北京理工大学自动控制期末复习(二).pdf

第三章第三章 线性系统的时域分析线性系统的时域分析 1 峰值时间 tp 指 h t 曲线中超过其稳态值而达到第一个峰值所需的时间 2 超调量 指 h t 中对稳态值的最大超出量与稳态值之比 3 调节时间 ts 指响应曲线中 h t 进入稳态值附近 5 h 或 2 h 误差带 而不再超出的最小时间 4 稳态误差 ess 指响应的稳态值与期望值之差 一 典型初始状态 典型外作用 1 典型初始状态 通常规定控制系统的初始状态为零状态 2 典型外作用 单位阶跃函数 1 t 单位斜坡函数 单位脉冲函数 正弦函数 计算方法 一阶系统一阶系统 一阶系统如图所示 试求 1 当 KH 0 1 时 求系统单位阶跃响应的调节时间 ts 放大倍 数 K 稳态误差 ess 如果要求 ts 0 1 秒 试问系统的反馈 系数 KH 应调整为何值 讨论 KH 的大小对系统性能的影响及 KH 与 ess 的关系 0 10 101 lim 05 095 010 10 1 10 10 11 10 1 10 100 10 100 1 0 100 100100 1 100 0 10 10 s sss e ethK eth ssss sC sR C K Kss K s sR sC s ss t s t h h h s d r t arccos 2 1 n d p t 2 1 100 e h hth p d p p s d s T t t T t N 2 2 二阶系统二阶系统 二阶过阻尼系统阶跃响应指标分析 二阶欠阻尼系统二阶欠阻尼系统单位阶跃响应单位阶跃响应输出分析输出分析 越大 d 越小 幅值也越小 响应的振荡倾向越弱 超调越小 平稳性越好 反之 越小 d 越大 振荡 越严重 平稳性越差 对于二阶欠阻尼系统而言 大 n 小 系统响应的平稳性好 过渡过程 1 上升时间 r t 2 峰值时间 p t 3 超调量 4 调节时间 s t 5 振荡次数 N 计算方法 1 题目给出开环传递函数 根据开环传递函数写闭环传递函数 分母即为特征方程 2 根据特征方程写各动态过程函数 例题解析 当 KA 200 时 系统稳定性分析系统稳定性分析 系统稳定的充分必要条件是 系统的特征方程的所有根都具有负实部 或者说都位于系统稳定的充分必要条件是 系统的特征方程的所有根都具有负实部 或者说都位于 S 平面的虚轴之左 平面的虚轴之左 稳定判据稳定判据 1 赫尔维茨稳定判据维茨行列式赫尔维茨稳定判据维茨行列式 Dk k 1 2 3 n 全部为正 全部为正 系统稳定的必要条件 系统特征方程的各项系数大于零 即 2 劳斯劳斯 Routh 判据判据 系统稳定的充分必要条件是 劳斯表中第一列所有元素的值或计算值均大于零 系统稳定的充分必要条件是 劳斯表中第一列所有元素的值或计算值均大于零 如果第一列中出现一个小于零的值 系统就不稳定 如果第一列中有等于零的值 说明系统处于临界稳定状态 第一列中数据符号改变的次数等于系统特征方程正实部根的数目 即系统中不稳定根的个数 特殊情况特殊情况 在劳斯表的某一行中 第一列项为零 在劳斯表的某一行中 第一列项为零 在劳斯表的某一行中 所有元素均为零 在劳斯表的某一行中 所有元素均为零 系统的特征方程 第二行中的第一列项为零 所以第三行的第一列项出现无穷大 为避免这种情况 可用 因子 s a 乘以原特征式 其中 a 可为任意正数 这里取 a 1 新的特征方程 第一列有两次符号变化 故方程有两个正实部根 系统的特征方程为 劳思表中出现全零行 表明特征方程中存在一些大小 相等 但位置相反的根 这时 可用全零行上一行的 系数构造一个辅助方程 对其求导 用所得方程的系 数代替全零行 继续下去直到得到全部劳思表 用 4 s行的系数构造系列辅助方程 用上述方程的系数代替原表中全零行 然后按正常规则计算下去 得到 表中的第一列各系数中 只有符号的变化 所以该特征方程只有一个正实部根 求解辅助方 程 可知产生全零行的根为 2 j 