高考数学 玩转压轴题 专题3.8 欲证直线过定点结合特征方程验.doc

专题3.8 欲证直线过定点，结合特征方程验【题型综述】直线过定点的解题策略一般有以下几种：（1）如果题设条件没有给出这个定点，那么，我们可以这样思考：由于这个定点对符合要求的一些特殊情况必然成立，那么我们根据特殊情况先找到这个定点，再证明这个点与变量无关.(2)直接推理、计算，找出参数之间的关系，并在计算过程中消去部分参数，将直线方程化为点斜式方程，从而得到定点.（3）若直线方程含多个参数并给出或能求出参数满足的方程，观察直线方程特征与参数方程满足的方程的特征，即可找出直线所过顶点坐标，并带入直线方程进行检验.注意到繁难的代数运算是此类问题的特点，设而不求方法、整体思想和消元的思想的运用可有效地简化运算.【典例指引】类型一 椭圆中直线过未知顶点问题例1 【2017课标1，理20】已知椭圆c：（ab0），四点p1（1,1），p2（0,1），p3（1，），p4（1，）中恰有三点在椭圆c上.（1）求c的方程；（2）设直线l不经过p2点且与c相交于a，b两点.若直线p2a与直线p2b的斜率的和为1，证明：l过定点.类型二 椭圆中直线过已知定点问题例2. 【2017课标ii，理】设o为坐标原点，动点m在椭圆c：上，过m作x轴的垂线，垂足为n，点p满足。(1) 求点p的轨迹方程；(2)设点q在直线上，且，证明：过点p且垂直于oq的直线l过c的左焦点f。 【解析】(1)设出点p的坐标，利用得到点p与点,m坐标之间的关系即可求得轨迹方程为。（2）由题意知。设,则，。由得，又由（1）知，故。所以，即。又过点p存在唯一直线垂直于oq，所以过点p且垂直于oq的直线过c的左焦点f。类型三 点在定直线上问题例3【2016高考山东理数】平面直角坐标系中，椭圆c：的离心率是，抛物线e：的焦点f是c的一个顶点.（i）求椭圆c的方程；（ii）设p是e上的动点，且位于第一象限，e在点p处的切线与c交与不同的两点a，b，线段ab的中点为d，直线od与过p且垂直于x轴的直线交于点m.（i）求证：点m在定直线上;（ii）直线与y轴交于点g，记的面积为，的面积为，求 的最大值及取得最大值时点p的坐标.设，联立方程得，由，得且，因此,（ii）由（i）知直线方程为，令得，所以，又，所以，所以，令，则，当，即时，取得最大值，此时，满足，所以点的坐标为，因此的最大值为，此时点的坐标为.类型四 抛物线中直线过定点问题例4.【2013年高考理科陕西卷】已知动圆过定点a(4,0), 且在y轴上截得的弦mn的长为8. () 求动圆圆心的轨迹c的方程; () 已知点b(1,0), 设不垂直于x轴的直线l与轨迹c交于不同的两点p, q, 若x轴是的角平分线, 证明直线l过定点. 【扩展链接】1. 对任意圆锥曲线，过其上任意一点作两条直线，若直线斜率之积为定值，两直线交圆锥曲线于两点，则直线过定点.2.已知为过抛物线=的焦点的弦，则.3.已知为过椭圆的焦点的弦，则.4.已知直线，当变动时，直线恒过定点.【同步训练】1已知椭圆的离心率e=，左、右焦点分别为f1、f2，定点，p（2，），点f2在线段pf1的中垂线上（1）求椭圆c的方程；（2）设直线l：y=kx+m与椭圆c交于m、n两点，直线f2m、f2n的倾斜角分别为、且+=，求证：直线l过定点，并求该定点的坐标【思路点拨】（1）由椭圆的离心率求得a=c，且丨f1f2丨=丨pf2丨，利用勾股定理即可求得c及a和b的值；（2）将直线代入椭圆方程，利用直线的斜率公式求得=，=，由+=0，结合韦达定理，即可求得m=2k则直线mn过定点，该定点的坐标为（2，0）且=，=由已知+=，得+=0，即+=0，化简，得2kx1x2+（mk）（x1+x2）2m=0，2k（mk）（）2m整理得m=2k直线mn的方程为y=k（x2），直线mn过定点，该定点的坐标为（2，0）2.