（江苏专版）2019版高考数学一轮复习 第四章 解三角形讲义.doc

第四章解三角形命题探究20(1)因为cos b=45,0b,所以sin b=1-cos2b=1-452=35.由正弦定理acsinb=absinc,得ab=acsincsinb=62235=52.(2)在abc中,a+b+c=,所以a=-(b+c),于是cos a=-cos(b+c)=-cosb+4=-cos bcos 4+sin bsin4,又cos b=45,sin b=35,故cos a=-4522+3522=-210.因为0a0).则a=ksin a,b=ksin b,c=ksin c.代入cosaa+cosbb=sincc中,有cosaksina+cosbksinb=sincksinc,变形可得sin asin b=sin acos b+cos asin b=sin(a+b).在abc中,由a+b+c=,得sin(a+b)=sin(-c)=sin c,所以sin asin b=sin c.(2)由已知,b2+c2-a2=65bc,根据余弦定理的推论,有cos a=b2+c2-a22bc=35.所以sin a=1-cos2a=45.由(1),sin asin b=sin acos b+cos asin b,所以45sin b=45cos b+35sin b,故tan b=sinbcosb=4.教师用书专用(1118)11.(2017课标全国文,16,5分)abc的内角a,b,c的对边分别为a,b,c,若2bcos b=acos c+ccos a,则b=.答案6012.(2017课标全国文改编,11,5分)abc的内角a,b,c的对边分别为a,b,c.已知sin b+sin a(sin c-cos c)=0,a=2,c=2,则c=.答案613.(2017山东理改编,9,5分)在abc中,角a,b,c的对边分别为a,b,c.若abc为锐角三角形,且满足sin b(1+2cos c)=2sin acos c+cos asin c,则下列等式成立的是.a=2b;b=2a;a=2b;b=2a.答案14.(2014天津,12,5分)在abc中,内角a,b,c所对的边分别是a,b,c.已知b-c=14a,2sin b=3sin c,则cos a的值为.答案-1415.(2014课标,16,5分)已知a,b,c分别为abc三个内角a,b,c的对边,a=2,且(2+b)(sin a-sin b)=(c-b)sin c,则abc面积的最大值为.答案316.(2013浙江理,16,4分)在abc中,c=90,m是bc的中点.若sinbam=13,则sinbac=.答案6317.(2014湖南,18,12分)如图,在平面四边形abcd中,ad=1,cd=2,ac=7.(1)求coscad的值;(2)若cosbad=-714,sincba=216,求bc的长.解析(1)在adc中,由余弦定理,得coscad=ac2+ad2-cd22acad=7+1-427=277.(2)设bac=,则=bad-cad.因为coscad=277,cosbad=-714,所以sincad=1-cos2cad=1-2772=217,sinbad=1-cos2bad=1-7142=32114.于是sin =sin(bad-cad)=sinbadcoscad-cosbadsincad=32114277-714217=32.在abc中,由正弦定理,得bcsin=acsincba,故bc=acsinsincba=732216=3.18.(2014辽宁,17,12分)在abc中,内角a,b,c的对边分别为a,b,c,且ac.已知babc=2,cos b=13,b=3.求:(1)a和c的值;(2)cos(b-c)的值.解析(1)由babc=2得cacos b=2,又cos b=13,所以ac=6.由余弦定理,得a2+c2=b2+2accos b.又b=3,所以a2+c2=9+22=13.解ac=6,a2+c2=13得a=2,c=3或a=3,c=2.因为ac,所以a=3,c=2.(2)在abc中,sin b=1-cos2b=1-132=223,由正弦定理,得sin c=cbsin b=23223=429.因为a=bc,所以c为锐角.因此cos c=1-sin2c=1-4292=79.于是cos(b-c)=cos bcos c+sin bsin c=1379+223429=2327.考点二解三角形及其应用1.(2017浙江,14,5分)已知abc,ab=ac=4,bc=2.点d为ab延长线上一点,bd=2,连结cd,则bdc的面积是,cosbdc=.