2b2；a39，b38a3b3，从而归纳出n22n(nn，n3)是错误的，前n项的关系可能只是特殊情况，不具有一般性，因而，要从多个特殊事例上探索一般结论2从“nk”到“nk1”的方法与技巧剖析：在用数学归纳法证明不等式问题中，从“nk”到“nk1”的过渡，利用归纳假设是比较困难的一步，它不像用数学归纳法证明恒等式问题一样，只需拼凑出所需要的结构来，而证明不等式的第二步中，从“nk”到“nk1”，只用拼凑的方法，有时也行不通，因为对不等式来说，它还涉及“放缩”的问题，它可能需要通过“放大”或“缩小”的过程，才能利用上归纳假设，因此，我们可以利用“比较法”“综合法”“分析法”等来分析从“nk”到“nk1”的变化，从中找到“放缩尺度”，准确地拼凑出所需要的结构 题型一 用数学归纳法证明有关函数中的不等关系【例1】已知f(x).对于nn，试比较f()与的大小并说明理由分析：先通过n取比较小的值进行归纳猜想，确定证明方向，再用数学归纳法证明解：据题意f(x)1，f()1，又1，要比较f()与的大小，只需比较2n与n2的大小即可，当n1时，212121，当n2时，22422，当n3时，238329，当n4时，241642，当n5时，25325225，当n6时，26646236.故猜测当n5(nn)时，2nn2，下面用数学归纳法加以证明(1)当n5时，2nn2显然成立(2)假设nk(k5，且kn)时，不等式2nn2成立，即2kk2(k5)，则当nk1时，2k122k2k2k2k22k12k1(k1)2(k1)22(k1)2(因为(k1)22)由(1)(2)可知，对一切n5，nn，2nn2成立综上所述，当n1或n5时，f().当n2或n4时，f()，当n3时，f().反思 利用数学归纳法比较大小，关键是先用不完全归纳法归纳出两个量的大小关系，猜测出证明的方向再用数学归纳法证明结论成立.题型二 数学归纳法在解决有关数列问题中的应用【例2】已知数列an满足：a1，且an(n2，nn)(1)求数列an的通项公式；(2)求证：对一切正整数n，不等式a1a2an2n！恒成立分析：(1)由题设条件知，可用构造新数列的方法求得an；(2)可以等价变形，视为证明新的不等式(1)解：将条件变为：1，因此数列1为一个等比数列，其首项为1，公比为，从而1，因此得an(n1)(2)证明：由得，a1a2an.为证a1a2an2n！，只要证nn时，有.显然，左端每个因式皆为正数，先证明，对nn，有1.下面用数学归纳法证明式：当n1时，显然式成立，假设nk(kn，k1)时，式成立，即1，则当nk1时，11.即当nk1时，式也成立故对一切nn，式都成立利用，得111n.故原不等式成立反思 本题提供了用数学归纳法证明相关问题的一种证明思路，即要证明的不等式不一定非要用数学归纳法去直接证明，我们通过分析法、综合法等方法的分析，可以找到一些证明的关键，“要证明”，“只需证明”，转化为证明其他某一个条件，进而说明要证明的不等式是成立的.题型三 用数学归纳法证明不等式【例3】设pn(1x)n，qn1nxx2，nn，x(1，)，试比较pn与qn的大小，并加以证明分析：这类问题，一般都是先取pn，qn的前几项进行观察，以寻求规律，作出猜想，再证明猜想的正确性解：p11xq1，p212xx2q2，p313x3x2x3，q313x3x2，p3q3x3，由此推测，pn与qn的大小要由x的符号来决定(1)当n1,2时，pnqn.(2)当n3时(以下再对x进行分类)：若x(0，)，显然有pnqn.若x0，则pnqn.若x(1,0)，则p3q3x30，所以p3q3.p4q44x3x4x3(4x)0，所以p4q4.假设nk(k3，kn)时，有pkqk(k3)，则nk1时，pk1(1x)pk(1x)qkqkxqk1kxxkx21(k1)xx2x3qk1x3qk1，即当nk1时，不等式成立所以当n3，且x(1,0)时，pnqn.反思 本题中，n的取值会影响pn与qn的大小变化，变量x也影响pn与qn的大小关系，这就要求我们在探索大小关系时，不能只顾“n”，而忽视其他变量(参数)的作用.题型四 易错辨析【例4】已知f(n)1(n