材料力学第二章.ppt

第二章拉伸 压缩与剪切 2 1轴向拉伸与压缩的概念和实例 第二章轴向拉伸和压缩 工程中有很多构件 例如屋架中的杆 是等直杆 作用于杆上的外力的合力的作用线与杆的轴线重合 在这种受力情况下 杆的主要变形形式是轴向伸长或缩短 屋架结构简图 桁架的示意图 受轴向外力作用的等截面直杆 拉杆和压杆 未考虑端部连接情况 第二章轴向拉伸和压缩 2 2轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力 材料力学中所研究的内力 物体内各质点间原来相互作用的力由于物体受外力作用而改变的量 内力 根据可变形固体的连续性假设 内力在物体内连续分布 通常把物体内任一截面两侧相邻部分之间分布内力的合力和合力偶简称为该截面上的内力 实为分布内力系的合成 第二章轴向拉伸和压缩 截面法 轴力及轴力图 FN F 第二章轴向拉伸和压缩 1 假想地截开指定截面 2 用内力代替另一部分对所取分离体的作用力 3 根据分离体的平衡求出内力值 步骤 横截面m m上的内力FN其作用线与杆的轴线重合 垂直于横截面并通过其形心 轴力 无论取横截面m m的左边或右边为分离体均可 轴力的正负按所对应的纵向变形为伸长或缩短规定 当轴力背离截面产生伸长变形为正 反之 当轴力指向截面产生缩短变形为负 轴力背离截面FN F 用截面法求内力的过程中 在截取分离体前 作用于物体上的外力 荷载 不能任意移动或用静力等效的相当力系替代 轴力指向截面FN F 第二章轴向拉伸和压缩 轴力图 FN图 显示横截面上轴力与横截面位置的关系 第二章轴向拉伸和压缩 例题2 1试作此杆的轴力图 等直杆的受力示意图 第二章轴向拉伸和压缩 a 为求轴力方便 先求出约束力FR 10kN 为方便 取横截面1 1左边为分离体 假设轴力为拉力 得FN1 10kN 拉力 解 第二章轴向拉伸和压缩 为方便取截面3 3右边为分离体 假设轴力为拉力 FN2 50kN 拉力 FN3 5kN 压力 同理 FN4 20kN 拉力 第二章轴向拉伸和压缩 轴力图 FN图 显示了各段杆横截面上的轴力 思考 为何在F1 F2 F3作用着的B C D截面处轴力图发生突变 能否认为C截面上的轴力为55kN 第二章轴向拉伸和压缩 例题2 2 试作此杆的轴力图 解 第二章轴向拉伸和压缩 第二章轴向拉伸和压缩 第二章轴向拉伸和压缩 III 应力的概念 受力杆件 物体 某一截面的M点附近微面积 A上分布内力的平均集度即平均应力 其方向和大小一般而言 随所取 A的大小而不同 第二章轴向拉伸和压缩 该截面上M点处分布内力的集度为 其方向一般既不与截面垂直 也不与截面相切 称为总应力 第二章轴向拉伸和压缩 总应力p 法向分量 正应力s 某一截面上法向分布内力在某一点处的集度 切向分量 切应力t 某一截面上切向分布内力在某一点处的集度 应力量纲 ML 1T 2应力单位 Pa 1Pa 1N m2 1MPa 106Pa 第二章轴向拉伸和压缩 拉 压 杆横截面上的应力 1 与轴力相应的只可能是正应力s 与切应力无关 2 s在横截面上的变化规律横截面上各点处s相等时可组成通过横截面形心的法向分布内力的合力 轴力FN 横截面上各点处s不相等时 特定条件下也可组成轴力FN 第二章轴向拉伸和压缩 为此 1 观察等直杆表面上相邻两条横向线在杆受拉 压 后的相对位移 两横向线仍为直线 仍相互平行 且仍垂直于杆的轴线 2 设想横向线为杆的横截面与杆的表面的交线 平截面假设 原为平面的横截面在杆变形后仍为平面 对于拉 压 杆且仍相互平行 仍垂直于轴线 第二章轴向拉伸和压缩 3 推论 拉 压 杆受力后任意两个横截面之间纵向线段的伸长 缩短 变形是均匀的 根据对材料的均匀 连续假设进一步推知 拉 压 杆横截面上的内力均匀分布 亦即横截面上各点处的正应力s都相等 4 等截面拉 压 杆横截面上正应力的计算公式 第二章轴向拉伸和压缩 注意 1 