数学北师大版八年级下册直角三角形的性质.docx

19.8 直角三角形的性质（1）【教学目标】1、 掌握“直角三角形的两个锐角互余”定理2、 巩固利用添辅助线证明有关几何问题的方法3、 掌握“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”定理以及应用4、 体会从特殊到一般的认知方法，进一步激发学生参与到课堂的教学活动中，进一步探索精神与探索能力，并体验成功的快乐【教学重点】让学生掌握直角三角形的两个锐角互余和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半这两个性质定理【教学难点】直角三角形斜边上的中线性质定理的证明思想方法及应用【教学过程】一、复习什么叫直角三角形？二、引入 今天这节课，我们一起来学习“直角三角形的性质”。研究直角三角形的性质，可以从它的角、边着手考虑；三、新课学习 在直角三角形中，锐角A与B有怎样的数量关系？为什么？归纳：定理1、直角三角形的两个锐角互余。 在RtABC中ACB=90A+B=90【任务一】练一练，算一算：1. 在ABC中，C90，A55，则B（ ）；2. 如图1，在ABC中，ACB90，若CD是斜边AB上的高，则 与B互余的角有（ ）个； 与B相等的角是（ ）； （图1） （图2）3. 如图2，在ABC中，ACB90，若CD是斜边AB上的高，且A45，AB4，则CD（ ）；【想一想】： CD和AB有怎样的数量关系？ 过渡到一般的直角三角形，直角的平分线、斜边的高、斜边的中线还重合吗？在这三条线段中是否还有线段会等于斜边的一半？【任务二】画一画，证一证求证：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；已知：在RtACB中，ACB=90，CD是斜边AB上的中线求证：CD=12AB证明：延长CD到E，使DE=CD，联结AE 在ADE与BDC中 AD=BD（已知） ADE=BDC（对顶角相等） DE=DC（已作）ADEBDC（S.A.S）EA=CB（全等三角形的对应边相等）EAD=B（全等三角形的对应角相等）ACB=90（已知）CAB+B=90（直角三角形的两个锐角互余）CAB+EAD =90（等量代换）即EAC=90EAC=ACB（等量代换） 在EAC与BCA中 EA=BC（已证） EAC=BCA（已证） AC=CA（公共边）EACBCA（S.A.S）EC=BA（全等三角形的对应边相等）CD=12EC（已作）CD=12AB（等量代换）定理2、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。在RtABC中ACB=90，CD是斜边AB上的中线CD=12AB【任务三】判断下列命题是否正确；1.在ABC中，CD是AB边上的中线，则CDAB； （ ）2.在RtABC中，ACB90，D是AB边上的一点，则CDAB； （ ）3.在RtABC中，ACB90，AD是BC边上的中线，则ADAB； （ ）【任务四】：算一算，填一填在RtABC中，ACB90，CD是斜边AB上的中线； 若AB10，则CD（ ） 若CD10，则AB（ ） 与B相等的角是 （ ）； 若A30，则DBC的形状是（ ）也就是说，直角三角形斜边上的中线将这个直角三角形分成了两个 等腰三角形 。在特殊化一点，当B=45是，等腰直角三角形斜边上的中线将这个直角三角形分成了两个 等腰直角三角形 。四、例题分析例1、已知：如图，在ABC中，ADBC，E、F分别是AB、AC的中点，且DE=DF 求证：AB=AC证明：ADBC（已知） ADB=ADC=90（垂直的定义） 在RtABC中，E是AB的中点（已知） DE=12AB（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半） 同理，DF=12AC DE=DF（已知） AB=AC（等式性质）五、拓展练习2. 已知：如图1，在Rt ABC与Rt ACE中， ABC=AEC=90 ，点M是AC边上的中点，联结BM、EM、BE，点P是BE的中点. 求证： MP BE ； 如图2，上述结论是否任然成立，若成立，请给出证明；若不成