（江苏专用）2018版高考数学大一轮复习 第九章 平面解析几何 9.7 抛物线教师用书 文 苏教版.doc

9.7 抛物线1.抛物线的概念平面内到一个定点f和一条定直线l(f不在l上)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点f叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线.2.抛物线的标准方程与几何性质标准方程y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)p的几何意义：焦点f到准线l的距离图形顶点o(0,0)对称轴y0x0焦点ffff离心率e1准线方程xxyy范围x0，yrx0，yry0，xry0，xr开口方向向右向左向上向下【知识拓展】1.抛物线y22px (p0)上一点p(x0，y0)到焦点f的距离pfx0，也称为抛物线的焦半径.2.y2ax的焦点坐标为，准线方程为x.3.设ab是过抛物线y22px(p0)焦点f的弦，若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则(1)x1x2，y1y2p2.(2)弦长abx1x2p(为弦ab的倾斜角).(3)以弦ab为直径的圆与准线相切.(4)通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长等于2p，通径是过焦点最短的弦.【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)平面内与一个定点f和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线.()(2)方程yax2(a0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线，且其焦点坐标是(，0)，准线方程是x.()(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形.()(4)ab为抛物线y22px(p0)的过焦点f(，0)的弦，若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则x1x2，y1y2p2，弦长abx1x2p.()1.(2016四川改编)抛物线y24x的焦点坐标是_.答案(1,0)解析对于抛物线y2ax，其焦点坐标为，对于y24x，焦点坐标为(1,0).2.(2017苏州模拟)已知抛物线c：y2x的焦点为f，a(x0，y0)是c上一点，afx0，则x0_.答案1解析由抛物线的定义，可得afx0，afx0，x0x0，x01.3.(2016苏州模拟)设坐标原点为o，抛物线y22x与过焦点的直线交于a、b两点，则_.答案解析设a(x1，y1)，b(x2，y2)，由题意知过焦点的直线斜率不为0，设其直线方程为xky，则由得y22ky10，y1y21，x1x2y1y2y1y21.4.(教材改编)已知抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，并且经过点p(2，4)，则该抛物线的标准方程为_.答案y28x或x2y解析设抛物线方程为y22px(p0)或x22py(p0).将p(2，4)代入，分别得方程为y28x或x2y.5.(2017南京月考)已知抛物线y22px(p0)的准线与圆x2y26x70相切，则p的值为_.答案2解析抛物线y22px(p0)的准线为x，圆x2y26x70，即(x3)2y216，则圆心为(3,0)，半径为4.又因为抛物线y22px(p0)的准线与圆x2y26x70相切，所以34，解得p2.题型一抛物线的定义及应用例1设p是抛物线y24x上的一个动点，若b(3,2)，则pbpf的最小值为_.答案4解析如图，过点b作bq垂直准线于点q，交抛物线于点p1，则p1qp1f.则有pbpfp1bp1qbq4.即pbpf的最小值为4.引申探究1.若将本例中的b点坐标改为(3,4)，试求pbpf的最小值.解由题意可知点(3,4)在抛物线的外部.因为pbpf的最小值即为b，f两点间的距离，所以pbpfbf2，即pbpf的最小值为2.2.若将本例中的条件改为：已知抛物线方程为y24x，直线l的方程为xy50，在抛物线上有一动点p到y轴的距离为d1，到直线l的距离为d2，求d1d2的最小值.解由题意知，抛物线的焦点为f(1,0).点p到y轴的距离d1pf1，所以d1d2d2pf1.易知d2pf的最小值为点f到直线l的距离，故d2pf的最小值为3，所以d1d2的最小值为31.思维升华与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关.由于抛物线的定义在运用上有较大的灵活性，因此此类问题也有一定的难度.“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径.设p是抛物线y24x上的一个动点，则点p到点a(1,1)的距离与点p到直线x1的距离之和的最小值为_.答案解析如图，易知抛物线的焦点为f(1,0)，准线是x1，由抛物线的定义知：点p到直线x1的距离等于点p到f的距离.于是，问题转化为在抛物线上求一点p，使点p到点a(1，1)的距离与点p到f(1,0)的距离之和最小，显然，连结af与抛物线相交的点即为满足题意的点，此时最小值为.题型二抛物线的标准方程和几何性质命题点1求抛物线的标准方程例2已知双曲线c1：1(a0，b0)的离心率为2.若抛物线c2：x22py(p0)的焦点到双曲线c1的渐近线的距离为2，则抛物线c2的方程为_.