（全国版）2019版高考数学一轮复习 第5章 数列 第2讲 等差数列及其前n项和学案.doc

第2讲等差数列及其前n项和板块一知识梳理自主学习必备知识考点1等差数列的有关概念1定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列符号表示为an1and(nn*，d为常数)2等差中项：数列a，a，b成等差数列的充要条件是a，其中a叫做a，b的等差中项考点2等差数列的有关公式1通项公式：ana1(n1)d.2前n项和公式：snna1d.必会结论等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：anam(nm)d(n，mn*)(2)若an为等差数列，且klmn(k，l，m，nn*)，则akalaman.若mn2p(m，n，pn*)，则aman2ap.(3)若an是等差数列，公差为d，则a2n也是等差数列，公差为2d.(4)若an，bn是等差数列，则panqbn也是等差数列(5)若an是等差数列，公差为d, 则ak，akm，ak2m，(k，mn*)是公差为md的等差数列(6)等差数列an的前n项和为sn, 则sn，s2nsn，s3ns2n仍成等差数列，其公差为n2d.考点自测1判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)等差数列的公差是相邻两项的差()(2)若一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列()(3)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数()(4)数列an为等差数列的充要条件是对任意nn*，都有2an1anan2.()(5)等差数列an的单调性是由公差d决定的()答案(1)(2)(3)(4)(5)2课本改编在等差数列an中，已知a4a816，则该数列前11项和s11()a58 b88 c143 d176答案b解析因为an是等差数列，所以a4a82a616a68，则该数列的前11项和为s1111a688.故选b.3设等差数列an的前n项和为sn，若s39，s636，则a7a8a9等于()a63 b45 c36 d27答案b解析s3，s6s3，s9s6成等差数列，即9,27，a7a8a9成等差数列，a7a8a954945.故选b.4若等差数列an的前5项之和s525，且a23，则a7()a12 b13 c14 d15答案b解析由s5，得25，解得a47，所以732d，即d2，所以a7a43d73213.故选b.5课本改编在数列an中，a12,2an12an1，则a101_.答案52解析由2an12an1，得an1an，故数列an是首项为2，公差为的等差数列，所以a101210052.62018苏北四市模拟在等差数列an中，已知a2a811，则3a3a11的值为_答案22解析设等差数列an的公差为d，由题意可得a2a8112a5，则a5，所以3a3a113(a52d)a56d4a5422.板块二典例探究考向突破考向等差数列的基本运算例1(1)2017全国卷记sn为等差数列an的前n项和若a4a524，s648，则an的公差为()a1 b2 c4 d8答案c解析设an的公差为d，则由得解得d4.故选c.(2)2018吉林模拟已知等差数列an的前n项和为sn，若6a32a43a25，则s7()a28 b21 c14 d7答案d解析由6a32a43a25，得6(a12d)2(a13d)3(a1d)5a115d5(a13d)5，即5a45，所以a41，所以s77a47.故选d.触类旁通等差数列计算中的两个技巧(1)等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题(2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法【变式训练1】(1)2016全国卷已知等差数列an前9项的和为27，a108，则a100()a100 b99 c98 d97答案c解析设an的公差为d，由等差数列前n项和公式及通项公式，得解得ana1(n1)dn2，a100100298.故选c.(2)设sn为等差数列an的前n项和，a128，s99，则s16_.答案72解析设等差数列an的首项为a1，公差为d，由已知，得解得s16163(1)72.考向等差数列的性质命题角度1等差数列项的性质例2(1)等差数列an中，若a4a6a8a10a12120，则a9a11的值是()a14 b15 c16 d17答案c解析因为an是等差数列，所以a4a6a8a10a125a8120，a824.所以a9a11a8d(a83d)a816.(2)若两个等差数列an和bn的前n项和分别是sn，tn，已知，则_.答案解析.