答案152;1042.(2016课标全国,15,5分)abc的内角a,b,c的对边分别为a,b,c,若cos a=45,cos c=513,a=1,则b=.答案21133.(2015湖北,13,5分)如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到a处时测得公路北侧一山顶d在西偏北30的方向上,行驶600 m后到达b处,测得此山顶在西偏北75的方向上,仰角为30,则此山的高度cd=m.答案10064.(2017江苏,18,16分)如图,水平放置的正四棱柱形玻璃容器和正四棱台形玻璃容器的高均为32 cm,容器的底面对角线ac的长为107 cm,容器的两底面对角线eg,e1g1的长分别为14 cm和62 cm.分别在容器和容器中注入水,水深均为12 cm.现有一根玻璃棒l,其长度为40 cm.(容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计)(1)将l放在容器中,l的一端置于点a处,另一端置于侧棱cc1上,求l没入水中部分的长度;(2)将l放在容器中,l的一端置于点e处,另一端置于侧棱gg1上,求l没入水中部分的长度.解析本小题主要考查正棱柱、正棱台的概念,考查正弦定理、余弦定理等基础知识,考查空间想象能力和运用数学模型及数学知识分析和解决实际问题的能力.(1)由正棱柱的定义,cc1平面abcd,所以平面a1acc1平面abcd,cc1ac.记玻璃棒的另一端落在cc1上点m处.因为ac=107,am=40,所以mc=402-(107)2=30,从而sinmac=34.记am与水面的交点为p1,过p1作p1q1ac,q1为垂足,则p1q1平面abcd,故p1q1=12,从而ap1=p1q1sinmac=16.答:玻璃棒l没入水中部分的长度为16 cm.(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”,则结果为24 cm)(2)如图,o,o1是正棱台的两底面中心.由正棱台的定义,oo1平面efgh,所以平面e1egg1平面efgh,o1oeg.同理,平面e1egg1平面e1f1g1h1,o1oe1g1.记玻璃棒的另一端落在gg1上点n处.过g作gke1g1,k为垂足,则gk=oo1=32.因为eg=14,e1g1=62,所以kg1=62-142=24,从而gg1=kg12+gk2=242+322=40.设egg1=,eng=,则sin =sin2+kgg1=coskgg1=45.因为2,所以cos =-35.在eng中,由正弦定理可得40sin=14sin,解得sin =725.因为02,所以cos =2425.于是sinneg=sin(-)=sin(+)=sin cos +cos sin =452425+-35725=35.记en与水面的交点为p2,过p2作p2q2eg,交eg的延长线于q2,则p2q2平面efgh,故p2q2=12,从而ep2=p2q2sinneg=20.答:玻璃棒l没入水中部分的长度为20 cm.(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”,则结果为20 cm)5.(2014江苏,18,16分)如图,为保护河上古桥oa,规划建一座新桥bc,同时设立一个圆形保护区.规划要求:新桥bc与河岸ab垂直;保护区的边界为圆心m在线段oa上并与bc相切的圆,且古桥两端o和a到该圆上任意一点的距离均不少于80 m.经测量,点a位于点o正北方向60 m处,点c位于点o正东方向170 m处(oc为河岸),tanbco=43.(1)求新桥bc的长;(2)当om多长时,圆形保护区的面积最大?解析解法一:(1)如图,以o为坐标原点,oc所在直线为x轴,建立平面直角坐标系xoy.由条件知a(0,60),c(170,0),直线bc的斜率kbc=-tanbco=-43.因为abbc,所以直线ab的斜率kab=34.设点b的坐标为(a,b),则kbc=b-0a-170=-43,kab=b-60a-0=34.解得a=80,b=120.所以bc=(170-80)2+(0-120)2=150(m).因此新桥bc的长是150 m.(2)设保护区的边界圆m的半径为r m,om=d m(0d60).由条件知,直线bc的方程为y=-43(x-170),即4x+3y-680=0.由于圆m与直线bc相切,故点m(0,d)到直线bc的距离是r,即r=|3d-680|42+32=680-3d5.