（新课标Ⅰ）2018年高考数学总复习 专题10 立体几何分项练习（含解析）理.doc

专题10 立体几何一基础题组1. 【2013课标全国，理6】如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为()acm3 bcm3 ccm3 dcm3【答案】a2. 【2012全国，理7】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为()a6 b9 c12 d18【答案】b3. 【2011全国新课标，理6】在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如下图所示，则相应的侧视图可以为()【答案】d【解析】4. 【2006全国，理7】已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是（ ）（a）16 （b）20 （c）24 （d）32【答案】c【解析】5. 【2005全国1，理2】一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为，则球的表面积为（ ）a8b8c4d4【答案】b【解析】6. 【2005全国1，理4】如图，在多面体abcdef中，已知abcd是边长为1的正方形，且ade、bcf均为正三角形，ef/ab，ef=2，则该多面体的体积为（ ）ab cd【答案】a【解析】7. 【2010新课标，理14】正视图为一个三角形的几何体可以是_(写出三种)【答案】三棱锥、圆锥、四棱锥(答案不唯一) 8. 【2014课标，理19】(本小题满分12分)如图，三棱柱中，侧面为菱形，.（）证明：;（）若，,求二面角的余弦值.【答案】（）详见解析；（）则，, 设是平面的法向量，则即所以可取设是平面的法向量，则同理可取则所以二面角的余弦值为9. 【2013课标全国，理18】如图，三棱柱abca1b1c1中，cacb，abaa1，baa160.(1)证明：aba1c；(2)若平面abc平面aa1b1b，abcb，求直线a1c与平面bb1c1c所成角的正弦值 (2)解：由(1)知ocab，oa1ab.又平面abc平面aa1b1b，交线为ab，所以oc平面aa1b1b，故oa，oa1，oc两两相互垂直以o为坐标原点，的方向为x轴的正方向，|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系oxyz.10. 【2008全国1，理18】（本小题满分12分）四棱锥中，底面为矩形，侧面底面，（）证明：；（）设与平面所成的角为，求二面角的大小【解析】：（1）取中点，连接交于点，又面面，面，即，面，11. 【2015高考新课标1，理6】九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有（ ）(a)14斛 (b)22斛 (c)36斛 (d)66斛【答案】b【解析】设圆锥底面半径为r，则=，所以米堆的体积为=，故堆放的米约为1.6222，故选b.【考点定位】圆锥的性质与圆锥的体积公式12. 【2015高考新课标1，理18】如图，四边形abcd为菱形，abc=120，e，f是平面abcd同一侧的两点，be平面abcd，df平面abcd，be=2df，aeec.（）证明：平面aec平面afc；（）求直线ae与直线cf所成角的余弦值.【答案】（）见解析（）【解析】试题分析：（）连接bd，设bdac=g，连接eg，fg，ef，在菱形abcd中，不妨设gb=1易证egac，通过计算可证egfg，根据线面垂直判定定理可知eg平面afc，由面面垂直判定定理知平面afc平面aec；（）以g为坐标原点，分别以的方向为轴，y轴正方向，为单位长度，建立空间直角坐标系g-xyz，利用向量法可求出异面直线ae与cf所成角的余弦值.，egfg，acfg=g，eg平面afc，eg面aec，平面afc平面aec. 6分【考点定位】空间垂直判定与性质；异面直线所成角的计算；空间想象能力，推理论证能力13.【2016高考新课标理数1】如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是，则它的表面积是（a）17 （b）18 （c）20 （d）28 【答案】a【解析】由三视图知，该几何体的直观图如图所示：是一个球被切掉左上角的,即该几何体是个球，设球的半径为，则，解得，所以它的表面积是的球面面积和三个扇形面积之和,即，故选a【考点】三视图及球的表面积与体积【名师点睛】由于三视图能有效地考查学生的空间想象能力,所以以三视图为载体的立体几何题基本上是高考每年必考内容,高考试题中三视图一般与几何体的表面积与体积相结合.