高考数学 数学思想的应用情形归纳 第14讲 数形结合思想情形之22-26.doc

第14讲：数形结合思想情形之22-26【知识要点】 一、数学思想是人对数学知识的本质认识，是从某些具体的数学内容和对数学的认识过程中提炼上升的数学观点，它在认识过程中被反复运用，带有普遍的指导意义.是建立数学和用数学解决问题的指导思想，而且数学思想是数学学科的精髓，是数学素养的重要内容之一.学生只有领会了数学思想，才能有效地应用知识，形成能力.在我们解决数学问题进行数学思维时，也总是自觉或不自觉地运用数学思想方法.高中数学解题常用的数学思想有数形结合思想、分类讨论思想、转化化归思想、函数方程思想等.二、数形结合，是中学数学最重要的思想方法之一.著名数学家华罗庚先生说：“数与形本是相倚依，怎能分作两边飞，数缺形时少直觉，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休。切莫忘，几何代数流一体，永远联系切莫分离. ”它精辟地阐述了数形结合的重要性，它不仅是一个重要的数学思想，而且是一种重要的解题方法. 因而数形结合的能力必然是历年高考的一个重点.所谓数形结合的思想方法，就是由数学问题所呈现的条件和结论，通过研究数式的几何意义，或者研究几何问题的代数意义，设法沟通数学问题在数量关系和空间形式的内在联系，使隐含条件明朗化，复杂问题简单化，抽象问题具体化，开拓题目新思路，以便最终找到解决问题的带有数形信息转换特征的数学方法.数形结合思想就是把“数”和它对应的“形”联系起来分析解答数学问题，以形助数，以数解形，数形互助，提高解题效率，优化解题.高中数学中数形结合的情形很多，常见的情形见后面的方法讲评.三、数形结合要注意三个原则：等价性原则、双向性原则、简单性原则.四、本讲讲了数形结合思想情形之22-25, 情形22：表示的正弦线、余弦线和正切线；情形23：表示和向量和；情形24：表示向量加法的三角形法则；情形25：表示韦恩图中集合和集合的公共部分.情形26：表示线性回归模型.【方法讲评】数形结合情形二十二数形表示的正弦线、余弦线和正切线.【例1】设则（ ）a b c d【解析】，则是第一象限的锐角，根据三角函数线，所以，故选a【点评】（1）本题中由于有正弦、余弦和正切，且角，所以选择三角函数线比较大小比较方便.（2）本题中化简成，这样三个角相同利用三角函数线比较更简洁.【反馈检测1】设a=，b=，c=，则（ ）aabc bbca ccba dcab数形结合情形二十三数形与直角坐标系中点对应.表示和的向量和表示和的向量差【例2】在复平面上，平行四边形的三个顶点对应的复数分别为，求第四个顶点的坐标及此平行四边形对角线的长.【点评】在复平面内，复数与复平面内的点是一一对应的关系，复平面内的点与以原点为起点的向量是一一对应的.【反馈检测2】已知复数，且，若在复平面中对应的点分别为，求的面积.数形结合情形二十四数形表示向量的三角形加法法则.表示向量加法的平行四边形法则.表示向量减法的三角形法则.【例3】如图，已知中，为边上靠近点的三等分点，连接，为线段的中点，若，则 .【点评】(1)本题主要考查平面向量的三角形加法法则和减法法则，考查平面向量的基本定理.(2)在利用基底法解答向量问题时，首先把要求的向量放到某一个三角形中利用三角形法则表示出来，再把未知的向量再放到新的三角形中表示出来，依此类推.【例4】平面直角坐标系中，o为坐标原点，设向量，其中，平面区域d由所有满足的点组成，点使得取得最大值3，则的最小值为（ ）【解析】由题得点p在平行四边形内（含边界）上运动，显然，当点p在图中p点位置时，【点评】（1）由于看到线性一次函数，所以本题容易联想到线性规划来解答，但是解答比较复杂. 如果由联想到向量的平行四边形法则，解答就很简洁.(2)本题求函数的最值，利用到了基本不等式的一个技巧：常量代换. 因为有这些条件. 【反馈检测3】已知平行四边形中, ， ,对角线交于点， 上一点满足， 为上任意一点.求值.数形结合情形二十五数形表示韦恩图中集合a和集合b的公共部分.表示韦恩图中集合a和集合b合并在一起的集合.表示韦恩图中在全集u中去掉集合a后剩下的集合.【例5】已知集合，则（ ）a. b. c. d. 【解析】集合，故.，故选a.【点评】（1）集合的运算首先要把集合化简，化简时，首先要看“|”线前面给集合定“类”，再看“|”后面给集合定性.(2)集合a是关于x的数集，要求函数的定义域.集合b是关于y的数集，要求函数的值域.【反馈检测4】设集合， ，则a. b. c. d. 数形结合情形二十六数形与某线性回归模型对应.【例6】在一次抽样调查测得样本的5个样本点，数值如下表：x0.250.5124y1612521试建立y与x的回归方程.【解析】作出变量y与x之间的散点图如图所示：由图可知变量y与x近似地呈反比例函数关系.设令则，由y与x的数据表可得y与t的数据表：t4210.50.25y1612521作出y与t的散点图如图所示：所以，所以y与x的回归方程是【点评】（1）由与的散点图得到与不具备线性关系，近似地满足反比例函数，所以不能直接用最小二乘法求它们的回归方程. 怎么求呢？可以通过换元得到，与近似满足线性关系，可以利用最小二乘法求线性回归方程.（2）相比建立线性回归方程模型，建立非线性回归方程模型多了两个步骤，即第四步通过换元，将非线性回归方程模型转化为线性回归方程模型，第六步去新元，得到非线性回归方程。这个实际上，是数学中的转化的思想的具体运用.【反馈检测5】某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的宣传费xi和年销售量yi（i=1，2，3，.8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值46.65636.8289.81.61469108.8表中： .（）根据散点图判断，与，哪一个适宜作为年销售量关于年宣传费的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）；（）根据（i）的判断结果及表中数据，建立关于的回归方程；（）已知这种产品的年利润与，的关系为，根据（ii）的结果回答下列问题：（i）当年宣传费=49时，年销售量及年利润的预报值时多少？（ii）当年宣传费为何值时，年利润的预报值最大？并求出最大值数学思想在高中数学教学中的应用情形归纳第06讲：数形结合思想情形之22-26参考答案【反馈检测1答案】c【反馈检测1详细解析】a=sin， b=cos=sin，c=tan，所以由三角函数线得tansin，tansinsinsin， 即cba.【反馈检测2答案】2【反馈检测3答案】【反馈检测3详细解析】由平行四边形知， ， 而， ， ， 【反馈检测4答案】b【反馈检测4详细解析】由得，.函数的值域为， ， .【反馈检测5答案】（）由散点图可以判断，适宜作为年销售量关于年宣传费的回归方程类型