高中数学 第二讲 直线与圆的位置关系 二 圆内接四边形的性质与判定定理成长学案 新人教A版选修4-1.doc

二 圆内接四边形的性质与判定定理主动成长夯基达标1.已知四边形abcd是圆内接四边形,下列结论中正确的有（）如果ac,则a90如果ab,则四边形abcd是等腰梯形a的外角与c的外角互补abcd可以是1234a.1个b.2个c.3个d.4个思路解析:由“圆内接四边形的对角互补”可知:相等且互补的两角必为直角;两相等邻角的对角也相等(亦可能有abcd的特例);互补两内角的外角也互补;两组对角之和的份额相等(这里1324).因此得出正确,错误.答案:b2.圆内接平行四边形一定是（）a.正方形b.菱形c.等腰梯形d.矩形思路解析:由于圆内接四边形对角互补,平行四边形的对角相等,所以圆内接平行四边形的各角均为直角,故为矩形.答案:d3.如图2-2-6所示,ab、cd都是圆的弦,且abcd,f为圆上一点,延长fd、ab交于点e.求证:aeacafde.图2-2-6思路分析:连结bd,则bdac,即证aebdafde.证明:连结bd,abcd,bdac.a、b、d、f四点共圆,ebd=f.e为ebd和efa的公共角,ebdefa.=.=,即aeacafde.4.如图2-2-7所示,在abc中,ab =ac,延长ca到p,再延长ab到q,使得ap =bq.求证:abc的外心o与a、p、q四点共圆.图2-2-7思路分析:要证o、a、p、q四点共圆,只需证cpo =aqo即可.为此,只要证cpoaqo即可.证明:连结oa、oc、op、oq.在ocp和oaq中,oc =oa,由已知ca =ab,ap =bq,cp =aq.又o是abc的外心,ocp =oac.由于等腰三角形的外心在顶角平分线上,oac =oaq,从而ocp =oaq.ocpoaq.cpo =aqo.o、a、p、q四点共圆.5.如图2-2-8,在等腰三角形abc中,ab =ac,d是ac中点,de平分adb,交ab于e,过a、d、e的圆交bd于n.求证:bn =2ae.图2-2-8思路分析:要证bn =2ae,由已知有ab=ac =2ad,所以只需证=.而又因为ae =ne,所以只需证=,这可由bnebad证得.证明:连结en,四边形aend是圆内接四边形,bne =a.又abd =ebn,bnebad.=.ab =ac,ac =2ad,ab =2ad.bn =2en.又ade =nde,ae =en,ae =en,bn =2ae.6.如图2-2-9,已知四边形abcd内接于o,边ab与dc的延长线交于点e,边ad与bc的延长线相交于点f,eg与fg分别是aec和afc的角平分线.求证:egfg.图2-2-9思路分析:注意到eg平分aed,因此，要证gfge,只要构造等腰三角形，便可利用三线合一的性质来证.证明:延长fg交ab于m,四边形abcd内接于o,ncf =a.mne =nfc+ncf,mne =nfc+a.又fg平分afb,afm =nfc.mne =a+afm.又nme =a+afm,mne =nme,即em =en.又ge平分men,gemn,即egfg.7.如图2-2-10,已知半圆的直径ab =6 cm,cd是半圆上长为2 cm的弦,ac与bd延长线交于p,当弦cd在半圆上滑动时,求证:p为定值,并求出这个定角的正弦值.图2-2-10思路分析:要证p为定值,考虑求出p的三角函数值,因此,构造以p为内角的直角三角形,注意到ab为直径,则连结bc、ad均可得到直角三角形.解:连结bc,cd为定长,圆直径为定值,在cd滑动过程中,cd的度数不变,pbc为定值.又ab为直径,acb =pcb=90,p =90-pbc为定值.pcd =pba,pcdpba.在rtpbc中,cosp =,sinp =.8.如图2-2-11,已知四边形abcd内接于o,ab是直径,ad =dc,分别延长ba、cd交于点e,bfec,交ec的延长线于f,若ea =ao,bc =12.求cf的长.图2-2-11思路分析:在rtcfb中,已知bc=12,要求cf,只有寻找与它相似的三角形,根据四边形abcd内接于o,则bcf =bad,因此连结bd,构造rtbad,下面证明badbcf.解:连结od、bd,ad = dc,ad =dc.abc m m m aod.odbc.=.ea =ao =bo,bc=12,od =8.ab =16,eb =24.四边形abcd内接于o,eda =ebc.edaebc.= =.设ad =cd =x,ed =y,则= =,解得, ,.ab为o的直径,adb =f =90.又dab =fcb,rtadbrtcfb.=,即=,.走近高考9.如图2-2-12所示,在半径为1的o中,引两条互相垂直的直径ae和bf,在ef上取点c,弦ac交bf于p,弦cb交ae于q.证明四边形apqb的面积是1.图2-2-12思路分析:由已知条件可以证明四边形abef是正方形,且边长为2,则正方形面积为2.而abd的面积为正方形面积的一半,所以,只需证明s四边形apqb =sabd,即证sbpd=sbpq,即证dqpb.因为bpae,所以,只需证dqae.证明:ae、bf为互相垂直的两条直径,垂足o为圆心,ae、bf互相平分、垂直且相等.四边形abef是正方形.acb =aef =45,即dcq =qed.d、q、e、c四点共圆.连结ce、dq,则dce +dqe =180.ae为o的直径,dce =90,dqe =90.foe =90,进而dqbf,sbpq =sbpd,sabp +sbpq =sabp +sbpd,即s四边形abqp =sabd.o的半径为1,正方形边长为,即ab =af =.s四边形abqp =sabd= abaf =1.10.如图2-2-13,abc的a的外角平分线交abc的外接圆于点d.求证:ab +ac2bd.图2-2-13思路分析:因为比较的是两条线段的和与另一条线段的大小,所以应将两条线段的和转化为一条线段,故可延长ba到e,使得ae =ac,然后比较be与2bd的大小关系.证明:在ba延长线上取点e,使得ae=ac.连结dc、de、bd.ae =ac,1=2,ad =ad,ade adc.de =dc.在bed中,bebd +de =bd+dc,即ab +acbd +dc.abcd是圆内接四边形,1=bcd.又2 =dbc,1=2,bcd =dbc.bd =dc.因此ab+ac2bd成立.11.如图2-2-14,已知p为正方形abcd的对角线bd上一点,通过p作正方形的边的垂线,垂足为e、f、g、h.你能发现e、f、g、h是否在同一个圆上吗？试说明你的猜想.图2-2-14思路分析:根据正方形的对称性,可以猜想,此四个点应当在以o为圆心的圆上,于是连结线段oe、of、og、oh,再设法证明这四条线段相等.解:猜想:e、f、g、h四个点在以o为圆心的