因为o和a到圆m上任意一点的距离均不少于80 m,所以r-d80,r-(60-d)80,即680-3d5-d80,680-3d5-(60-d)80.解得10d35.故当d=10时,r=680-3d5最大,即圆面积最大.所以当om=10 m时,圆形保护区的面积最大.解法二:(1)如图,延长oa,cb交于点f.因为tanfco=43,所以sinfco=45,cosfco=35.因为oa=60 m,oc=170 m,所以of=octanfco=6803 m,cf=occosfco=8503 m,从而af=of-oa=5003 m.因为oaoc,所以cosafb=sinfco=45.又因为abbc,所以bf=afcosafb=4003 m,从而bc=cf-bf=150 m.因此新桥bc的长是150 m.(2)设保护区的边界圆m与bc的切点为d,连结md,则mdbc,且md是圆m的半径,设md=r m,om=d m(0d60).因为oaoc,所以sincfo=cosfco.故由(1)知sincfo=mdmf=mdof-om=r6803-d=35,所以r=680-3d5.因为o和a到圆m上任意一点的距离均不少于80 m,所以r-d80,r-(60-d)80,即680-3d5-d80,680-3d5-(60-d)80.解得10d35.故当d=10时,r=680-3d5最大,即圆面积最大.所以当om=10 m时,圆形保护区的面积最大.6.(2013江苏,18,16分)如图,游客从某旅游景区的景点a处下山至c处有两种路径.一种是从a沿直线步行到c,另一种是先从a沿索道乘缆车到b,然后从b沿直线步行到c.现有甲、乙两位游客从a处下山,甲沿ac匀速步行,速度为50 m/min.在甲出发2 min后,乙从a乘缆车到b,在b处停留1 min后,再从b匀速步行到c.假设缆车匀速直线运行的速度为130 m/min,山路ac长为1 260 m,经测量,cos a=1213,cos c=35.(1)求索道ab的长;(2)问乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短?(3)为使两位游客在c处互相等待的时间不超过3分钟,乙步行的速度应控制在什么范围内?解析(1)在abc中,因为cos a=1213,cos c=35,所以sin a=513,sin c=45.从而sin b=sin-(a+c)=sin(a+c)=sin acos c+cos asin c=51335+121345=6365.由absinc=acsinb,得ab=acsinbsin c=1 260636545=1 040(m).所以索道ab的长为1 040 m.(2)设乙出发t分钟后,甲、乙两游客距离为d m,此时,甲行走了(100+50t)m,乙距离a处130t m,所以由余弦定理得d2=(100+50t)2+(130t)2-2130t(100+50t)1213=200(37t2-70t+50),因0t1 040130,即0t8,故当t=3537 min时,甲、乙两游客距离最短.(3)由bcsina=acsinb,得bc=acsinbsin a=1 2606365513=500(m).乙从b出发时,甲已走了50(2+8+1)=550(m),还需走710 m才能到达c.设乙步行的速度为v m/min,由题意得-3500v-710503,解得1 25043v62514,所以为使两位游客在c处互相等待的时间不超过3分钟,乙步行的速度应控制在1 25043,62514(单位:m/min)范围内.教师用书专用(716)7.(2013福建理,13,4分)如图,在abc中,已知点d在bc边上,adac,sinbac=223,ab=32,ad=3,则bd的长为.答案38.(2016天津,15,13分)在abc中,内角a,b,c所对的边分别为a,b,c.已知asin 2b=3bsin a.(1)求b;(2)若cos a=13,求sin c的值.解析(1)在abc中,由asina=bsinb,可得asin b=bsin a,又由asin 2b=3bsin a,得2asin bcos b=3bsin a=3asin b,所以cos b=32,得b=6.(2)由cos a=13,可得sin a=223,则sin c=sin-(a+b)=sin(a+b)=sina+6=32sin a+12cos a=26+16.9.(2016浙江,16,14分)在abc中,内角a,b,c所对的边分别为a,b,c.已知b+c=2acos b.(1)证明:a=2b;(2)若cos b=23,求cos c的值.