上述正应力计算公式来自于平截面假设 对于某些特定杆件 例如锲形变截面杆 受拉伸 压缩 时 平截面假设不成立 故原则上不宜用上式计算其横截面上的正应力 2 即使是等直杆 在外力作用点附近 横截面上的应力情况复杂 实际上也不能应用上述公式 3 圣维南 Saint Venant 原理 力作用于杆端方式的不同 只会使与杆端距离不大于杆的横向尺寸的范围内受到影响 第二章轴向拉伸和压缩 这一原理虽被许多实验所证实 但没有经过严格的理论证明 也没有确切的数学表达式 因此不能随便使用 上图为不能应用圣维南 Saint Venant 原理的例子 详见奚绍中编 材料力学精讲 p15 第二章轴向拉伸和压缩 例题2 3试求此正方形砖柱由于荷载引起的横截面上的最大工作应力 已知F 50kN 第二章轴向拉伸和压缩 段柱横截面上的正应力 所以 最大工作应力为smax s2 1 1MPa 压应力 解 段柱横截面上的正应力 压应力 压应力 第二章轴向拉伸和压缩 例题2 4试求薄壁圆环在内压力作用下径向截面上的拉应力 已知 d 200mm 5mm p 2MPa 第二章轴向拉伸和压缩 而 所以 解 薄壁圆环 d 在内压力作用下 径向截面上的拉应力可认为沿壁厚均匀分布 故在求出径向截面上的法向力FN后用式求拉应力 第二章轴向拉伸和压缩 2 3直杆轴向拉伸或压缩时斜截面上的应力 斜截面上的内力 变形假设 两平行的斜截面在杆受拉 压 而变形后仍相互平行 两平行的斜截面之间的所有纵向线段伸长变形相同 第二章轴向拉伸和压缩 斜截面上的总应力 推论 斜截面上各点处轴向分布内力的集度相同 即斜截面上各点处的总应力pa相等 式中 为拉 压 杆横截面上 a 0 的正应力 第二章轴向拉伸和压缩 斜截面上的正应力 normalstress 和切应力 shearingstress 正应力和切应力的正负规定 第二章轴向拉伸和压缩 思考 1 写出图示拉杆其斜截面k k上的正应力sa和切应力ta与横截面上正应力s0的关系 并示出它们在图示分离体的斜截面k k上的指向 2 拉杆内不同方位截面上的正应力其最大值出现在什么截面上 绝对值最大的切应力又出现在什么样的截面上 第二章轴向拉伸和压缩 3 对于拉 压 杆知道了其横截面上一点处正应力s0 其上的切应力t0 0 是否就可求出所有方位的截面上该点处的应力 从而确定该点处所有不同方位截面上应力的全部情况 该点处的应力状态 stateofstress 第二章轴向拉伸和压缩 2 8轴向拉伸或压缩时的变形 拉 压 杆的纵向变形 基本情况下 等直杆 两端受轴向力 纵向总变形 l l1 l 反映绝对变形量 纵向线应变 反映变形程度 x截面处沿x方向的纵向平均线应变为 图示一般情况下在不同截面处杆的横截面上的轴力不同 故不同截面的变形不同 线应变的正负规定 伸长时为正 缩短时为负 一般情况下 杆沿x方向的总变形 x截面处沿x方向的纵向线应变为 横向变形 与杆轴垂直方向的变形 在基本情况下 引进比例常数E 且注意到F FN 有 胡克定律 Hooke slaw 适用于拉 压 杆 胡克定律 Hooke slaw 工程中常用材料制成的拉 压 杆 当应力不超过材料的某一特征值 比例极限 时 若两端受力 式中 E称为弹性模量 modulusofelasticity 由实验测定 其量纲为ML 1T 2 单位为Pa EA 杆的拉伸 压缩 刚度 胡克定律的另一表达形式 单轴应力状态下的胡克定律 低碳钢 Q235 低碳钢 Q235 n 0 24 0 28 亦即 横向变形因数 泊松比 Poisson sratio 单轴应力状态下 当应力不超过材料的比例极限时 某一方向的线应变e与和该方向垂直的方向 横向 的线应变e 的绝对值之比为一常数 此比值称为横向变形因数或泊松比 Poisson sratio 2 横截面B C及端面D的纵向位移与各段杆的纵向总变形是什么关系 思考 等直杆受力如图 已知杆的横截面面积A和材料的弹性模量E 