（天津专用）2018版高考数学总复习 专题09 立体几何分项练习（含解析）理.doc

专题09 立体几何一基础题组1.【2005天津，理4】设、为平面，为、直线，则的一个充分条件是a、 b、 c、 d、【答案】d本题答案选d2.【2005天津，理12】若图，平面，且则异面直线pb与ac所成角的正切值等于_。【答案】【解析】将此多面体补成正方体，与所成的角的大小即此正方体主对角线与棱所成角的大小。本题答案填写：3.【2006天津，理6】设、是两条不同的直线，、是两个不同的平面.考查下列命题，其中正确的命题是（）a b c d 【答案】b【解析】设、是两条不同的直线，、是两个不同的平面。下列命题中正确的命题是，选b.4.【2006天津，理13】如图，在正三棱柱中，若二面角的大小为，则点到平面的距离为_【答案】5.【2007天津，理6】设为两条直线，为两个平面.下列四个命题中，正确的命题是( )a.若与所成的角相等，则b.若，则c.若则d.若则【答案】d【解析】对于a当与均成时就不一定；对于b只需找个，且即可满足题设但不一定平行；对于c可参考直三棱柱模型排除，故选d6.【2007天津，理12】一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为则此球的表面积为.【答案】【解析】长方体外接球直径长等于长方体体对角线长，即，由7.【2008天津，理4】设是两条直线，是两个平面，则的一个充分条件是(a) (b) (c) (d) 【答案】c【解析】a、b、d直线可能平行，选c8.【2008天津，理12】一个正方体的各定点均在同一球的球面上，若该球的体积为，则该正方体的表面积为 .【答案】249.【2009天津，理12】如图是一个几何体的三视图.若它的体积是,则a_.【答案】【解析】由三视图可知几何体是一个三棱柱,底面三角形的一边长为2,其边上的高为a,依题.10.【2010天津，理12】一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为_【答案】11.【2011天津，理10】一个几何体的三视图如图所示（单位：），则这个几何体的体积为_.【答案】【解析】该几何体为一个棱柱与一个圆锥的组合体，.12.【2012天津，理10】一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为_ m3【答案】189【解析】由几何体的三视图可知该几何体的顶部是长、宽、高分别为6 m,3 m,1 m的长方体，底部为两个直径为3 m的球该几何体的体积为：v6312189(m3)13.【2014天津，理10】已知一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为_【答案】【解析】考点：1立体几何三视图；2几何体体积的计算14.【2017天津，理10】已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为_【答案】【解析】设正方体的边长为，则，其外接球直径为，故这个球的体积【考点】球的体积【名师点睛】求多面体的外接球的表面积或体积的问题常用的方法有：三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助球的对称性，球心为上下底面外接圆的圆心连线的中点，再根据勾股定理求球的半径；如果多面体有两个面相交，可过两个面的外心分别作两个面的垂线，垂线的交点即球心15. 【2015高考天津，理17】（本小题满分13分）如图，在四棱柱中，侧棱,且点m和n分别为的中点.(i)求证：平面；(ii)求二面角的正弦值；(iii)设为棱上的点，若直线和平面所成角的正弦值为，求线段的长【答案】(i)见解析； (ii) ； (iii) .(i)证明：依题意，可得为平面的一个法向量， 所以二面角的正弦值为.(iii)依题意，可设，其中，则，从而，又为平面的一个法向量，由已知得，整理得，又因为，解得， 所以线段的长为.【考点定位】直线和平面平行和垂直的判定与性质，二面角、直线与平面所成的角，空间向量的应用.16. 【2016高考天津理数】已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图所示（单位：m），则该四棱锥的体积为_m3.（第11题图）【答案】2【解析】【考点】三视图、几何体的体积【名师点睛】解答此类题目的关键是由多面体的三视图想象出空间几何体的形状并画出其直观图三视图中“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽”，因此，可以根据三视图的形状及相关数据推断出原几何图形中的点、线、面之间的位置关系及相关数据二能力题组1.【2005天津，理19】如图，在斜三棱柱中，侧面与底面abc所成的二面角为120，e、f分别是棱、的中点。（）求与底面abc所成的角；（）证明ea平面；（）求经过、a、b、c四点的球的体积。