（浙江专版）2018年高中数学 第2部分 复习课（二）圆锥曲线与方程学案 新人教A版选修2-1.doc

复习课(二)圆锥曲线与方程圆锥曲线的定义及标准方程圆锥曲线的定义及标准方程在高考中主要以选择题或填空题的形式进行考查，标准方程在解答题中也会涉及，是高考解析几何的必考内容椭圆、双曲线、抛物线的定义及标准方程椭圆双曲线抛物线定义平面内与两个定点f1，f2的距离之和等于常数(大于|f1f2|)的点的轨迹平面内与两个定点f1，f2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|f1f2|且大于零)的点的轨迹平面内与一个定点f和一条定直线l(l不经过点f)距离相等的点的轨迹标准方程1或1(ab0)1或1(a0，b0)y22px或y22px或x22py或x22py(p0)关系式a2b2c2a2b2c2典例(1)已知中心在原点的椭圆c的右焦点为f(1，0)，离心率等于，则c的方程是()a1b1c1 d1(2)已知抛物线y28x的准线过双曲线1(a0，b0)的一个焦点，且双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为_解析(1)右焦点为f(1,0)说明两层含义：椭圆的焦点在x轴上；c1又离心率为，故a2，b2a2c2413，故椭圆的方程为1，故选d(2)由题意可知抛物线的准线方程为x2，双曲线的半焦距c2又双曲线的离心率为2，a1，b，双曲线的方程为x21答案(1)d(2)x21类题通法求圆锥曲线方程的一般步骤一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，再定量”的步骤(1)定形指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置(2)定式根据“形”设方程的形式，注意曲线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时，可设方程为mx2ny21(m0，n0)(3)定量由题设中的条件找到“式”中待定系数的等量关系，通过解方程得到量的大小1(天津高考)已知双曲线1(a0，b0)的一条渐近线过点(2，)，且双曲线的一个焦点在抛物线y24x的准线上，则双曲线的方程为()a1 b1c1 d1解析：选d由双曲线的渐近线yx过点(2，)，可得2由双曲线的焦点(，0)在抛物线y24x的准线x上，可得 由解得a2，b，所以双曲线的方程为12(全国卷)一个圆经过椭圆1的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆的标准方程为_解析：由题意知a4，b2，上、下顶点的坐标分别为(0,2)，(0，2)，右顶点的坐标为(4,0)由圆心在x轴的正半轴上知圆过点(0,2)，(0，2)，(4,0)三点设圆的标准方程为(xm)2y2r2(0m0)，则解得所以圆的标准方程为2y2答案：2y23方程1表示曲线c，给出以下命题：曲线c不可能为圆；若1t4，则曲线c为椭圆；若曲线c为双曲线，则t4；若曲线c为焦点在x轴上的椭圆，则1t其中真命题的序号是_(写出所有正确命题的序号)解析：显然当t时，曲线为x2y2，方程表示一个圆；而当1t4，且t时，方程表示椭圆；当t4时，方程表示双曲线；而当1tt10，方程表示焦点在x轴上的椭圆，故为真命题答案：圆锥曲线的几何性质圆锥曲线的几何性质是圆锥曲线的核心内容，高考非常重视对圆锥曲线几何性质的考查，试卷中一般以选择题或者填空题的形式考查圆锥曲线的几何性质(主要是椭圆和双曲线的离心率)，在解答题中与圆锥曲线方程的其他知识一起进行综合考查椭圆、双曲线、抛物线的几何性质椭圆双曲线抛物线标准方程1(ab0)1(a0，b0)y22px(p0)关系式a2b2c2a2b2c2图形封闭图形无限延展，有渐近线无限延展，没有渐近线对称性对称中心为原点无对称中心两条对称轴一条对称轴顶点四个两个一个离心率0e1e1准线方程x决定形状的因素e决定扁平程度e决定开口大小2p决定开口大小典例(1)(山东高考)已知双曲线e：1(a0，b0)，若矩形abcd的四个顶点在e上，ab，cd的中点为e的两个焦点，且2|ab|3|bc|，则e的离心率是_(2)已知ab0，椭圆c1的方程为1，双曲线c2的方程为1，c1与c2的离心率之积为，则c2的渐近线方程为_解析(1)如图，由题意知|ab|，|bc|2c又2|ab|3|bc|，232c，即2b23ac，2(c2a2)3ac，两边同除以a2并整理得2e23e20，解得e2(负值舍去)(2)设椭圆c1和双曲线c2的离心率分别为e1和e2，则e1，e2因为e1e2，所以，即4，故双曲线的渐近线方程为yxx，即xy0答案(1)2(2)xy0类题通法求解离心率三种方法(1)定义法：由椭圆(双曲线)的标准方程可知，不论椭圆(双曲线)的焦点在x轴上还是y轴上都有关系式a2b2c2(a2b2c2)以及e，已知其中的任意两个参数，可以求其他的参数，这是基本且常用的方法(2)方程法：建立参数a与c之间的齐次关系式，从而求出其离心率，这是求离心率的十分重要的思路及方法(3)几何法：求与过焦点的三角形有关的离心率问题，根据平面几何性质以及椭圆(双曲线)的定义、几何性质，建立参数之间的关系，通过画出图形，观察线段之间的关系，使问题更形象、直观1如图，f1，f2是椭圆c1：y21与双曲线c2的公共焦点，a，b分别是c1，c2在第二、四象限的公共点其四边形af1bf2为矩形，则c2的离心率是()a