1 列出各段杆的纵向总变形 lAB lBC lCD以及整个杆纵向变形的表达式 位移 变形 3 图 b 所示杆 其各段的纵向总变形以及整个杆的纵向总变形与图 a 的变形有无不同 各横截面及端面的纵向位移与图 a 所示杆的有无不同 何故 a 第二章轴向拉伸和压缩 位移 变形 例题求例题2 3中所示薄壁圆环其直径的改变量 d 已知 第二章轴向拉伸和压缩 2 如果在计算变形时忽略内压力的影响 则可认为薄壁圆环沿圆环切向的线应变e 周向应变 与径向截面上的正应力s的关系符合单轴应力状态下的胡克定律 即 解 1 前已求出圆环径向截面上的正应力此值小于钢的比例极限 低碳钢Q235的比例极限sp 200MPa 第二章轴向拉伸和压缩 从而有圆环直径的改变量 增大 为 3 圆环的周向应变e与圆环直径的相对改变量ed有如下关系 第二章轴向拉伸和压缩 例题如图所示杆系 荷载P 100kN 试求结点A的位移 A 已知 a 30 l 2m d 25mm 杆的材料 钢 的弹性模量为E 210GPa 第二章轴向拉伸和压缩 由胡克定律得 其中 1 求杆的轴力及伸长 解 结点A的位移 A系由两杆的伸长变形引起 故需先求两杆的伸长 由结点A的平衡 如图 有 第二章轴向拉伸和压缩 2 由杆的总变形求结点A的位移 根据杆系的布置 约束 杆的材料以及受力情况均与通过结点A的铅垂线对称可知 结点A只有竖向位移 如图 第二章轴向拉伸和压缩 亦即 画杆系的变形图 确定结点A的位移 由几何关系得 第二章轴向拉伸和压缩 从而得 此杆系结点A的位移 displacement 是因杆件变形 deformation 所引起 但两者虽有联系又有区别 变形是指杆件几何尺寸的改变 是个标量 位移是指结点位置的移动 是个矢量 它除了与杆件的变形有关以外 还与各杆件所受约束有关 第二章轴向拉伸和压缩 2 9轴向拉伸或压缩的应变能 应变能 strainenergy 弹性体受力而变形时所积蓄的能量 弹性变形时认为 积蓄在弹性体内的应变能V 在数值上等于外力所作功W V W 应变能的单位为J 1J 1N m 第二章轴向拉伸和压缩 拉杆 压杆 在线弹性范围内的应变能 或 第二章轴向拉伸和压缩 亦可写作 应变能密度v 单位体积内的应变能 应变能密度的单位为J m3 第二章轴向拉伸和压缩 第二章轴向拉伸和压缩 解 应变能 例题求例题2 5中所示杆系的应变能 并按弹性体的功能原理 V W 求结点A的位移 A 已知 P 100kN 杆长l 2m 杆的直径d 25mm a 30 材料的弹性模量E 210GPa 第二章轴向拉伸和压缩 结点A的位移 由知 第二章轴向拉伸和压缩 2 4材料在拉伸压缩时的力学性能 拉伸试样 圆截面试样 l 10d或l 5d 工作段长度称为标距 矩形截面试样 或 第二章轴向拉伸和压缩 试验设备 1 万能试验机 强迫试样变形并测定试样的抗力 2 变形仪 将试样的微小变形放大后加以显示的仪器 压缩试样 圆截面短柱 用于测试金属材料的力学性能 正方形截面短柱 用于测试非金属材料的力学性能 第二章轴向拉伸和压缩 实验装置 万能试验机 第二章轴向拉伸和压缩 一 低碳钢试样的拉伸图及低碳钢的力学性能 拉伸图 纵坐标 试样的抗力F 通常称为荷载 横坐标 试样工作段的伸长量 第二章轴向拉伸和压缩 低碳钢试样在整个拉伸过程中的四个阶段 1 阶段 弹性阶段变形完全是弹性的 且 l与F成线性关系 即此时材料的力学行为符合胡克定律 第二章轴向拉伸和压缩 2 阶段 屈服阶段 在此阶段伸长变形急剧增大 但抗力只在很小范围内波动 此阶段产生的变形是不可恢复的所谓塑性变形 在抛光的试样表面上可见大约与轴线成45 的滑移线 当 45 时 a的绝对值最大 第二章轴向拉伸和压缩 3 阶段 强化阶段 第二章轴向拉伸和压缩 卸载及再加载规律 若在强化阶段卸载 则卸载过程中F l关系为直线 可见在强化阶段中 l le lp 卸载后立即再加载时 F l关系起初基本上仍为直线 