已知焦距为2的椭圆c：+=1（ab0）的右顶点为a，直线y=与椭圆c交于p、q两点（p在q的左边），q在x轴上的射影为b，且四边形abpq是平行四边形（1）求椭圆c的方程；（2）斜率为k的直线l与椭圆c交于两个不同的点m，n（i）若直线l过原点且与坐标轴不重合，e是直线3x+3y2=0上一点，且emn是以e为直角顶点的等腰直角三角形，求k的值（ii）若m是椭圆的左顶点，d是直线mn上一点，且daam，点g是x轴上异于点m的点，且以dn为直径的圆恒过直线an和dg的交点，求证：点g是定点【思路点拨】（1）由题意可得c=，直线y=代入椭圆方程，求得p，q的横坐标，可得|ab|，由四边形abpq是平行四边形，可得|ab|=|pq|，解方程可得b，由a，b，c的关系可得a，进而得到椭圆方程；（2）（i）由直线y=kx代入椭圆方程，求得m的坐标，由emn是以e为直角顶点的等腰直角三角形，可设e（m，m），求出e到直线kxy=0的距离d，由题意可得oemn，|om|=d，解方程可得k的值；（ii）由m（2，0），可得直线mn的方程为y=k（x+2），代入椭圆方程，可得x的方程，运用韦达定理，可得n的坐标，设g（t，0），（t2），由题意可得d（2，4k），a（2，0），以dn为直径的圆恒过直线an和dg的交点，可得andg，运用两直线垂直的条件，可得斜率之积为1，解方程可得t=0，即可得到定点（ii）证明：由m（2，0），可得直线mn的方程为y=k（x+2），代入椭圆方程可得，（1+2k2）x2+8k2x+8k24=0，可得2+xn=，解得xn=，yn=k（xn+2）=，即n（，），设g（t，0），（t2），由题意可得d（2，4k），a（2，0），以dn为直径的圆恒过直线an和dg的交点，可得andg，即有kankdg=1，即为=1，解得t=0故点g是定点，即为原点（0，0）3.已知椭圆e：+=1（ab0）经过点（1，），且离心率e=（1）求椭圆e的方程；（2）设椭圆e的右顶点为a，若直线l：y=kx+m与椭圆e相交于m、n两点（异于a点），且满足mana，试证明直线l经过定点，并求出该定点的坐标【思路点拨】（1）由题意的离心率公式e=，求得a=2c，b2=3c2，将点代入椭圆方程，即可求得a和b的值，即可求得椭圆c的标准方程；（2）将直线方程代入椭圆方程，由题意可知=0，由向量数量积的坐标运算及韦达定理，即可求得m和k的关系，代入即可求得直线恒过定点+2+4=0，化简得，7m2+4k2+16mk=0解得m=2k或m=且均满足3+4k2m20当m=2k时，l：y=k（x2），直线过定点（2，0）与已知矛盾；当m=时，l；y=k（x），直线过定点（，0），综上，直线l过定点，定点坐标为（，0）4.已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为圆f1、f2，m是c上一点，|mf1|=2，且（1）求椭圆c的方程；（2）当过点p（4，1）的动直线l与椭圆c相交于不同两点a，b时，线段ab上取点q，且q满足，证明点q总在某定直线上，并求出该定直线【思路点拨】（1）由已知得a=2c，且，由余弦定理求出c=1由此能求出椭圆c的方程（2）设直线l的方程为y=kx+（14k），代入椭圆方程，得（3+4k2）x2+（8k32k2）x+64k232k8=0，由此利用韦达定理、向量，结合已知条件能证明点q总在某定直线上，并求出该定直线 5.已知椭圆c的方程为+=1（ab0），离心率e=，点p（，1）在椭圆c上（1）求椭圆c的方程；（2）过c的右焦点f作两条弦ab，cd，满足=0，且=2，=2，求证：直线mn过定点，并求出此定点【思路点拨】（1）由a=c，则b2=a2c2=2c2，将p代入椭圆方程，即可求得a和b的值，求得椭圆方程（2）然后分弦ab，cd的斜率均存在和弦ab或cd的斜率不存在两种情况求解当斜率均存在时，写出直线ab的方程，代入椭圆方程后化简，利用根与系数关系求得m坐标，同理求得n的坐标进一步分k1和k=1求得直线mn的方程，从而说明直线mn过定点，当弦ab或cd的斜率不存在时，易知，直线mn为x轴，也过点（，0）则x1+x2=，x1x2=，x0=，y0=k（x01）=，于是m（，）cdab，将点m坐标中的k换为，即得点n（，）当k1时，直线mn的方程为y=（x）令y=0，得x=，则直线mn过定点（，0）；当k=1时，易得直线mn的方程x=，也过点（， 0）当弦ab或cd的斜率不存在时，易知，直线mn为x轴，也过点（，0）综上，直线mn必过定点（，0）6.