bc d解析：选d焦点f1(，0)，f2(，0)，在rtaf1f2中，|af1|af2|4，|af1|2|af2|212，所以可解得|af2|af1|2，故a，所以双曲线的离心率e，选d2设椭圆c：1(ab0)的左，右焦点为f1，f2，过f2作x轴的垂线与c相交于a，b两点，f1b与y轴相交于点d，若adf1b，则椭圆c的离心率等于_解析：不妨设a在x轴上方，由于ab过f2且垂直于x轴，因此可得a，b，由odf2b，o为f1f2的中点可得d，所以，又adf1b，所以2c20，即3b44a2c2，又b2a2c2，所以可得(a2c2)2ac，两边同时除以a2，得e22e0，解得e或，又e(0,1)，故椭圆c的离心率为答案：3已知双曲线1(a0，b0)的焦距为2c，右顶点为a，抛物线x22py(p0)的焦点为f若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c，且|fa|c，则双曲线的渐近线方程为_解析：c2a2b2，由双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c知，双曲线过点，即1由|fa|c，得c2a2，由得p24b2将代入，得22，即1，故双曲线的渐近线方程为yx，即xy0答案：xy0直线与圆锥曲线的位置关系高考试题中解析几何的解答题一般不会单纯考查圆锥曲线，试题中一般都有直线问题参与，这使得解析几何试题具有广泛的命题背景，当直线与圆锥曲线问题综合时就产生了如：直线与圆锥曲线的位置关系(相交、相切、相离)，直线与曲线交汇产生的一些几何量的范围和最值，动直线(或曲线)过定点等一系列热点问题，这些热点问题都是高考所重视的直线与圆锥曲线有关的问题(1)直线与圆锥曲线的位置关系，可以通过讨论直线方程与曲线方程组成的方程组的实数解的个数来确定，通常消去方程组中变量y(或x)得到关于变量x(或y)的一元二次方程，考虑该一元二次方程的判别式，则有：0直线与圆锥曲线相交于两点；0直线与圆锥曲线相切于一点；1)，则右焦点f(，0)，由题设，知3，解得a23，故所求椭圆的方程为y21(2)设点p为弦mn的中点，由得(3k21)x26mkx3(m21)0，由于直线与椭圆有两个交点，所以0，即m2m2，解得0m0，解得m，故所求m的取值范围是类题通法有关直线与圆锥曲线综合问题的求解方法(1)将直线方程与圆锥曲线方程联立，化简后得到关于x(或y)的一元二次方程，则直线与圆锥曲线的位置关系有三种情况：相交：0直线与椭圆相交；0直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有0，如当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故0是直线与双曲线相交的充分不必要条件；0直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有0，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故0也仅是直线与抛物线相交的充分条件，而不是必要条件相切：0直线与椭圆相切；0直线与双曲线相切；0直线与抛物线相切相离：0直线与椭圆相离；0直线与双曲线相离；0直线与抛物线相离(2)直线与圆锥曲线的位置关系，涉及函数、方程、不等式、平面几何等诸多方面的知识，形成了求轨迹、最值、对称、取值范围、线段的长度等多种问题解决此类问题应注意数形结合，以形辅数的方法；还要多结合圆锥曲线的定义，根与系数的关系以及“点差法”等1平面上一机器人在行进中始终保持与点f(1,0)的距离和到直线x1的距离相等若机器人接触不到过点p(1,0)且斜率为k的直线，则k的取值范围是_解析：设机器人所在位置为a(x，y)，依题意得点a在以f(1,0)为焦点，x1为准线的抛物线上，该抛物线的标准方程为y24x过点p(1,0)，斜率为k的直线为yk(x1)由得ky24y4k0当k0时，显然不符合题意；当k0时，依题意得(4)24k4k0，解得k1或kb0)右焦点的直线xy0交m于a，b两点，p为ab的中点，且op的斜率为(1)求m的方程；(2)c，d为m上两点，若四边形acbd的对角线cdab，求四边形acbd面积的最大值解：(1)设a(x1，y1)，b(x2，y2)，p(x0，y0)，则1，1，1，由此可得1因为x1x22x0，y1y22y0，所以a22b2又由题意知，m的右焦点为(，0)，故a2b23因此a26，b23所以m的方程为1(2)由解得或因此|ab|由题意可设直线cd的方程为yxn，设c(x3，y3)，d(x4，y4)由得3x24nx2n260于是x3,4因为直线cd的斜率为1，所以|cd|x4x3| 