解析(1)证明:由正弦定理得sin b+sin c=2sin acos b,故2sin acos b=sin b+sin(a+b)=sin b+sin acos b+cos asin b,于是sin b=sin(a-b).又a,b(0,),故0a-b,所以,b=-(a-b)或b=a-b,因此a=(舍去)或a=2b,所以,a=2b.(2)由cos b=23得sin b=53,cos 2b=2cos2b-1=-19,故cos a=-19,sin a=459,cos c=-cos(a+b)=-cos acos b+sin asin b=2227.10.(2014陕西,16,12分)abc的内角a,b,c所对的边分别为a,b,c.(1)若a,b,c成等差数列,证明:sin a+sin c=2sin(a+c);(2)若a,b,c成等比数列,求cos b的最小值.解析(1)证明:a,b,c成等差数列,a+c=2b.由正弦定理得sin a+sin c=2sin b.sin b=sin-(a+c)=sin(a+c),sin a+sin c=2sin(a+c).(2)a,b,c成等比数列,b2=ac.由余弦定理得cos b=a2+c2-b22ac=a2+c2-ac2ac2ac-ac2ac=12,当且仅当a=c时等号成立.cos b的最小值为12.11.(2015课标,17,12分)abc中,d是bc上的点,ad平分bac,bd=2dc.(1)求sinbsinc;(2)若bac=60,求b.解析(1)由正弦定理得adsinb=bdsinbad,adsinc=dcsincad.因为ad平分bac,bd=2dc,所以sinbsinc=dcbd=12.(2)因为c=180-(bac+b),bac=60,所以sinc=sin(bac+b)=32cosb+12sinb.由(1)知2sinb=sinc,所以tanb=33,即b=30.12.(2015浙江,16,14分)在abc中,内角a,b,c所对的边分别是a,b,c.已知a=4,b2-a2=12c2.(1)求tan c的值;(2)若abc的面积为3,求b的值.解析(1)由b2-a2=12c2及正弦定理得sin2b-12=12sin2c,所以-cos 2b=sin2c.由a=4,即b+c=34,得-cos 2b=sin 2c=2sin ccos c,所以2sin ccos c=sin2c,解得tan c=2.(2)由tan c=2,c(0,)得sin c=255,cos c=55.又因为sin b=sin(a+c)=sin4+c,所以sin b=31010.由正弦定理得c=223b,又因为a=4,12bcsin a=3,所以bc=62,故b=3.13.(2015陕西,17,12分)abc的内角a,b,c所对的边分别为a,b,c.向量m=(a,3b)与n=(cos a,sin b)平行.(1)求a;(2)若a=7,b=2,求abc的面积.解析(1)因为mn,所以asin b-3bcos a=0,由正弦定理,得sin asin b-3sin bcos a=0,又sin b0,从而tan a=3,由于0a0,所以c=3.故abc的面积为12bcsin a=332.解法二:由正弦定理,得7sin3=2sinb,从而sin b=217,又由ab,知ab,所以cos b=277.故sin c=sin(a+b)=sinb+3=sin bcos3+cos bsin3=32114.所以abc的面积为12absin c=332.14.(2015湖南,17,12分)设abc的内角a,b,c的对边分别为a,b,c,a=btan a,且b为钝角.(1)证明:b-a=2;(2)求sin a+sin c的取值范围.解析(1)证明:由a=btan a及正弦定理,得sinacosa=ab=sinasinb,所以sin b=cos a,即sin b=sin2+a.又b为钝角,因此2+a2,故b=2+a,即b-a=2.(2)由(1)知,c=-(a+b)=-2a+2=2-2a0,所以a0,4.于是sin a+sin c=sin a+sin2-2a=sin a+cos 2a=-2sin2a+sin a+1=-2sina-142+98.因为0a4,所以0sin a22,因此22-2sina-142+9898.由此可知sin a+sin c的取值范围是22,98.15.(2013课标全国理,17,12分)如图,在abc中,abc=90,ab=3,bc=1,p为abc内一点,bpc=90.(1)若pb=12,求pa;(2)若apb=150,求tanpba.解析(1)由已知得,pbc=60,所以pba=30.