已知椭圆c：x2+4y2=4（1）求椭圆c的离心率；（2）椭圆c的长轴的两个端点分别为a，b，点p在直线x=1上运动，直线pa，pb分别与椭圆c相交于m，n两个不同的点，求证：直线mn与x轴的交点为定点【思路点拨】（1）求得椭圆的标准方程，则a=2，b=1，则c=，利用椭圆的离心率公式，即可求得椭圆c的离心率；（2）设p（1，t），由已知条件分别求出m，n的坐标，设定点为q，再由kmq=knq，能证明直线mn经过一定点q（4，0） 7.在直角坐标系xoy 中，f，a，b 分别为椭圆 的右焦点、右顶点和上顶点，若（1）求a的值；（2）过点p（0，2）作直线l 交椭圆于m，n 两点，过m 作平行于x 轴的直线交椭圆于另外一点q，连接nq，求证：直线nq 经过一个定点【思路点拨】（1）由题意得：，解得a；（2）设m（x1，y1），n（x2，y2），直线l 的方程为y=kx+2，将y=kx+2 代入椭圆方程得（3+4k2）x2+16kx+4=0，直线nq 的方程，由对称性可知，若过定点，则必在y 轴上，令x=0，即可 8.已知椭圆的一个焦点为，其左顶点在圆上（1）求椭圆的方程；（2）直线交椭圆于两点，设点关于轴的对称点为 （点与点不重合），证明：直线过x轴上的一定点，并求出定点坐标【思路点拨】（1）利用点在椭圆上和几何要素间的关系求其标准方程；（2）联立直线和椭圆的标准方程，得到关于的一元二次方程，利用根与系数的关系得到直线的点斜式方程，再利用赋值法进行求解.【详细解析】（1）椭圆的左顶点在圆上，又椭圆的一个焦点为， 椭圆的方程为 9.已知动圆m恒过点（0，1），且与直线y=1相切（1）求圆心m的轨迹方程；（2）动直线l过点p（0，2），且与点m的轨迹交于a、b两点，点c与点b关于y轴对称，求证：直线ac恒过定点【思路点拨】（1）由题意可知圆心m的轨迹为以（0，1）为焦点，直线y=1为准线的抛物线，根据抛物线的方程即可求得圆心m的轨迹方程；（2）由题意可知直线l的斜率存在，设直线l的方程为：y=kx2，a（x1，y1），b（x2，y2），则c（x2，y2）代入抛物线方，由韦达定理及直线直线ac的方程为：yy2=（x+x2），把根与系数的关系代入可得4y=（x2x1）x+8，令x=0，即可得出直线恒过定点【详细解析】（1）动点m到直线y=1的距离等于到定点c（0，1）的距离，动点m的轨迹为抛物线，且=1，解得：p=2，动点m的轨迹方程为x2=4y；（2）证明：由题意可知直线l的斜率存在，设直线l的方程为：y=kx2，a（x1，y1），b（x2，y2），则c（x2，y2）联立，化为x24kx+8=0， 10.已知f是抛物线c：x2=4y的焦点，a（x1，y1），b（x2，y2）为抛物线c上不同的两点，l1，l2分别是抛物线c在点a、点b处的切线，p（x0，y0）是l1，l2的交点（1）当直线ab经过焦点f时，求证：点p在定直线上；（2）若|pf|=2，求|af|bf|的值【思路点拨】（1）当直线ab经过焦点f时，求出切线pa，pb的方程，可得p的坐标，即可证明：点p在定直线上；（2）设直线ab的方程为y=kx+m，代入c：x2=4y得x24kx4m=0，求出p的坐标，利用韦达定理，即可求|af|bf|的值【详细解析】（1）证明：抛物线，则，切线pa的方程为，即，同理切线pb的方程为，联立得点p，设直线ab的方程为y=kx+1，代入c：x2=4y得x24kx4=0所以x1x2=4所以点p在直线y=1上；（2）证明：设直线ab的方程为y=kx+m，代入c：x2=4y得x24kx4m=0x1+x2=4k，x1x2=4m，所以p（2k，m），=4mk2+4k2（m+1）+44k2=411.已知动点c到点f（1，0）的距离比到直线x=2的距离小1，动点c的轨迹为e（1）求曲线e的方程；（2）若直线l：y=kx+m（km0）与曲线e相交于a，b两个不同点，且，证明：直线l经过一