cb 直至当初卸载的荷载 冷作硬化现象 试样重新受拉时其断裂前所能产生的塑性变形则减小 第二章轴向拉伸和压缩 4 阶段 局部变形阶段试样上出现局部收缩 颈缩 并导致断裂 第二章轴向拉伸和压缩 低碳钢的应力 应变曲线 s e曲线 为消除试件尺寸的影响 将低碳钢试样拉伸图中的纵坐标和横坐标换算为应力s和应变e 即 其中 A 试样横截面的原面积 l 试样工作段的原长 第二章轴向拉伸和压缩 低碳钢s e曲线上的特征点 比例极限sp proportionallimit 弹性极限se elasticlimit 屈服极限ss 屈服的低限 yieldlimit 强度极限sb 拉伸强度 ultimatestrength Q235钢的主要强度指标 ss 240MPa sb 390MPa 第二章轴向拉伸和压缩 低碳钢拉伸破坏 第二章轴向拉伸和压缩 低碳钢拉伸试件 低碳钢拉伸破坏断口 第二章轴向拉伸和压缩 低碳钢的塑性指标 伸长率 断面收缩率 A1 断口处最小横截面面积 Q235钢 y 60 第二章轴向拉伸和压缩 注意 1 低碳钢的ss sb都还是以相应的抗力除以试样横截面的原面积所得 实际上此时试样直径已显著缩小 因而它们是名义应力 2 低碳钢的强度极限sb是试样拉伸时最大的名义应力 并非断裂时的应力 3 超过屈服阶段后的应变还是以试样工作段的伸长量除以试样的原长而得 因而是名义应变 工程应变 第二章轴向拉伸和压缩 4 伸长率是把拉断后整个工作段的均匀塑性伸长变形和颈缩部分的局部塑性伸长变形都包括在内的一个平均塑性伸长率 标准试样所以规定标距与横截面面积 或直径 之比 原因在此 思考 低碳钢的同一圆截面试样上 若同时画有两种标距 l 10d和l 5d 试问所得伸长率d10和d5哪一个大 第二章轴向拉伸和压缩 二 其他金属材料在拉伸时的力学性能 第二章轴向拉伸和压缩 由s e曲线可见 第二章轴向拉伸和压缩 sp0 2 规定非比例伸长应力 屈服强度 用于无屈服阶段的塑性材料 第二章轴向拉伸和压缩 割线弹性模量 用于基本上无线弹性阶段的脆性材料 脆性材料拉伸时的唯一强度指标 sb 基本上就是试样拉断时横截面上的真实应力 第二章轴向拉伸和压缩 铸铁拉伸时的应力应变曲线 铸铁拉伸破坏断口 第二章轴向拉伸和压缩 一 金属材料在压缩时的力学性能 低碳钢拉 压时的ss基本相同 低碳钢压缩时s e的曲线 第二章轴向拉伸和压缩 2 5材料在压缩时的力学性能 低碳钢材料轴向压缩时的试验现象 第二章轴向拉伸和压缩 铸铁压缩时的sb和d均比拉伸时大得多 不论拉伸和压缩时在较低应力下其力学行为也只近似符合胡克定律 灰口铸铁压缩时的s e曲线 第二章轴向拉伸和压缩 试样沿着与横截面大致成50 55 的斜截面发生错动而破坏 材料按在常温 室温 静荷载 徐加荷载 下由拉伸试验所得伸长率区分为塑性材料和脆性材料 第二章轴向拉伸和压缩 铸铁压缩破坏断口 第二章轴向拉伸和压缩 铸铁压缩破坏 二 几种非金属材料的力学性能 1 混凝土压缩时的力学性能 使用标准立方体试块测定 第二章轴向拉伸和压缩 压缩强度sb及破坏形式与端面润滑情况有关 以s e曲线上s 0 4sb的点与原点的连线确定 割线弹性模量 混凝土的标号系根据其压缩强度标定 如C20混凝土是指经28天养护后立方体强度不低于20MPa的混凝土 压缩强度远大于拉伸强度 第二章轴向拉伸和压缩 木材的力学性能具有方向性 为各向异性材料 如认为木材任何方面的力学性能均可由顺纹和横纹两个相互垂直方向的力学性能确定 则又可以认为木材是正交各向异性材料 松木在顺纹拉伸 压缩和横纹压缩时的s e曲线如图 2 木材拉伸和压缩时的力学性能 木材的横纹拉伸强度很低 图中未示 工程中也避免木材横纹受拉 木材的顺纹拉伸强度受木节等缺陷的影响大 第二章轴向拉伸和压缩 3 玻璃钢 玻璃纤维与热固性树脂粘合而成的复合材料 纤维单向排列的玻璃钢沿纤维方向拉伸时的s e曲线如图中 c 