答案x216y解析1的离心率为2，2，即4，3，.x22py(p0)的焦点坐标为，1的渐近线方程为yx，即yx.由题意得2，p8.故c2的方程为x216y.命题点2抛物线的几何性质例3已知抛物线y22px(p0)的焦点为f，a(x1，y1)，b(x2，y2)是过f的直线与抛物线的两个交点，求证：(1)y1y2p2，x1x2；(2)为定值；(3)以ab为直径的圆与抛物线的准线相切.证明(1)由已知得抛物线焦点坐标为(，0).由题意可设直线方程为xmy，代入y22px，得y22p，即y22pmyp20.(*)则y1，y2是方程(*)的两个实数根，所以y1y2p2.因为y2px1，y2px2，所以yy4p2x1x2，所以x1x2.(2).因为x1x2，x1x2abp，代入上式，得(定值).(3)设ab的中点为m(x0，y0)，分别过a，b作准线的垂线，垂足为c，d，过m作准线的垂线，垂足为n，则mn(acbd)(afbf)ab.所以以ab为直径的圆与抛物线的准线相切.思维升华(1)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.(2)在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此.(1)(2016全国乙卷改编)以抛物线c的顶点为圆心的圆交c于a，b两点，交c的准线于d，e两点.已知ab4，de2，则c的焦点到准线的距离为_.(2)若抛物线y24x上一点p到其焦点f的距离为3，延长pf交抛物线于q，若o为坐标原点，则sopq_.答案(1)4(2)解析(1)不妨设抛物线c：y22px(p0)，则圆的方程可设为x2y2r2(r0)，如图，又可设a(x0,2)，d，点a(x0,2)在抛物线y22px上，82px0，点a(x0,2)在圆x2y2r2上，x8r2，点d在圆x2y2r2上，52r2，联立，解得p4，即c的焦点到准线的距离为4.(2)如图所示，由题意知，抛物线的焦点f的坐标为(1,0).又pf3，由抛物线定义知：点p到准线x1的距离为3，点p的横坐标为2.将x2代入y24x，得y28，由图知点p的纵坐标y2，p(2,2)，直线pf的方程为y2(x1).方法一联立直线与抛物线的方程解得或由图知q(，)，sopqof|ypyq|1|2|.方法二将y2(x1)代入y24x，得2x25x20，x1x2，pqx1x2p，o到pq的距离d，sopqpqd.题型三直线与抛物线的综合问题命题点1直线与抛物线的交点问题例4已知抛物线c：y28x与点m(2,2)，过c的焦点且斜率为k的直线与c交于a、b两点.若0，则k_.答案2解析抛物线c的焦点为f(2,0)，则直线方程为yk(x2)，与抛物线方程联立，消去y化简得k2x2(4k28)x4k20.设点a(x1，y1)，b(x2，y2).则x1x24，x1x24.所以y1y2k(x1x2)4k，y1y2k2x1x22(x1x2)416.因为(x12，y12)(x22，y22)(x12)(x22)(y12)(y22)x1x22(x1x2)y1y22(y1y2)80，将上面各个量代入，化简得k24k40，所以k2.命题点2与抛物线弦的中点有关的问题例5(2016全国丙卷)已知抛物线c：y22x的焦点为f，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交c于a，b两点，交c的准线于p，q两点.(1)若f在线段ab上，r是pq的中点，证明：arfq；(2)若pqf的面积是abf的面积的两倍，求ab中点的轨迹方程.(1)证明由题意知，f，设l1：ya，l2：yb，则ab0，且a，b，p，q，r.记过a，b两点的直线为l，则l的方程为2x(ab)yab0.由于f在线段ab上，故1ab0.记ar的斜率为k1，fq的斜率为k2，则k1bk2.所以arfq.(2)解设过ab的直线为l，设l与x轴的交点为d(x1,0)，则sabf|ba|fd|ba|，spqf.由题意可得|ba|，所以x11，x10(舍去).设满足条件的ab的中点为e(x，y).当ab与x轴不垂直时，由kabkde可得(x1).而y，所以y2x1(x1).当ab与x轴垂直时，e与d重合，此时e点坐标为(1,0)，所以所求轨迹方程为y2x1(x1).思维升华(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系.(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点.若过抛物线的焦点，可直接使用公式abx1x2p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式.(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”、“整体代入”等解法.提醒：涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解.(2016南京、盐城、徐州二模)在平面直角坐标系xoy中，已知抛物线c：x24y的焦点为f，定点a(2，0)，若射线fa与抛物线c相交于点m，与抛物线c的准线相交于点n，则fmmn_.答案13解析由题意得f(0,1)，直线af的方程为1，将它与抛物线方程联立解得或又交点在第一象限，m(，)，准线方程为y1.故易求得n(4，1).由三角形相似性质得.7.直线与圆锥曲线问题的求解策略典例(16分)已知抛物线c：ymx2(m0)，焦点为f，直线2xy20交抛物线c于a，b两点，p是线段ab的中点，过p作x轴的垂线交抛物线c于点q.