再可求出特征方程的其它两个根为2 3j1 稳态误差的计算稳态误差的计算 例 系统结构如下图 当输入信号 r t 1 t 干扰 n t 1 t 时 求系统的总的稳态误差 ess 解 判别稳定性 由于是一阶系统 所以只要参数 K1 K2 大于零 系统就稳定 求 E s R s N s 1 s 系统型别稳态误差计算 系统型别是针对系统的开环传递函数中积分环节的个数而言的 V 的系统称为 型系统 V 的系统称为 型系统 V 的系统称为 型系统 1 阶跃信号作用下的稳态误差 V 1 时 ess 0 V 2 时 ess 0 2 斜坡信号作用下的稳态误差 3 等加速信号作用下的稳态误差 例 系统结构如下图 若输入信号为试求系统的稳态误差 解 判别稳定性 系统的闭环特征方程为 根据系统结构与稳态误差之间的关系 可以直接求 ess 从结构图看出 该系统为单位反馈且属 型系统 因此 第四章第四章 根轨迹绘制根轨迹绘制 根轨迹法根轨迹法 根轨迹根轨迹 根轨迹方程根轨迹方程设开环传递函数有设开环传递函数有 m 个零点 个零点 n 个极点 并假定个极点 并假定 n m m i n i ii i n i i m i kpszs ps zsK 11 1 1 12 1 相角方程是决定系统闭环根轨迹的充分必要条件 相角方程是决定系统闭环根轨迹的充分必要条件 例一例一 求 K 验证某点是否是闭环极点 开环传函零极点闭环极点 闭环特征根 开环传函某个参数 比如 K0 闭环特征根的轨迹 1 sHsG 规则规则 1 分支数分支数 开环极点数开环极点数 2 连续对称性 对称于实轴连续对称性 对称于实轴 3 起点和终点起点和终点起点 开环极点起点 开环极点 n 终点 开环零点终点 开环零点 m 4 实轴上的根轨迹 实轴上的根轨迹 右侧零极点数目为奇数右侧零极点数目为奇数 5 渐近线渐近线开环零点开环零点 m 开环极点开环极点 n有有 n m 条根轨迹趋于无穷远条根轨迹趋于无穷远 6 起始角 终止角起始角 终止角 n i i m j jp ppzp 2 1 1 11 180 n j j m i iz zzpz 2 1 1 11 180 例二例二 重极点重极点 开环传递函数 试绘制系统根轨迹 要求求出起始角 解 1 求零极点 jpp z 52 2 21 极点 零点 jpp52 43 2 起点 终点 n m 3 3 实轴上的根轨迹 4 渐近线 5 起始角 mn zp mn k n i m j ji a a 11 12 22 9s4s 2sK s H s G 2 33 12 2 3 2 2 5252 k jj a a n i i m j jp ppzp 2 1 1 11 180 135 45 21 pp 0 1Im 0 1Re jHjG jHjG 7 分离点 会合点坐标分离点 会合点坐标 根轨迹方程 1 sD skN sHsG 特征方程 skNsDsf 分离点求解 会合点求解 8 根轨迹与虚轴交点 js K 的范围 1 jHjG 0 ds sdf 0 sN sD ds d 首先说一下根轨迹初级版本首先说一下根轨迹初级版本 画出来的根轨迹趋势是对的 不需要熟记八条规则 只要根据以下的步 骤 1 1 在在 s s 平面上画出所有零极点平面上画出所有零极点 零点是 o 极点是 x 2 2 画出实轴上的所有的根轨迹画出实轴上的所有的根轨迹 如果某线段上右边的零极点的个数是奇数 那么这一线段就是实轴 上的根轨迹 如下图 绿色线段是根轨迹 在第一段上 右边一共有三个零极点 所以这一段是根轨迹 第二段右边是两个 所以不是根轨迹 第三段右边有一个零极点 所以是 再看有重根的例子 道理也是一样的 3 3 确定渐近线和分离点 确定渐近线和分离点 渐近线是由零点和极点的相对个数决定的 N 极点个数 零点个数 公式自己查课本 一个快速记忆的形式如下图 再就是算分离点 a 所有极点之和 所有零点之和 N 在绘草图的时候 甚至可以不算分离点 4 4 所有根轨迹始于极点所有根轨迹始于极点 终于零点或无穷远处终于零点