纤维增强复合材料所用的纤维尚有碳纤维 硼纤维等 第二章轴向拉伸和压缩 2 7失效 安全因数和强度计算 拉 压 杆的强度条件 强度条件 保证拉 压 杆在使用寿命内不发生强度破坏的条件 其中 smax 拉 压 杆的最大工作应力 s 材料拉伸 压缩 时的许用应力 第二章轴向拉伸和压缩 材料的拉 压许用应力 塑性材料 脆性材料 许用拉应力 其中 ns 对应于屈服极限的安全因数 其中 nb 对应于拉 压强度的安全因数 第二章轴向拉伸和压缩 常用材料的许用应力约值 适用于常温 静荷载和一般工作条件下的拉杆和压杆 轴向拉伸 轴向压缩 关于安全因数的考虑 1 考虑强度条件中一些量的变异 如极限应力 ss sp0 2 sb sbc 的变异 构件横截面尺寸的变异 荷载的变异 以及计算简图与实际结构的差异 2 考虑强度储备 计及使用寿命内可能遇到意外事故或其它不利情况 也计及构件的重要性及破坏的后果 安全因数的大致范围 静荷载 徐加荷载 下 第二章轴向拉伸和压缩 强度计算的三种类型 2 截面选择已知拉 压 杆材料及所受荷载 按强度条件求杆件横截面面积或尺寸 3 计算许可荷载已知拉 压 杆材料和横截面尺寸 按强度条件确定杆所能容许的最大轴力 进而计算许可荷载 FN max A s 由FN max计算相应的荷载 第二章轴向拉伸和压缩 1 强度校核已知拉 压 杆材料 横截面尺寸及所受荷载 检验能否满足强度条件对于等截面直杆即为 例题2 9试选择计算简图如图中 a 所示桁架的钢拉杆DI的直径d 已知 F 16kN s 120MPa 第二章轴向拉伸和压缩 2 求所需横截面面积并求钢拉杆所需直径 由于圆钢的最小直径为10mm 故钢拉杆DI采用f10圆钢 解 1 由图中 b 所示分离体的平衡方程得 第二章轴向拉伸和压缩 例题2 10图中 a 所示三角架 计算简图 杆AC由两根80mm 80mm 7mm等边角钢组成 杆AB由两根10号工字钢组成 两种型钢的材料均为Q235钢 s 170MPa 试求许可荷载 F 第二章轴向拉伸和压缩 解 1 根据结点A的受力图 图b 得平衡方程 拉 压 第二章轴向拉伸和压缩 解得 2 计算各杆的许可轴力 先由型钢表查出相应等边角钢和工字钢的横截面面积 再乘以2得 由强度条件得各杆的许可轴力 杆AC的横截面面积 杆AB的横截面面积 第二章轴向拉伸和压缩 3 求三角架的许可荷载 先按每根杆的许可轴力求各自相应的许可荷载 此例题中给出的许用应力 s 170MPa是关于强度的许用应力 对于受压杆AB实际上还需考虑其稳定性 此时的许用应力将小于强度许用应力 该三角架的许可荷载应是 F1 和 F2 中的小者 所以 第二章轴向拉伸和压缩 2 10拉伸 压缩超静定问题 一 关于超静定问题的概述 a b 图a所示静定杆系为减小杆1 2中的内力或节点A的位移 如图b 而增加了杆3 此时有三个未知内力FN1 FN2 FN3 但只有二个独立的平衡方程 一次超静定问题 超静定问题 staticallyindeterminateproblem 单凭静力平衡方程不能求解约束力或构件内力的问题 超静定结构 staticallyindeterminatestructure 解除 多余 约束 基本静定系 primarystaticallydeterminatesystem 例如杆3与接点A的连接 二 解超静定问题的基本思路 在基本静定系上加上原有荷载及 多余 未知力 并使 多余 约束处满足变形 位移 相容条件 相当系统 equivalentsystem 于是可求出多余未知力FN3 由位移相容条件 利用物理关系 位移或变形计算公式 可得补充方程 三 注意事项 1 超静定次数 多余 约束数 多余 未知力 位移相容条件数 补充方程数 因而任何超静定问题都是可以求解的 2 求出 多余 未知力后 超静定结构的内力和位移等均可利用相当系统进行计算 3 无论怎样选择 多余 约束 只要相当系统的受力情况和约束条件确实与原超静定系统相同 