在pba中,由余弦定理得pa2=3+14-2312cos 30=74.故pa=72.(2)设pba=,由已知得pb=sin .在pba中,由正弦定理得3sin150=sinsin(30-),化简得3cos =4sin .所以tan =34,即tanpba=34.16.(2014浙江,18,14分)在abc中,内角a,b,c所对的边分别为a,b,c.已知ab,c=3,cos2a-cos2b=3sin acos a-3sin bcos b.(1)求角c的大小;(2)若sin a=45,求abc的面积.解析(1)由题意得1+cos2a2-1+cos2b2=32sin 2a-32sin 2b,即32sin 2a-12cos 2a=32sin 2b-12cos 2b,sin2a-6=sin2b-6.由ab,得ab,又a+b(0,),得2a-6+2b-6=,即a+b=23,所以c=3.(2)由(1)及c=3,sin a=45,asina=csinc,得a=85,由ac,得ac.从而cos a=35,故sin b=sin(a+c)=sin acos c+cos asin c=4+3310,所以,abc的面积为s=12acsin b=83+1825.三年模拟a组20162018年模拟基础题组考点一正弦、余弦定理1.(苏教必5,一,1,变式)若abc的面积为3,bc=2,c=60,则边ab的长度等于.答案22.(2017江苏苏州期中,8)在abc中,角a,b,c所对的边分别为a,b,c,若a2-b2=2bc,sin c=3sin b,则a=.答案603.(2017江苏南京高淳质检,6)在abc中,已知a=45,c=105,bc=2,则ac=.答案14.(2017江苏徐州沛县中学质检,9)在abc中,已知bc=2,ac=7,b=23,那么abc的面积是.答案325.(2017江苏泰州姜堰期中,16)设abc的内角a,b,c所对的边分别为a,b,c.已知a=1,b=2,cos c=14.(1)求abc的周长;(2)求cos(a-c)的值.解析(1)由余弦定理可得,c2=a2+b2-2abcos c=1+4-21214=4,所以c=2,所以abc的周长为5.(2)在abc中,因为cos c=14,所以sin c=154,由asina=csinc,可得sin a=158,由余弦定理得cos a=b2+c2-a22bc=78,所以cos(a-c)=cos acos c+sin asin c=1116.考点二解三角形及其应用6.(2018江苏姜堰中学期中)分别从地面上距离旗杆底端10米、20米、30米的a,b,c处测得杆顶的仰角为,且+=90,则旗杆高米.答案107.(2016江苏南通、扬州、泰州调研,15)在斜三角形abc中,tan a+tan b+tan atan b=1.(1)求角c的大小;(2)若a=15,ab=2,求abc的周长.解析(1)因为tan a+tan b+tan atan b=1,即tan a+tan b=1-tan atan b.因为在斜三角形abc中,1-tan atan b0,所以tan(a+b)=tana+tanb1-tanatanb=1,即tan(180-c)=1,亦即tan c=-1.因为0c180,所以c=135.(2)在abc中,a=15,c=135,则b=180-a-c=30.abc中,由正弦定理得bcsin15=casin30=2sin135=2,故bc=2sin 15=2sin(45-30)=2(sin 45cos 30-cos 45sin 30)=6-22,ca=2sin 30=1.所以abc的周长为ab+ca+bc=2+1+6-22=2+6+22.b组20162018年模拟提升题组(满分:100分时间:50分钟)一、填空题(每小题5分,共25分)1.(2018江苏东台安丰高级中学月考)设abc的内角a,b,c的对边分别为a,b,c,且c=b+1=a+2,c=2a,则abc的面积等于.答案15742.(2018江苏海安中学阶段测试)在abc中,已知ab=5,bc=3,b=2a,则边ac的长为.答案263.(2018江苏南通中学高三阶段测试)在abc中,角a、b、c的对边依次为a、b、c,若abc为锐角三角形,且满足c2-b2=ab,则1tanb-1tanc+2sin c的取值范围是.答案533,34.(2018江苏盐城高三(上)期中)在abc中,角a,b,c的对边分别为a,b,c,已知a=3,a=47,角a的平分线交边bc于点d,其中ad=33,则sabc=.答案1235.