（浙江专版）2018年高中数学 阶段质量检测（三）空间向量与立体几何 新人教A版选修2-1.doc

阶段质量检测（三） 空间向量与立体几何(时间120分钟满分150分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1设空间向量a(1,2,1)，b(2,2,3)，则ab()a(2,4,3)b(3,4,4)c9 d5解析：选ca(1,2,1)，b(2,2,3)，ab1222139.2设l1的方向向量为a(1,2，2)，l2的方向向量为b(2,3，m)，若l1l2，则m等于()a1 b2c. d3解析：选b若l1l2，则ab，ab0，1(2)23(2m)0，解得m2.3已知向量i，j，k是一组单位正交向量，m8j3k，ni5j4k，则mn()a7 b20c28 d11解析：选c因为m(0,8,3)，n(1,5，4)，所以mn0401228.4已知二面角l的大小为，m，n为异面直线，且m，n，则m，n所成的角为()a. b.c. d.解析：选b设m，n的方向向量分别为m，n.由m，n知m，n分别是平面，的法向量|cosm，n|cos ，m，n或.但由于两异面直线所成的角的范围为，故异面直线m，n所成的角为.5已知空间三点o(0,0,0)，a(1,1,0)，b(0,1,1)在直线oa上有一点h满足bhoa，则点h的坐标为()a(2,2,0) b(2，2,0)c. d.解析：选c由(1,1,0)，且点h在直线oa上，可设h(，0)，则bh(，1，1)又bhoa，oa0，即(，1，1)(1,1,0)0，即10，解得，h.6如图，三棱锥sabc中，棱sa，sb，sc两两垂直，且sasbsc，则二面角abcs大小的正切值为()a1 b.c. d2解析：选c三棱锥sabc中，棱sa，sb，sc两两垂直，且sasbsc，sa平面sbc，且abac，取bc的中点d，连接sd，ad，则sdbc，adbc，则ads是二面角abcs的平面角，设sasbsc1，则sd，则tanads，故选c.7在空间直角坐标系oxyz中，i，j，k分别是x轴、y轴、z轴的方向向量，设a为非零向量，且a，i45，a，j60，则a，k()a30 b45c60 d90解析：选c如图所示，设|a|m(m0)，a，pa平面xoy，则在rtpbo中，|pb|sina，im，在rtpco中，|oc|cosa，j，|ab|，在rtpab中，|pa| ，|od|，在rtpdo中，cosa，k，又0a，k180，a，k60.8.如图，在正四棱柱abcd a1b1c1d1中，aa12，abbc1，动点p，q分别在线段c1d，ac上，则线段pq长度的最小值是()a. b.c. d.解析：选c建立如图所示的空间直角坐标系，则a(1,0,0)，b(1,1,0)，c(0,1,0)，c1(0,1,2)设点p的坐标为(0，2)，0,1，点q的坐标为(1，0)，0,1，pq，当且仅当，时，线段pq的长度取得最小值.二、填空题(本大题共7小题，多空题每空3分，单空题每题4分，共36分)9已知向量a(1,2,3)，b(2，4，6)，|c|，若(ab)c7，则a与c的夹角为_，|a|_.解析：设向量ab与c的夹角为，因为ab(1，2，3)，|ab|，cos ，所以60.因为向量ab与a的方向相反，所以a与c的夹角为120，|a|.答案：12010已知a(3，6，6)，b(1,3,2)为两平行平面的法向量，则_，a的同向单位向量为_解析：由题意知ab，解得2.a(6,6,8)，|a|2，a的同向单位向量为.答案：211若a(2,3，1)，b(2,1,3)，则ab_.以a，b为邻边的平行四边形的面积为_解析：ab(4,2，4)，cosa，b，得sina，b，则s|a|b|sina，b6.答案：(4,2，4)612在长方体abcda1b1c1d1中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点a1到截面ab1d1的距离为_，三棱锥aa1b1d1的体积为_解析：建立如图所示的空间直角坐标系则a(2,0,0)，b1(2,2,4)，d1(0,0,4)，a1(2,0,4)，(0,2,4)，(2,0,4)，(0,0,4)设平面ab1d1的法向量n(x，y，z)，则即令x2，得n(2，2,1)所以a1到平面ab1d1的距离为d.vaa1b1d1224.答案：13三棱柱abca1b1c1中，底面abc为正三角形，侧棱长等于底面边长，a1在底面的射影是abc的中心，则ab1与底面abc所成角的正弦值等于_解析：如图，设a1在底面abc内的射影为o，以o为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系设abc边长为1，则a，b1，.