则所得最终结果是一样的 4 多余 约束的选择虽然是任意的 但应以计算方便为原则 四 拉压超静定基本问题 例题求图a所示等直杆AB上 下端的约束力 并求C截面的位移 杆的拉压刚度为EA 解 1 有两个未知约束力FA FB 见图a 但只有一个独立的平衡方程FA FB F 0故为一次超静定问题 2 取固定端B为 多余 约束 相应的相当系统如图b 它应满足相容条件 BF BB 0 参见图c d 3 补充方程为 由此求得 所得FB为正值 表示FB的指向与假设的指向相符 即向上 得FA F Fa l Fb l 5 利用相当系统 如图 求得 4 由平衡方程FA FB F 0 例题求图a所示结构中杆1 2 3的内力FN1 FN2 FN3 杆AB为刚性杆 杆1 2 3的拉压刚度均为EA 解 1 共有五个未知力 如图b所示 但只有三个独立的静力平衡方程 故为二次超静定问题 2 取杆1与结点C处的连接以及杆2与结点D处的连接为多余约束 得基本静定系如图c 3 相当系统应满足的变形相容条件如图d所示为 F d 4 根据相容条件 利用物理方程得补充方程 即FN1 2FN3 FN2 2FN1 4FN3 联立求解得 FN1 2FN3 FN2 2FN1 4FN3 2 11装配应力和温度应力 一 装配应力 超静定杆系 结构 由于存在 多余 约束 因此如果各杆件在制造时长度不相匹配 则组装后各杆中将产生附加内力 装配内力 以及相应的装配应力 图a中所示杆系 E1A1 E2A2 中杆3的长度较应有长度短了De 装配后各杆的位置将如图中虚线所示 此时 杆3在结点A 处受到装配力FN3作用 图b 而杆1 2在汇交点A 处共同承受与杆3相同的装配力FN3作用 图b a b 求算FN3需利用位移 变形 相容条件 图a 列出补充方程 由此可得装配力FN3 亦即杆3中的装配内力为 拉力 a 至于各杆横截面上的装配应力只需将装配内力 轴力 除以杆的横截面面积即得 由此可见 计算超静定杆系 结构 中的装配力和装配应力的关键 仍在于根据位移 变形 相容条件并利用物理关系列出补充方程 而杆1和杆2中的装配内力利用图b中右侧的图可知为 例题两端用刚性块连接在一起的两根相同的钢杆1 2 图a 其长度l 200mm 直径d 10mm 试求将长度为200 11mm 亦即De 0 11mm的铜杆3 图b 装配在与杆1和杆2对称的位置后 图c 各杆横截面上的应力 已知 铜杆3的横截面为20mm 30mm的矩形 钢的弹性模量E 210GPa 铜的弹性模量E3 100GPa 解 1 如图d所示有三个未知的装配内力FN1 FN2 FN3 但对于平行力系却只有二个独立的平衡方程 故为一次超静定问题 也许有人认为 根据对称关系可判明FN1 FN2 故未知内力只有二个 但要注意此时就只能利用一个独立的静力平衡方程 所以这仍然是一次超静定问题 d 2 变形相容条件 图c 为 这里的Dl3是指杆3在装配后的缩短值 不带负号 3 利用物理关系得补充方程 4 将补充方程与平衡方程联立求解得 所得结果为正 说明原先假定杆1 2的装配内力为拉力和杆3的装配内力为压力是正确的 5 各杆横截面上的装配应力如下 拉应力 压应力 二 温度应力 也是由于超静定杆系存在 多余 约束 杆件会因温度变化产生的变形受到限制而产生温度内力及温度应力 铁路上无缝线路的长钢轨在温度变化时由于不能自由伸缩 其横截面上会产生相当可观的温度应力 例题试求两端与刚性支承连接的等截面杆 图a 当温度升高Dt时横截面上的温度应力 杆的横截面面积为A 材料的弹性模量为E 线膨胀系数为 l a 解 1 由平衡方程只能知道杆两端的轴向支约束力数值相等而指向相反 但不能给出约束力的值 可见这是一次超静定问题 2 以刚性支撑B为 多余 约束后的基本静定系由于温度升高产生的伸长变形Dlt和 多余 未知力FN产生的缩短变形DlF分别如图所示 3 变形相容条件为 4 补充方程为 5 由此得多余未知力 6