由三视图还原出原几何体是解决此类问题的关键.14. 【2016高考新课标理数1】平面过正方体abcda1b1c1d1的顶点a， /平面cb1d1，平面abcd=m，平面abb1 a1=n，则m，n所成角的正弦值为（a） （b） （c） （d）【答案】a【考点】平面的截面问题，面面平行的性质定理，异面直线所成的角【名师点睛】求解本题的关键是作出异面直线所成的角,求异面直线所成角的步骤是：平移定角、连线成形、解形求角、得钝求补.15. 【2017新课标1，理7】某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为a10b12c14d16【答案】b【考点】简单几何体的三视图【名师点睛】三视图往往与几何体的体积、表面积以及空间线面关系、角、距离等问题相结合，解决此类问题的关键是由三视图准确确定空间几何体的形状及其结构特征并且熟悉常见几何体的三视图.二能力题组1. 【2013课标全国，理8】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()a168 b88 c1616 d816【答案】a2. 【2011全国，理6】已知直二面角l，点a，acl，c为垂足，b，bdl，d为垂足，若ab2，acbd1，则d到平面abc的距离等于()a. b c d1【答案】c3. 【2010新课标，理10】设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为()aa2 b.a2 c.a2 d5a2【答案】b【解析】如图，o1，o分别为上、下底面的中心，d为o1o的中点，则db为球的半径，有rdb，s表4r24a2. 4. 【2009全国卷，理7】已知三棱柱abca1b1c1的侧棱与底面边长都相等，a1在底面abc上的射影为bc的中点，则异面直线ab与cc1所成的角的余弦值为（ ）a. b. c. d.【答案】d【解析】设棱长为2,bc的中点为d,由题意,得.在rta1ad中，.在rta1bd中，.aa1cc1,ab与aa1所成的角a1ab即为ab与cc1所成的角.在a1ab中,由余弦定理,得.5. 【2009全国卷，理10】已知二面角-l-为60，动点p、q分别在面、内，p到的距离为，q到的距离为，则p、q两点之间距离的最小值为（ ）a. b.2 c. d.4【答案】c在rtpme中,同理qf=4.,=20+224cos120=当取最小值0时，最小，此时|=，即当pql时，|最小.6. 【2011全国新课标，理15】已知矩形abcd的顶点都在半径为4的球o的球面上，且ab6，bc，则棱锥oabcd的体积为_【答案】【解析】7. 【2006全国，理13】已知正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为，则侧面与底面所成的二面角等于 。【答案】608. 【2005全国1，理15】abc的外接圆的圆心为o，两条边上的高的交点为h，则实数m= .【答案】1【解析】9. 【2012全国，理19】如图，直三棱柱abca1b1c1中，acbcaa1，d是棱aa1的中点，dc1bd(1)证明：dc1bc；(2)求二面角a1bdc1的大小【解析】(1)证明：由题设知，三棱柱的侧面为矩形由于d为aa1的中点，故dcdc1又，可得dc12dc2cc12，所以dc1dc而dc1bd，dcbdd，所以dc1平面bcdbc平面bcd，故dc1bc(2)由(1)知bcdc1，且bccc1，则bc平面acc1，所以ca，cb，cc1两两相互垂直以c为坐标原点，的方向为x轴的正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系cxyz由题意知a1(1,0,2)，b(0,1,0)，d(1,0,1)，c1(0,0,2)则，10. 【2010新课标，理18】（12分）如图，已知四棱锥pabcd的底面为等腰梯形，abcd，acbd，垂足为h，ph是四棱锥的高，e为ad中点 (1)证明pebc；(2)若apbadb60，求直线pa与平面peh所成角的正弦值【解析】：以h为原点，ha，hb，hp分别为x，y，z轴，线段ha的长为单位长，建立空间直角坐标系如图，则a(1,0,0)，b(0,1,0)(1)(理)证明：设c(m,0,0)，p(0,0，n)(m0，n0)，则d(0，m,0)，e(，0)可得(，n)，(m，1,0)因为00，所以pebc.