又平面abc的法向量n(0,0,1)，则ab1与底面abc所成角的正弦值为sin |cos，n|.答案：14在平行六面体abcd a1b1c1d1中，若a2b3c，则abc_.解析：a2b3c，a1，b，c.abc.答案：15如图，在矩形abcd中，ab3，bc1，efbc且ae2eb，g为bc的中点，k为af的中点沿ef将矩形折成120的二面角aefb，此时kg的长为_解析：如图，过k作kmef，垂足m为ef的中点，则向量与的夹角为120，60.又，211211cos 603.|.答案：三、解答题(本大题共6小题，共74分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16(本小题满分14分)已知a(x,4,1)，b(2，y，1)，c(3，2，z)ab，bc，求：(1)a，b，c；(2)ac与bc夹角的余弦值解：(1)因为ab，所以，解得x2，y4，则a(2,4,1)，b(2，4，1)又bc，所以bc0，即68z0，解得z2，于是c(3，2,2)(2)由(1)得ac(5,2,3)，bc(1，6,1)，设ac与bc夹角为，因此cos .17(本小题满分15分)如图，在四棱锥pabcd中，pd底面abcd，底面abcd为正方形，pddc，e，f分别是ab，pb的中点(1)求证：efcd；(2)求db与平面def所成角的正弦值解：(1)证明：以d为坐标原点，da，dc，dp所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系如图设ada，则d(0,0,0)，a(a,0,0)，b(a，a,0)，c(0，a,0)，e，p(0,0，a)，f.(0，a,0)0.，efcd.(2)设平面def的法向量为n(x，y，z)，则即即取x1，则y2，z1，n(1，2,1)，cos，n.设db与平面def所成角为，则sin .18(本小题满分15分)已知四棱锥pabcd的底面是直角梯形，abdc，dab90，pd底面abcd，且pddacd2ab2，m点为pc的中点(1)求证：bm平面pad；(2)在平面pad内找一点n，使mn平面pbd.解：(1)证明：pd底面abcd，cdab，cdad.以d为原点，da，dc，dp分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(如图所示)由于pdcdda2ab2，所以d(0,0,0)，a(2,0,0)，b(2,1,0)，c(0,2,0)，p(0,0,2)，m(0,1,1)，(2,0,1)，(0,2,0)，平面pad，是平面pad的法向量，且0，又bm平面pad.bm平面pad.(2)设n(x,0，z)是平面pad内一点，则(x，1，z1)，(0,0,2)，(2,1,0)，若mn平面pbd，则即在平面pad内存在点n，使mn平面pbd.19.(本小题满分15分)四棱锥pabcd中，pd底面abcd，adbc，acdb，cad60，ad2，pd1.(1)证明：acbp；(2)求二面角capd的平面角的余弦值解：(1)证明：pd底面abcd，ac平面abcd，acpd.又acbd，bdpdd.ac平面pbd，又bp平面pbd，acbp.(2)设acbdo，以o为坐标原点，od，oa所在直线分别为x轴，y轴建立如图空间直角坐标系oxyz，则o(0,0,0)，d(，0,0)，a(0,1,0)，p(，0,1)，(0,1,0)，(，0,1)，(，1,0)，(0,0,1)设平面acp的法向量m(x1，y1，z1)，平面adp的法向量n(x2，y2，z2)，由得取x11，则m(1,0，)同理，由得n(1，0)cosm，n.二面角capd的平面角的余弦值为.20.(本小题满分15分)(2016浙江高考)如图，在三棱台abcdef中，平面bcfe平面abc，acb90，beeffc1，bc2，ac3.(1)求证：bf平面acfd；(2)求二面角badf的平面角的余弦值解：(1)证明：延长ad，be，cf相交于一点k，如图所示因为平面bcfe平面abc，平面bcfe平面abcbc，且acbc，所以ac平面bcfe，又因为bf平面bcfe，因此bfac.又因为efbc，beeffc1，bc2，所以bck为等边三角形，且f为ck的中点，则bfck.又acckc，所以bf平面acfd.(2)法一：过点f作fqak于q，连接bq.因为bf平面acfd，所以bfak，则ak平面bqf，所以bqak.所以bqf是二面角badf的平面角在rtack中，ac3，ck2，得ak，fq.在rtbqf中，fq，bf，得cosbqf.所以二面角badf的平面角的余弦值为.法二：取bc的中点o，连接ko，则kobc.又平面bcfe平面abc，所以ko平面abc.以点o为原