高中数学 第三讲 柯西不等式与排序不等式 3.3 排序不等式课后导练 新人教A版选修4-5.doc

3.3 排序不等式课后导练基础达标1若a=x12+x22+xn2,b=x1x2+x2x3+xn-1xn+xnx1, 其中x1,x2,xn都是正数,则a与b的大小关系是( )a.ab b.aq d.pq解析:a,b都是正数,与,顺序相同.+.()2+()2+,即pq.答案:a3设a,b,cr,则_a+b+c.解析:设abc0,则bccaab,ac+=a+b+c.答案:4若abc的三内角为a,b,c,三边为a,b,c,则_.解析:设abc,abc.作序列a,a,a,b,b,b,c,c,c,a,a,a,b,b,b,c,c,c.aa+aa+aa+bb+bb+bb+cc+cc+cc(aa+ab+ac)+(ba+bb+bc)+(ca+cb+cc),3(aa+bb+cc)(a+b+c)(a+b+c),即=.答案:5设a,b,cr,求证:aabbcc(abc).证明:a,b,cr,lg(aabbcc)=alga+blgb+clgc,lg(abc)=(lga+lgb+lgc).设abc,作序列a,a,a,b,b,b,c,c,c,lga,lga,lga,lgb,lgb,lgb,lgc,lgc,lgc.3(alga+blgb+clgc)a(lga+lgb+lgc)+b(lga+lgb+lgc)+c(lga+lgb+lgc),即alga+blgb+clgc(lga+lgb+lgc),aabbcc(abc).综合运用6设a,b,c是某三角形的三边长,证明a2b(a-b)+b2c(b-c)+c2a(c-a)0,并问何时取等号?证明:不妨设abc,此时a(b+c-a)b(c+a-b)c(a+b-c),于是由排序不等式可得a(b+c-a)+b(c+a-b)+c(a+b-c)a(b+c-a)+b(c+a-b)+c(a+b-c)=a+b+c,即a(b-a)+b(c-b)+c(a-c)0,a2b(a-b)+b2c(b-c)+c2a(c-a)0,上式当且仅当=,或者a(b+c-a)=b(c+a-b)=c(a+b-c),即a=b=c时取等号.7已知a1,a2,an是n个两两互不相等的正整数,求证:a1+.证明 :注意到,所以可以看作一个乱序和,将a1,a2,an排序后就可以利用排序原理.因为a1,a2,an是n个两两互不相等的正整数,可将它们从小到大排列,不妨设b1b20,则有a2b2c2,abacbc,由排序不等式得a2bc+ab2c+abc2a3c+b3a+c3b.又a3b3c3且abc,再由排序不等式得a3c+b3a+c3ba4+b4+c4.从而a2bc+ab2c+abc2a4+b4+c4,两边同除以abc即得所证不等式.12设ak是两两互异的自然数(k=1,2,),证明对任意自然数n,均有.证明:设b1,b2,bn是a1,a2,an的一个排列,使b1b2bn,则从条件知对每个1kn,bkk,于是由排序不等式可得.13已知xir(i=1,2,n;n2)满足=1,=0,求证:|-.证明:设i1,i2,is,j1,j2,jt是1,2,n的一个排列,且使得.又设a=,b=-(),根据已知条