【答案】（）；（）详见解析；（）【解析】因为，且，所以，于是为二面角的平面角，即由于四边形为平行四边形，得所以，与底面所成的角度为（ii） 证明：设与的交点为，则点p为eg的中点，连结pf。在平行四边形中，因为f是的中点，所以而ep平面，平面，所以平面（iii）解：连接。在和中， 又因为平面，所以是的外心设球心为，则必在上，且在rt中，球的体积2.【2006天津，理19】如图，在五面体中，点是矩形的对角线的交点，面是等边三角形，棱（1）证明/平面；（2）设，证明平面【答案】（i）详见解析，（ii）详见解析.（ii）证明：连接fm由（i）和已知条件，在等边cde中，cm=dm，emcd且因此平行四边形efom为菱形，从而eofmcdom，cdem，cd平面eom，从而cdeo而fmcd=m，所以eo平面cdf3.【2007天津，理19】如图，在四棱锥中，底面是的中点.(i)证明：；(ii)证明：平面；(iii)求二面角的大小.【答案】(i)证明(略)(ii)证明证明(略)(iii) 或【解析】(i)证明：在四棱锥中，因底面平面故.平面.而平面.(iii)解法一：过点作垂足为连结.由(ii)知，平面在平面内的射影是则.解法二：由题设底面平面则平面平面交线为过点作垂足为故平面过点作垂足为连结故因此是二面角的平面角.由已知，可得.设可得于是，在中，所以二面角的大小是4.【2008天津，理19】如图，在四棱锥中，底面是矩形.已知.（）证明平面；（）求异面直线与所成的角的大小；（）求二面角的大小.【答案】（i）详见解析，（ii），（）所以异面直线与所成的角的大小为.（）解：过点p做于h，过点h做于e，连结pe因为平面，平面，所以.又，因而平面，故he为pe再平面abcd内的射影.由三垂线定理可知，从而是二面角的平面角。由题设可得，于是再中，所以二面角的大小为5.【2009天津，理19】如图,在五面体abcdef中,fa平面abcd,adbcfe,abad,m为ec的中点,afabbcfead.(1)求异面直线bf与de所成的角的大小;(2)证明平面amd平面cde;(3)求二面角acde的余弦值.【答案】（）；（）详见解析；（）【解析】 (2)证明:因为dcde且m为ce的中点,所以dmce.连结mp,则mpce.又mpdmm,故ce平面amd.而ce平面cde,所以平面amd平面cde.(3)设q为cd的中点,连结pq,eq.因为cede,所以eqcd.因为pcpd,所以pqcd,故eqp为二面角acde的平面角.由(1)可得,eppq,.于是在rtepq中,.所以二面角acde的余弦值为.解法二:如图所示,建立空间直角坐标系,点a为坐标原点.设ab1,依题意得b(1,0,0),c(1,1,0),d(0,2,0),e(0,1,1),f(0,0,1),m(,1,).(1),于是.所以.因为二面角acde为锐角,所以其余弦值为.6.【2010天津，理19】如图，在长方体abcda1b1c1d1中，e，f分别是棱bc，cc1上的点，cfab2ce，abadaa1124.(1)求异面直线ef与a1d所成角的余弦值；(2)证明af平面a1ed；(3)求二面角a1edf的正弦值【答案】(1) ，(2) 详见解析，(3) .【解析】解法一：如图所示，建立空间直角坐标系，点a为坐标原点设ab1，依题意得d(0,2,0)，f(1,2,1)，a1(0,0,4)，e(1，0)(1)解：易得(0，1)，(0,2，4)于是cos，所以异面直线ef与a1d所成角的余弦值为.(2)证明：易知(1,2,1)，(1，4)，(1，0)，不妨令x1，可得u(1,2，1)由(2)可知，为平面a1ed的一个法向量于是cosu，从而sinu，.所以二面角a1-ed-f的正弦值为.解法二：(1)解：设ab1，可得ad2，aa14，cf1，ce.因为，所以rtdcertcba.从而cdebca.又由于cdeced90，所以bcaced90.故acde.所以denf，dea1n.故a1nf为二面角a1-ed-f的平面角易知rtcnertcba，所以.又ac，所以cn.在rtcnf中，nf.在rta1an中，a1n.连结a1c1，a1f.在rta1c1f中，a1f.在a1nf中，cosa1nf.所以sina1nf.所以二面角a1edf的正弦值为. 7. 【2015高考天津，理10】一个几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的体积为 . 【答案】【解析】由三视图可知，该几何体是中间为一个底面半径为，高为的圆柱，两端是底面半径为，高为的圆锥，所以该几何体的体积.【考点定位】三视图与旋转体体积公式.8. 