高中数学 第2章 推理与证明 2.3 数学归纳法互动课堂 苏教版选修22.DOC

高中数学 第2章 推理与证明 2.3 数学归纳法互动课堂 苏教版选修2-2疏导引导一、数学归纳法的概念与注意事项1.数学归纳法的概念(1)归纳法：由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法，通常叫做归纳法.(2)数学归纳法：在证明某些与自然数有关的命题时，如果先证明当n取第一个值n0(例如n0=1或n0=2)时命题成立，然后假设当n=k(kn*,kn0)时命题成立，并证明当n=k+1时命题也成立.因为证明了这一点，就可以断定这个命题对于n取第一个值n0后面的所有正整数也都成立，这种证明方法叫做数学归纳法.2.用数学归纳法证明一个与自然数有关的命题的步骤：(1)证明当n取第一个值n0时结论成立;(2)假设当n=k(kn*,kn0)时结论成立，证明当n=k+1时结论也成立. 在完成了这两个步骤以后，就可以断定命题对于从n0开始的所有自然数n都成立.3.数学归纳法是专门证明与自然数集有关的命题的一种方法，它是一种完全归纳法，是对不完全归纳法的完善.证明分两步，其中第一步是命题成立的基础，称为“归纳奠基”;第二步解决的是延续性问题又称“归纳递推”.数学归纳法用框图表示如下:4.运用数学归纳法证明有关命题注意以下几点：(1)两个步骤缺一不可.(2)在第一步中，n的初始值不一定从1取起，也不一定只取一个数(有时需取n=n0，n01等)，证明应视具体情况而定.(3)第二步中证明n=k+1时，必须使用归纳假设，否则就会打破数学归纳法步骤间的严密逻辑关系，造成推理无效.(4)证明n=k+1成立时，要明确求证的目标形式，一般要凑出归纳假设里给出的形式，以便使用归纳假设，然后再去凑出当n=k+1时的结论，这样就能有效减少论证的盲目性.(5)用数学归纳法可证明有关正整数问题，但并不是所有的正整数问题都是用数学归纳法证明的，学习时要具体问题具体分析.数学归纳法的理论根据是皮亚诺的归纳公理：任何一个正整数集a，若(1)1a;(2)由ka可推出k+1a,则a含有所有的正整数.二、运用数学归纳法时易犯的错误1.在证明命题的第一步时，是验证使命题成立的最小正整数n，因此，n不一定是1. 如证明凸n边形的对角线的条数为f(n)=n(n-3)，第一步要验证n=3.因为边数最少的凸n边形是三角形.又如证明对于足够大的正整数n，总有不等式2nn3.虽然n=1时，2113不等式成立，但是n=2,3,8,9时，不等式均不成立，所以第一步要验证n=10时不等式成立.此外，即使第一步是验证n=1，但n=1时，所验证的式子不一定是一项.如证明1+2+3+n+(n+1)+(n+2)=，n=1时，等式左边有三项，即1+2+3.2.第二步中，归纳假设起着“已知条件”的作用，在证明n=k+1时，一定要运用它，否则就不是数学归纳法. 如在证明等式1-2+4-8+(-1)n-12n-1=(-1)n-1+时， 第二步假设n=k时等式成立，即1-2+4-8+(-1)k-12k-1=(-1)k-1， 则当n=k+1时，有1-2+4-8+(-1)k-12k-1+(-1)k2k=+(-1)k成立， 这种证明根本就没有用到归纳假设，而是利用等比数列求和公式直接算出来，因此是套用数学归纳法步骤的一种伪证，这是利用数学归纳法证题之大忌. 又如有人用数学归纳法证明不等式(nn*)时，第二步如下： 假设n=k时，不等式成立， 即，则当n=k+1时，=(k+1)+1， 所以n=k+1时不等式成立. 由(1)、(2)知，不等式(nn+)成立. 以上证明过程是错误的.错在n=k+1时，直接用放缩法而没有使用归纳假设.3.注意由n=k到n=k+1的证明过程中，待证式中的项数的变化. 如在证明不等式(nn*)时，第二步假设n=k时，不等式成立，即， 则当n=k+1时，有成立，从而得证. 在这里，错以为由n=k到n=k+1时，只增加一项.事实上，本题由n=k到n=k+1时增加的项是，而减少的项是.象这种每一项都与n有关的“和、差、积、商”式，由n=k到n=k+1时一定要仔细计算其增加和减少的项数.4.注意不要机械套用数学归纳法中的两个步骤，要明确在递推步骤中，两步相差的是否为1. 例如有人证明当n为正奇数时，7n+1能被8整除时是这样证的：(1)当n=1时，7+1=8能被8整除.命题成立.(2)假设n=k时命题成立.即7k+1能被8整除. 则当n=k+1时，7k+1+1=7(7k+1)-6不能被8整除. 由(1)、(2)知n为正偶数时，7n+1就不能被8整除. 上述证法机械套用数学归纳法中的两个步骤，而忽略了n是正奇数的条件.