关于帕普斯定理的猜想 续篇.doc

关于帕普斯定理的猜想 续篇帕普斯(Pappus)定理:直线l1上依次有点A,B,C，直线l2上依次有点D,E,F，设AE,BD交于P，AF,DC交于Q，BF,EC交于R，则P,Q,R共线。,这里解释一下,L1,L2或相交或平行,先回顾上篇的内容：下面应用几何画板作出的动图影射的是平面上的两条平行直线。 图一 图二图三显然PQR三点不共线，但我们不灰心，继续看下面的动图、，代表平面上两条相交直线 图一 图二 图三 图四 图五 图六 图七 图八图九除了第6幅图有异常，我们暂且归谬于误差吧。 图一 图二上面左图点在圆右边，右图R点在圆左边，不计误差的话，三点仍然共线相同的定理，为什么相交线可以,平行线反倒不适应？那好,我们接下来继续,换个角度思考，把两条平行线看作是两个相离的圆,帕普斯定理是成立的,且看下面画板图示: 既然是两条平行线的直观影射,那他们的远点又跑到哪里去了?!下面看看-先生的博客上的一篇文章节选,看看能不能找到一点线索:时隔一千多后， 法国数学家和物理学家帕斯卡（Pascal）把帕普斯定理推广到圆进而又推广到一般的圆锥曲线中， 这就是著名的帕斯卡定理（射影几何中的另一个经典定理）：因为两条直线可以看作是双曲线的极限情形（两条相交直线可以看作实轴和虚轴趋向无穷小的双曲线的极限， 两条平行直线可以看作实轴固定,而虚轴趋向无穷大的双曲线的极限）， 所以帕普斯定理可以看作帕斯卡定理的退化情形。用传统的平面几何方法虽然可以证明帕普斯定理（通过反复多次运用梅涅劳斯定理或者用面积法）， 但需要高度的技巧和很好的运气（碰巧能凑出所需要的那个梅涅劳斯逆定理的条件来）， 这样的证明诚然是很漂亮的， 但总给人以一种“凑巧”、“玄奇”和“险峻”的感觉， 且在除证明本身之外， 我们并没有任何额外的收获， 和对该定理深刻的认识， 你会认为它仅仅是一个巧合， 只是碰巧如此， 而是必然如此。【注 1】请读者思考一下当这些直线中有一对或两对互相平行时会出现什么情况（我们后面将把它作为帕普斯定理的特殊情形单独讨论）。【注 2】即便知道梅涅劳斯定理， 具体该怎么用却也是一片茫然， 因为三角形和截线实在太多， 犹如一堆乱麻， 理出一个头绪来。【注 3】帕普斯虽然发现这个定理， 但遗憾的是， 他显然并没有意识到它背后隐藏的普遍原理即射影几何的原理， 否则， 射影几何就会提前一千多被发现。2. 证明的基本思路我们将用数学中一个普遍有效的思想方法证明帕普斯定理（菲尔兹奖得主 Timothy Gowers 在论如何自主地发现三次方程的解法（How to Discover for Yourself the Solution of the Cubic）中讲到同样的思想方法）：一、首先“退一步”， 先对一种非常特殊的最最简单的情形证明帕普斯定理成立。二、 第二步是“化一般为特殊”， 设法把一般情形归化为上面这个已经解决的特殊情形， 具体的办法是考虑某种变换， 只要该变换是保线性的（即把直线变为直线）， 我们就“大功告成”。（请读者思考什么样的变换能达成此目的？）好吧,上面的介绍的只是圆以及圆锥曲线,仅仅把两条或平行或相交的直线看作是一条曲线,不存在两条直线对应两条曲线的情形.【双曲线看作是一条函数曲线的话】只能继续探索了。我在这里写这些文