【2017天津，理17】（本小题满分13分）如图，在三棱锥p-abc中，pa底面abc，点d，e，n分别为棱pa，pc，bc的中点，m是线段ad的中点，pa=ac=4，ab=2（）求证：mn平面bde；（）求二面角c-em-n的正弦值；（）已知点h在棱pa上，且直线nh与直线be所成角的余弦值为，求线段ah的长【答案】（）证明见解析；（）；（）或试题解析：如图，以a为原点，分别以，方向为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系依题意可得a（0，0，0），b（2，0，0），c（0，4，0），p（0，0，4），d（0，0，2），e（0，2，2），m（0，0，1），n（1，2，0）（）易得=（0，2，0），=（2，0，）设为平面bde的法向量，则，即不妨设，可得又=（1，2，），可得（）依题意，设ah=h（），则h（0，0，h），进而可得，由已知，得，整理得，解得或所以，线段ah的长为或【考点】直线与平面平行、二面角、异面直线所成的角【名师点睛】空间向量是解决空间几何问题的锐利武器，不论是求空间角、空间距离还是证明线面位置关系都很方便，利用向量夹角公式求异面直线所成的角又快又准，特别是借助平面的法向量求线面角、二面角或点到平面的距离三拔高题组1.【2011天津，理17】如图，在三棱柱中，是正方形的中心，平面，且（）求异面直线ac与a1b1所成角的余弦值；（）求二面角的正弦值；（）设为棱的中点，点在平面内，且平面，求线段的长【答案】（）；（）（）【解析】 方法一：如图所示，建立空间直角坐标系，点b为坐标原点.依题意得 （i）解：易得，于是所以异面直线ac与a1b1所成角的余弦值为（ii）解：易知于是从而解得故因此，所以线段bm的长为方法二：因此所以异面直线ac与a1b1所成角的余弦值为（ii）解：连接ac1，易知ac1=b1c1，又由于aa1=b1a1，a1c1=a1=c1，从而所以二面角aa1c1b1的正弦值为（iii）解：因为平面a1b1c1，所以取hb1中点d，连接nd，由于n是棱b1c1中点，所以nd/c1h且.又平面aa1b1b，所以平面aa1b1b，故又所以平面mnd，连接md并延长交a1b1于点e，则由2.【2012天津，理17】如图，在四棱锥pabcd中，pa平面abcd，acad，abbc，bac45，paad2，ac1(1)证明pcad；(2)求二面角apcd的正弦值；(3)设e为棱pa上的点，满足异面直线be与cd所成的角为30，求ae的长【答案】(1) 详见解析，(2) ，(3) (1)证明：易得于是，从而所以二面角apcd的正弦值为(3)设点e的坐标为(0,0，h)，其中h0,2，由此得由=(2，1,0)，故，所以，解得，即解法二：(1)证明：由pa平面abcd，可得paad，又由adac，paac=a，故ad平面pac又pc平面pac，所以pcad以二面角apcd的正弦值为(3)如图，因为adc45，故过点b作cd的平行线必与线段ad相交，设交点为f，连接be，ef故ebf或其补角为异面直线be与cd所成的角由于bfcd，故afb=adc在rtdac中，故在afb中，由，sinfabsin135，可得由余弦定理，bf2ab2af22abafcosfab，可得设aeh所以3.【2013天津，理17】如图，四棱柱abcda1b1c1d1中，侧棱a1a底面abcd，abdc，abad，adcd1，aa1ab2，e为棱aa1的中点(1)证明b1c1ce；(2)求二面角b1cec1的正弦值；(3)设点m在线段c1e上，且直线am与平面add1a1所成角的正弦值为，求线段am的长【答案】（）详见解析；（）；（）【解析】解：(方法一)(1)证明：如图，以点a为原点建立空间直角坐标系，依题意得a(0,0,0)，b(0,0,2)，c(1,0,1)，b1(0,2,2)，c1(1,2,1)，e(0,1,0)故(1,0，1)为平面cec1的一个法向量于是cosm，从而sinm，.所以二面角b1cec1的正弦值为.(3)(0,1,0)，(1,1,1)设(，)，01，有(，1，) (方法二) (1)证明：因为侧棱cc1底面a1b1c1d1，b1c1平面a1b1c1d1，所以cc1b1c1.经计算可得b1e，b1c1，ec1，从而b1e2，所以在b1ec1中，b1c1c1e，又cc1，c1e平面cc1e，cc1c1ec1，所以b1c1平面cc1e，又ce平面cc1e，故b1c1ce.(2)过b1作b1gce于点g，连接c1g.由(1)，b1c1ce，故ce平面b1c1g，得cec1g，所以b1gc1为二面角b1cec1的平面角在cc1e中，由cec1e，cc12，可得c1g.在rtb1c1g中，b1g，所以sinb1gc1，即二面角b1cec1的正弦值为.整理得5x260，解得x.所以线段am的长为.4.【2014天津，理17】如图，在四棱锥中，底面，点为棱的中点 （）证明：；（）求直线与平面所成角的正弦值；（）若为棱上一点，满足，求二面角的余弦值【答案】（）详见试题分析；（）直线与平面所成角的正弦值为；（）【解析】线与平面所成角的正弦值；（）向量法：先求平面和平面的法向量，再利用公式来求二面角的余弦值综合法：先利用三垂线定理或其逆定理作出二面角的平面角，再利用解三角形的有关知识求其余弦值试题解析：（方法一）依题意，以点为原点建立空间直角坐标系（如图），可得，由为棱的中点，得（）向量，故 （）向量，设为平面