命题角度2等差数列前n项和性质的应用例3(1)已知等差数列an的公差为2，项数是偶数，所有奇数项之和为15，所有偶数项之和为25，则这个数列的项数为()a10 b20 c30 d40答案a解析设这个数列有2n项，则由等差数列的性质可知：偶数项之和减去奇数项之和等于nd，即25152n，故2n10，即数列的项数为10.故选a.(2)2018杭州学军中学月考设sn是等差数列an的前n项和，若，则()a. b. c. d.答案a解析令s31，则s63，s91236.s12s9410，.故选a.触类旁通等差数列性质的应用技巧(1)等差数列项的性质：利用等差数列项的性质解决基本量的运算体现了整体求值思想，应用时常将anam2ak(nm2k，n，m，kn*)与amanapaq(mnpq，m，n，p，qn*)相结合，可减少运算量(2)等差数列和的性质：在等差数列an中，sn为其前n项和，则数列sm，s2msm，s3ms2m，也是等差数列，且有s2nn(a1a2n)n(anan1)；s2n1(2n1)an；若n为偶数，则s偶s奇；若n为奇数，则s奇s偶a中(中间项)考向等差数列的判定与证明例42018辽宁大连双基测试数列an满足an1，a11.(1)证明：数列是等差数列；(2)求数列的前n项和sn，并证明：.解(1)证明：an1，化简得2，即2，故数列是以1为首项，2为公差的等差数列(2)由(1)知2n1，所以snn2.证明：1.触类旁通等差数列的判定方法(1)定义法：对于n2的任意自然数，验证anan1为同一常数；(2)等差中项法：验证2an1anan2(n3，nn*)成立；(3)通项公式法：验证anpnq；(4)前n项和公式法：验证snan2bn.提醒在解答题中常应用定义法和等差中项法，而通项公式法和前n项和公式法主要适用于选择题、填空题中的简单判断【变式训练2】2018昆明模拟在数列an中，a1，an12，设bn，数列bn的前n项和是sn.(1)证明数列bn是等差数列，并求sn；(2)比较an与sn7的大小解(1)证明：bn，an12，bn11bn1，bn1bn1，数列bn是公差为1的等差数列由a1，bn，得b1，sn3n.(2)由(1)知，bnn1n.由bn，得an11.ansn73n6.当n4时，y3n6是减函数，y也是减函数，当n4时，ansn7a4s470.又a1s170，a2s270，a3s370，s3s11，则当n为多少时，sn最大？解题视点可利用snna1d及二次函数的性质求解；也可以利用首项a10，公差d0，所以0.故当n7时，sn最大解法二：由于snan2bn是关于n的二次函数，由s3s11，可知snan2bn的图象关于n7对称由解法一可知a0，s3s11可知d0，a80，且spsq(pq)，则：若pq为偶数，则当n时，sn最大；若pq为奇数，则当n或n时，sn最大跟踪训练(1)2018江西模拟已知数列an是等差数列，a1a3a5105，a2a4a699，an的前n项和为sn，则使得sn达到最大的n值是_答案20解析a1a3a5105a335，a2a4a699a433，则an的公差d33352，a1a32d39，snn240n，因此当sn取得最大值时，n20.(2)在等差数列an中，a17，公差为d，前n项和为sn，当且仅当n8时sn取得最大值，则d的取值范围为_答案解析当且仅当n8时sn取得最大值，即解得1d0，a7a100，即a80，又a7a10a8a90.a90，an为递减数列又 s9s8a9s7，当n8时，an的前n项和最大92018金版创新题已知数列an中，a37，a73，且是等差数列，则a10_.答案解析设等差数列的公差为d，则，.是等差数列，4d，即4d，解得d，故7d7，解得a10.10一个等差数列的前12项的和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和的比为3227，则该数列的公差d_.答案5解析设等差数列的前12项中奇数项的和为s奇，偶数项的和为s偶，等差数列的公差为d.由已知条件，得解得又s偶s奇6d，所以d5.b级知能提升12018唐山统考已知等差数列an的前n项和为sn，若s1122，则a3a7a8()a18 b12 c9 d6答案d解析设等差数列an的公差为d，由题意得s1122，即a15d2，所以a3a7a8a12da16da17d3(a15d)6.故选d.22018洛阳统考设等差数列an的前n项和为sn，且a10，a3a100，a6a70的最大自然数n的值为()a6 b7 c12 d13答案c解析a10，a6a70，a70，a1a132a70，s130的最大自然数n的值为12.故选c.3已知等差数列an中，an0，若n2且an1an1a0，s2n138，则n等于_答案10解析2anan1an1，又an1an1a0，2ana0，即an(2an)0.an0，an2.s2n12(2n1)38，解得n10.42018云南模拟设数列an的前n项积为tn，且tn2an2(nn*)(1)求证：数列是等差数列；(2)设bn(1an)(1an1)，求数列bn的前n项和sn.解(1)证明：tn2an2，当n1时，t12a12