所以直线pa与平面peh所成角的正弦值为11. 【2005全国1，理18】已知四棱锥pabcd的底面为直角梯形，ab/dc，dab=90，pa底面 abcd，且pa=ad=de=ab=1，m是pb的中点. （1）证明：面pad面pcd； （2）求ac与pb所成的角； （3）求面amc与面bmc所成二面角的大小.【解析】方案一：（）证明：pa面abcd，cdad，由三垂线定理得：cdpd.因而，cd与面pad内两条相交直线ad，pd都垂直，cd面pad.又cd面pcd，面pad面pcd.（）解：作ancm，垂足为n，连结bn.在rtpab中，am=mb，又ac=cb，amcbmc,bncm，故anb为所求二面角的平面角.cbac，由三垂线定理，得cbpc，在rtpcb中，cm=mb，所以cm=am.在等腰三角形amc中，anmc=，. ab=2，故所求的二面角为方法二：因为papd，paab，adab，以a为坐标原点ad长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为a（0，0，0）b（0，2，0），c（1，1，0），d（1，0，0），p（0，0，1），m（0，1，.（）证明：因由题设知addc，且ap与ad是平面pad内的两条相交直线，由此得dc面pad.又dc在面pcd上，故面pad面pcd.（）解：因为所求二面角的平面角.12. 【2017新课标1，理16】如图，圆形纸片的圆心为o，半径为5 cm，该纸片上的等边三角形abc的中心为o.d，e，f为圆o上的点，dbc，eca，fab分别是以bc，ca，ab为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以bc，ca，ab为折痕折起dbc，eca，fab，使得d，e，f重合，得到三棱锥.当abc的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm3）的最大值为 .【答案】【解析】试题分析：如下图，连接do交bc于点g，设d，e，f重合于s点，正三角形的边长为x(x0)，则.， ，三棱锥的体积.设，x0，则，令，即，得，易知在处取得最大值.【考点】简单几何体的体积【名师点睛】对于三棱锥最值问题，需要用到函数思想进行解决，本题解决的关键是设好未知量，利用图形特征表示出三棱锥体积.当体积中的变量最高次是2次时可以利用二次函数的性质进行解决，当变量是高次时需要用到求导的方式进行解决.三拔高题组1. 【2014课标，理12】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（ ）（a） （b） （c） （d）【答案】b【解析】由正视图、侧视图、俯视图形状，可判断该几何体为四面体，且四面体的长、宽、高均为4个单位，故可考虑置于棱长为4个单位的正方体中研究，如图所示，该四面体为，且, , ，故最长的棱长为6，选b2. 【2012全国，理11】已知三棱锥sabc的所有顶点都在球o的球面上，abc是边长为1的正三角形，sc为球o的直径，且sc2，则此棱锥的体积为()a b c d【答案】a3. 【2011全国，理11】已知平面截一球面得圆m，过圆心m且与成60二面角的平面截该球面得圆n.若该球面的半径为4，圆m的面积为4，则圆n的面积为()a7 b9 c11 d13【答案】d4. 【2008全国1，理11】已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，在底面内的射影为的中心，则与底面所成角的正弦值等于（ ）ab cd【答案】c【解析】由题意知三棱锥为正四面体，设棱长为，则，棱柱的高（即点到底面的距离），故与底面所成角的正弦值为.另解：设为空间向量的一组基底，的两两间的夹角为长度均为，平面的法向量为,则与底面所成角的正弦值为.5. 【2009全国卷，理15】直三棱柱abca1b1c1的各顶点都在同一球面上.若ab=ac=aa1=2,bac=120，则此球的表面积等于_.【答案】20球的表面积为s=4r2=20.6. 【2008全国1，理16】等边三角形与正方形有一公共边，二面角的余弦值为，分别是的中点，则所成角的余弦值等于 【答案】.