(苏教必5,一,2,变式)在abc中,已知ab=463,cosabc=66,ac边上的中线bd=5,则sin a=.答案7014二、解答题(共75分)6.(2018江苏徐州铜山中学期中)已知abc的内角a,b,c所对的边分别为a,b,c,且a+2c=2bcos a.(1)求角b的大小;(2)若b=23,a+c=4,求abc的面积.解析(1)因为a+2c=2bcos a,所以sin a+2sin c=2sin bcos a,因为c=-(a+b),所以sin a+2sin(a+b)=2sin bcos a.即sin a+2sin acos b+2cos asin b=2sin bcos a,所以sin a(1+2cos b)=0.因为sin a0,所以cos b=-12,又因为0b,所以b=23.(2)由余弦定理得,a2+c2+ac=12,即(a+c)2-ac=12.又因为a+c=4,所以ac=4,所以sabc=12acsin b=12432=3.7.(2017江苏无锡期中,15)在abc中,角a,b,c所对的边分别为a,b,c,已知bsin a=3acos b.(1)求b的值;(2)若cos asin c=3-14,求角a的值.解析(1)因为asina=bsinb,所以bsin a=asin b,又bsin a=3acos b,所以3acos b=asin b,所以tan b=3,所以b=3.(2)因为cos asin c=3-14,所以cos asin23-a=3-14,所以cos a32cosa+12sina=32cos2a+12sin acos a=321+cos2a2+14sin 2a=3-14,所以sin2a+3=-12,因为0a0,sin c0,所以cos c=12,又c(0,),所以c=3.(2)因为c=3,所以b0,23,所以b-3-3,3,又sinb-3=35,所以cosb-3=1-sin2b-3=45.又a+b=23,即a=23-b,所以sin a=sin23-b=sin3-b-3=sin 3cosb-3-cos 3sinb-3=3245-1235=43-310.c组20162018年模拟方法题组方法1三角形中的几何计算1.(2016江苏清江中学周练,17)如图,abc为一直角三角形草坪,其中c=90,bc=2米,ab=4米,为了重建草坪,设计师准备了两套方案:方案一:扩大为一个直角三角形,其中斜边de过点b,且与ac平行,df过点a,ef过点c.方案二:扩大为一个等边三角形,其中de过点b,df过点a,ef过点c.(1)求方案一中三角形def的面积s1的最小值;(2)求方案二中三角形def的面积s2的最大值.解析(1)设acf=,0,2,则af=23sin ,fc=23cos ,因为deac,所以e=,cbe=acb=90,且faad=fcce,所以ec=2sin,23sinad=23cos2sin,解得ad=2cos.所以s1=1223sin+2cos23cos+2sin=3sin2+43sin2+43,所以当且仅当sin 2=1,即=4时,s1取最小值7+43.(2)在三角形dba中,设dba=,0,23,则dbsin23-=absin3,解得db=83sin23-,在三角形cbe中,易知bce=,则由ebsin=cbsin3,解得eb=43sin ,则等边三角形def的边长为83sin23-+43sin =43(2sin +3cos ),所以边长的最大值为473,所以面积s2的最大值为344732=2833.方法2利用正、余弦定理判断三角形的形状2.在abc中,若b=60,2b=a+c,试判断abc的形状.解析解法一:2b=a+c,2sin b=sin a+sin c.b=60,a+c=120.2sin 60=sin(120-c)+sin c.展开整理得32sin c+12cos c=1.sin(c+30)=1.0c120,c+30=90.c=60.故a=60.abc为等边三角形.解法二:由余弦定理,得b2=a2+c2-2accos b.b=60,b=a+c2,a+c22=a2+c2-2accos 60,化简得(a-c)2=0,a=c.又b=60,a=b=c.abc为等边三角形.3.在abc中,a、b、c分别表示三个内角a、b、c的对边,如果(a2+b2)sin(a-b)=(a2-b2)sin(a+b),判断三角形的形状.解析解法一:已知等式可化为a2sin(a-b)-sin(a+b)=b2-sin(a+b)-sin(a-b),2a2cos asin b=2b2cos bsin a.由正弦定理可知上式可化为sin2acos asin b=sin2bcos bsin a,si