(1)求抛物线c的焦点坐标；(2)若抛物线c上有一点r(xr,2)到焦点f的距离为3，求此时m的值；(3)是否存在实数m，使abq是以q为直角顶点的直角三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.思维点拨(3)中证明0.规范解答解(1)抛物线c：x2y，它的焦点f(0，).2分(2)rfyr，23，得m.4分(3)存在实数m，使abq定以q为直角顶点的直角三角形.联立方程消去y，得mx22x20，依题意，有(2)24m(2)0m.7分设a(x1，mx)，b(x2，mx)，则(*)p是线段ab的中点，p(，)，即p(，yp)，q(，).9分得(x1，mx)，(x2，mx)，若存在实数m，使abq是以q为直角顶点的直角三角形，则0，即(x1)(x2)(mx)(mx)0，12分结合(*)化简得40，即2m23m20，m2或m，而2(，)，(，).存在实数m2，使abq是以q为直角顶点的直角三角形.16分解决直线与圆锥曲线的位置关系的一般步骤第一步：联立方程，得关于x或y的一元二次方程；第二步：写出根与系数的关系，并求出0时参数范围(或指出直线过曲线内一点)；第三步：根据题目要求列出关于x1x2，x1x2(或y1y2，y1y2)的关系式，求得结果；第四步：反思回顾，查看有无忽略特殊情况.1.(2017盐城模拟)若抛物线yax2的焦点坐标是(0,1)，则a_.答案解析因为抛物线的标准方程为x2y，所以其焦点坐标为(0，)，则有1，a.2.已知抛物线y22px(p0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于a、b两点，若线段ab的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为_.答案x1解析y22px(p0)的焦点坐标为(，0)，过焦点且斜率为1的直线方程为yx，即xy，将其代入y22px，得y22pyp2，即y22pyp20.设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则y1y22p，p2，抛物线的方程为y24x，其准线方程为x1.3.(2016淮安模拟)已知直线l1：4x3y60和直线l2：x1，抛物线y24x上一动点p到直线l1和l2的距离之和的最小值为_.答案2解析直线l2：x1是抛物线y24x的准线，抛物线y24x的焦点为f(1,0)，则点p到直线l2：x1的距离等于pf，过点f作直线l1：4x3y60的垂线，和抛物线的交点就是点p，所以点p到直线l1：4x3y60的距离和直线l2：x1的距离之和的最小值就是点f(1,0)到直线l1：4x3y60的距离，所以最小值为2.4.已知抛物线y22px(p0)的焦点弦ab的两端点坐标分别为a(x1，y1)，b(x2，y2)，则的值一定等于_.答案4解析若焦点弦abx轴，则x1x2，x1x2，y1p，y2p，y1y2p2，4.若焦点弦ab不垂直于x轴，可设ab的直线方程为yk(x)，联立y22px，得k2x2(k2p2p)x0，则x1x2，x1x2p，y1y2p2.故4.5.(2016苏州一模)过抛物线y28x的焦点f的直线交抛物线于a，b两点，交抛物线的准线于点c，若af6，则的值为_.答案3解析设a(x1，y1)(y10)，b(x2，y2)，c(2，y3)，则x126，解得x14，则y14，则直线ab的方程为y2(x2)，令x2，得c(2，8)，联立解得或则b(1，2)，bf123，bc9，3.6.(2016镇江模拟)已知直线yk(x2)(k0)与抛物线c：y28x相交于a，b两点，f为c的焦点，若fa2fb，则k的值为_.答案解析抛物线c的准线为l：x2，直线yk(x2)恒过定点p(2，0)，如图，过a，b分别作aml于m，bnl于n，由fa2fb，得am2bn，从而点b为ap的中点，连结ob，则obaf，所以obbf，从而点b的横坐标为1，点b的坐标为(1,2)，所以k.7.设f为抛物线c：y23x的焦点，过f且倾斜角为30的直线交c于a，b两点，则ab_.答案12解析焦点f的坐标为.方法一直线ab的斜率为，所以直线ab的方程为y，即yx，代入y23x，得x2x0.设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则x1x2，所以abx1x2p12.方法二由抛物线焦点弦的性质可得ab12.8.(2016宿迁模拟)已知抛物线的方程为y22px(p0)，过抛物线上一点m(p，p)和抛物线的焦点f作直线l交抛物线于另一点n，则nffm_.答案12解析由题意知直线l的方程为y2(x)，联立方程得4x25pxp20，n(，p)，nfp，mfpp，nffm12.9.(2016徐州、连云港、宿迁三检)已知点f是抛物线y24x的焦点，该抛物线上位于第一象限的点a到其准线的距离为5，则直线af的斜率为_.答案解析抛物线y24x的准线为x1，焦点f(1,0)，设点a(x0，y0)(x00，y00)，由题意得x015，所以x04，所以y4x016，y04，从而点a(4,4)，直线af的斜率为k.10.已知椭圆e的中心在坐标原点，离心率为，e的右焦点与抛物线c：y28x的焦点重合，a，b是c的准线与e的两个交点，则ab_.答案6解析抛物线y28x的焦点为(2,0)，准线方程为x2.设椭圆方程为1(ab0)，由题意，c2，可得a4，b216412.故椭圆方程为1.把x2代入椭圆方程，解得y3.从而ab6.11.已知抛物线c：y24x的焦点为f，准线为l，过抛物线c上的点a作准线l的垂线，垂足为m，若amf与aof(其中o为坐标原点)的面积之比为31，