事实上，第二步证明应如下： 假设n=k时命题成立，即7k+1能被8整除， 则当n=k+2时，7k+2+1=72(7k+1)+1-72=49(7k+1)-48. 因7k+1能被8整除，且48能被8整除.所以7k+2+1能被8整除，所以当n=k+2时命题成立. 由(1)、(2)知当n为正奇数时，7k+1能被8整除. 数学归纳法应用广泛，可证明恒等式、不等式、整除问题、几何问题等.证整除问题时，要注意“添”项、“减”项技巧，同时还应注意数或式的整除性知识.证几何问题时，关键在于寻找由n=k到n=k+1时的递推公式，同时应用到一些几何图形的性质.如一些几何计数问题应抓住所划分的线段、平面、空间的个数与交点、交线间的关系等.活学巧用1.比较2n与n2的大小(nn+).解析：当n=1时，2112， 当n=2时，22=22，当n=3时，2332， 当n=4时，24=42，当n=5时，2552， 猜想：当n5时，2nn2 下面用数学归纳法证明：(1)当n=5时，2552成立，(2)假设n=k(kn*，k5)时2kk2， 那么2k+1=22k=2k+2kk2+(1+1)kk2+=k2+2k+1=(k+1)2.当n=k+1时，2nn2. 由(1)(2)可知，对n5的一切自然数2nn2都成立. 综上，得当n=1或n5时，2nn2；当n=2，4时，2n=n2；当n=3时,2nn2.2.用数学归纳法证明：.证明:(1)当n=1时，左边=，右边=，等式成立.(2)假设n=k时，成立. 当n=k+1时,=.n=k+1时，等式成立. 由(1)(2)可得对一切正整数nn*,等式成立.3.已知an=(nn*),是否存在n的整式q(n),使得等式a1+a2+an-1=q(n)(an-1)对于大于1的一切自然数n都成立？证明你的结论.解析：假设存在q(n)，去探索q(n)等于多少. 当n=2时，由a1=q(2)(a2-1), 即1=q(2)()， 解得q(2)=2. 当n=3时，由a1+a2=q(3)(a3-1)， 即1+()=q(3)(-1)， 解得q(3)=3. 当n=4时,由a1+a2+a3=q(4)(a4-1), 即1+()+()=q(4)(), 解得q(4)=4. 由此猜想q(n)=n(n2,nn*). 下面用数学归纳法证明：当n2,nn*时,等式a1+a2+an-1=n(an-1)成立.当n=2时，由以上验证可知等式成立.假设当n=k(k2,kn*)时等式成立， 即a1+a2+ak-1=k(ak-1)， 则当n=k+1时，a1+a2+ak-1+ak=k(ak-1)+ak=(k+1)ak-k=(k+1)ak-(k+1)+1=(k+1)()=(k+1)(ak+1-1).当n=k+1时,等式亦成立. 由知，对于大于1的自然数n，存在整式q(n)=n,使得等式a1+a2+an-1=q(n)(an-1)总成立.4.已知数列an的通项公式为an=,数列bn的通项满足bn=(1-a1)(1-a2)-an),用数学归纳法证明bn=.证明:(1)当n=1时，a1=4,b1=1-a1=1-4=-3,b1=-3成立.(2)假设当n=k时等式成立，即bk=, 那么bk+1=(1-a1)(1-a2)-ak)(1-ak+1)=bk(1-ak+1)=. 这就是说，当n=k+1时，等式也成立. 由(1)(2)可以断定，对任何正整数n，bn=都成立.5.试判断下面的证明过程是否正确： 用数学归纳法证明：1+4+7+3n-2)=(3n-1)证明：(1)当n=1时，左边=1，右边=1当n=1时命题成立.(2)假设当n=k时命题成立，即1+4+7+(3k-2)=(3k-1) 则当n=k+1时，需证1+4+7+3k-2)+3(k+1)-2=(k+1)(3k+2)(*) 由于左端等式是一个以1为首项，公差为3，项数为k+1的等差数列的前n项和，其和为(k+1)(1+3k+1)=(k+1)(3k+2)(*)式成立，即n=k+1时，命题成立，根据(1)(2)可知，对一切nn*，命题成立.解析：以上用数学归纳法证明的过程是错误的. 在证明当n=k+1时等式成立时，没有用到当n=k时命题成立的归纳假设，故不符合数学归纳法证题的要求. 第二步正确的证明方法是： 假设当n=k时命题成立，即1+4+7+3k-2)=(3k-1)，则当n=k+1时，1+4+7+(3k-2)+3(k+1)-2=(3k-1)(3k+1)=(3k2+5k+2)=(k+1)(3k+2)=(k+1)3(k+1)-1 即当n=k+1时，命题成立.6.证明(n+1)(n+2)(n+n)=2n13(2n-1)，其中nn*.证明：(1)当n=1时，左边=1+1=2，右边=211=2，等式成立.(2)假设当n=k时，等式成立，即(