【解析】设，作，则，为二面角的平面角，结合等边三角形与正方形可知此四棱锥为正四棱锥，则,故所成角的余弦值7. 【2005全国1，理16】在正方体abcdabcd中，过对角线bd的一个平面交aa于e，交cc于f，则 四边形bfde一定是平行四边形.四边形bfde有可能是正方形.四边形bfde在底面abcd内的投影一定是正方形.平面bfde有可能垂直于平面bbd.以上结论正确的为 .（写出所有正确结论的编号）【答案】【解析】8. 【2011全国新课标，理18】如图，四棱锥pabcd中，底面abcd为平行四边形，dab60，ab2ad，pd底面abcd(1)证明：pabd；(2)设pdad，求二面角apbc的余弦值 (2)如图，以d为坐标原点，ad的长为单位长，射线da为x轴的正半轴建立空间直角坐标系dxyz.则a(1，0，0)，b(0，0)，c(1，0)，p(0，0，1)(1，0)，(0，1)，(1，0，0)设平面pab的法向量为n(x，y，z)，则即因此可取n(，1，)设平面pbc的法向量为m，则可取m(0，1，)，.故二面角apbc的余弦值为.9. 【2011全国，理19】如图，四棱锥sabcd中，abcd，bccd，侧面sab为等边三角形abbc2，cdsd1.(1)证明：sd平面sab；(2)求ab与平面sbc所成的角的大小【解析】解法一：sd与两条相交直线ab、se都垂直所以sd平面sab.作fhsg，h为垂足，则fh平面sbc.，即f到平面sbc的距离为.由于edbc，所以ed平面sbc，e到平面sbc的距离d也为.设ab与平面sbc所成的角为，则，.解法二：以c为坐标原点，射线cd为x轴正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系cxyz.设d(1，0，0)，则a(2，2，0)，b(0，2，0)又设s(x，y，z)，则x0，y0，z0，(1) (x2，y2，z)，(x，y2，z)，(x1，y，z)，由得，故x1.由得y2z21，又由得x2(y2)2z24，即y2z24y10，故，.于是，.故dsas，dsbs，又asbss，所以sd平面sab.10. 【2009全国卷，理18】如图，四棱锥sabcd中，底面abcd为矩形，sd底面abcd，dc=sd=2.点m在侧棱sc上，abm=60.()证明：m是侧棱sc的中点；（）求二面角s-am-b的大小.【解析】解法一：（）作mecd交sd于点e，则meab，me平面sad.连接ae，则四边形abme为直角梯形.作mfab，垂足为f，则四边形afme为矩形.设me=x,则se=x,，,fb=2-x.由mf=fbtan60,得,解得x=1，即me=1，从而.所以m为侧棱sc的中点.连接bh.在bgh中，,所以.二面角s-am-b的大小为arccos().解法二：以d为坐标原点，射线da、dc、ds分别为x、y、z轴正半轴，建立如图所示的直角坐标系dxyz.设a（，0，0），则b（，2，0），c（0，2，0），s（0，0，2）.（）设(0)，则m（0，,),=(,).又=（0，2，0），,=60,故=|cos60,即,解得=1,即.所以m为侧棱sc的中点.cos，=.所以二面角samb的大小为arccos().11. 【2006全国，理19】（本小题满分12分）如图，l1、l2是互相垂直的异面直线，mn是它们的公垂线段，点a、b在l1上，c在l2上，am=mb=mn。（）证明；（）若，求nb与平面abc所成角的余弦值。【解析】（），又已知，因此为正三角形.，因此在平面内的射影是正三角形的中心，连结，为nb与平面所成的角.在中， 故可设于是，（），又已知，为正三角形，在中，可得，故连接，作于，设，可得，连结，则，12. 【2015高考新课标1，理11】圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16 + 20，则r=（ ）（a）1 （b）2 （c）4 （d）8【答案】b【解析】由正视图和俯视图知，该几何体是半球与半个圆柱的组合体，圆柱的半径与球的半径都为r，圆柱的高为2r，其表面积为=16 + 20，解得r=2，故选b.【考点定位】简单几何体的三视图；球的表面积公式、圆柱的测面积公式13. 【2016高考新课标理数1】如图，在以a，b，c，d，e，f为顶点的五面体中，面abef为正方形，af=2fd，且二面角dafe与二面角cbef都是（i）证明：平面abef平面efdc；（ii）求二面角ebca的余弦值【答案】（i）见解析；（ii