由已知，四边形acbd的面积s|cd|ab| 当n0时，s取得最大值，最大值为所以四边形acbd面积的最大值为1已知双曲线1(a0，b0)的两条渐近线互相垂直，则该双曲线的离心率是()a2bc d解析：选c由题可知yx与yx互相垂直，可得1，则ab由离心率的计算公式，可得e22，e2设斜率为2的直线l过抛物线y2ax(a0)的焦点f，且和y轴交于点a，若oaf(o为坐标原点)的面积为4，则抛物线的方程为()ay24x by28xcy24x dy28x解析：选b由题可知抛物线的焦点坐标为，于是过焦点且斜率为2的直线的方程为y2，令x0，可得点a的坐标为，所以soaf4，得a8，故抛物线的方程为y28x3已知一动圆p与圆o：x2y21外切，而与圆c：x2y26x80内切，则动圆的圆心p的轨迹是()a双曲线的一支 b椭圆c抛物线 d圆解析：选a由题意，知圆c的标准方程为(x3)2y21，则圆c与圆o相离，设动圆p的半径为r圆p与圆o外切而与圆c内切，r1，且|po|r1，|pc|r1又|oc|3，|po|pc|2|oc|，即点p在以o，c为焦点的双曲线的右支上4我们把由半椭圆1(x0)与半椭圆1(xbc0)，如图所示，其中点f0，f1，f2是相应椭圆的焦点若f0f1f2是边长为1的等边三角形，则a，b的值分别为()a，1 b，1c5,3 d5,4解析：选a|of2|，|of0|c|of2|，b1，a2b2c21，得a5已知抛物线的方程为y24x，直线l的方程为xy40，在抛物线上有一动点p到y轴的距离为d1，到直线l的距离为d2，则d1d2的最小值为()a2 b1c2 d1解析：选d因为抛物线的方程为y24x，所以焦点坐标为f(1,0)，准线方程为x1因为点p到y轴的距离为d1，所以到准线的距离为d11又d11|pf|，所以d1d2d11d21|pf|d21焦点f到直线l的距离记为d，则d，而|pf|d2d，所以d1d2|pf|d211，即d1d2的最小值为16双曲线与椭圆4x2y264有公共焦点，它们的离心率互为倒数，则双曲线方程为()ay23x236 bx23y236c3y2x236 d3x2y236解析：选a由4x2y264得1，c2641648，c4，e双曲线中，c4，eac6，b2483612双曲线方程为1，即y23x2367已知椭圆1(ab0)，其上一点p(3，y)到两焦点的距离分别是65和35，则该椭圆的标准方程为_解析：由椭圆的定义，知2a653510，a5又解得c，从而b2a2c2，所以椭圆的标准方程为1答案：18已知直线l与抛物线y24x交于a，b两点，o为坐标原点，若4，则直线l恒过的定点m的坐标是_解析：设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则x1x2y1y24当直线l的斜率不存在时，设其方程为xx0(x00)，则x4x04，解得x02；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为ykxb，由得ky24y4b0，得y1y2，则x1x2，得4，2，有b2k，直线ykx2kk(x2)恒过定点(2,0)又直线x2也恒过定点(2,0)，得点m的坐标为(2,0)答案：(2,0)9已知a(0，4)，b(3,2)，抛物线y2x上的点到直线ab的最短距离为_解析：直线ab为2xy40，设抛物线y2x上的点p(t，t2)，d答案：10如图，已知椭圆1(ab0)的长、短轴端点分别为a，b，f1，f2分别是其左、右焦点从椭圆上一点m向x轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点f1，且与是共线向量(1)求椭圆的离心率e；(2)设q是椭圆上异于左、右顶点的任意一点，求f1qf2的取值范围解：(1)f1(c,0)，则xmc，ym，kom由题意，知kab，与是共线向量，bc，得e(2)设|f1q|r1，|f2q|r2，f1qf2，r1r22a又|f1f2|2c，由余弦定理，得cos 110，当且仅当r1r2时等号成立，cos 0，11如图，焦距为2的椭圆e的两个顶点分别为a，b，且与n(，1)共线(1)求椭圆e的标准方程；(2)若直线ykxm与椭圆e有两个不同的交点p和q，且原点o总在以pq为直径的圆的内部，求实数m的取值范围解：(1)因为2c2，所以c1，又(a，b)，且n，所以ba，所以2b2b21，