（新课标）2017届高考数学总复习 专题二 解答题对点练教案 理 新人教A版.doc

专题二解答题对点练1在abc中，内角a，b，c的对边分别为a，b，c，且bsin aacos b.(1)求角b的大小；(2)若b3，sin c2sin a，求a，c的值解：(1)bsin aacos b，sin bsin asin acos b，tan b，又b为abc的内角，b.(2)sin c2sina，c2a ，由余弦定理b2a2c22accos b，得9a24a22a2acos ，解得a，c2a2.2在abc中，内角a，b，c的对边分别为a，b，c.已知.(1)求的值；(2)若cos b ，abc的周长为5，求b.解：(1)由正弦定理，得，即(cos a2cos c)sin b(2sin csin a)cos b，化简可得sin(ab)2sin(bc)又abc，所以sin c2sin a，因此2.(2)由2得c2a.由余弦定理及cos b得b2a2c22accos ba24a24a24a2，所以b2a.又abc5，所以a1，因此b2.3已知m(sin(2x)，cos x)，nsin，cos(x)，f(x)mn.(1)求yf(x)的单调递增区间和对称中心；(2)在abc中，角a，b，c所对应的边分别为a，b，c，若有f(b)，b7，sin asin c，求abc的面积解：(1)f(x)mnsin(2x)sincos xcos(x)sin xcos xcos2 xsin 2xcos 2xsin.因为函数yf(x)单调递增，所以2k2x2k，kz，得yf(x)的单调递增区间是k，k，kz，对称中心是，kz.(2)由f(b)得f(b)sin，所以sin1，所以2b，所以b.由正弦定理得sin asin csin b，即，所以ac13.由余弦定理b2a2c22accos b得b2(ac)22ac2accos b，即491693ac，所以ac40，所以sabcacsin b4010.4在锐角abc中，.(1)求角a；(2)若a，当sin bcos取得最大值时，求b和b.解：(1)由余弦定理得a2c2b22accos b，依题设得，因为abc为锐角三角形，所以cos b0，所以sin 2a1，又0a，所以2a，即 a.(2)由(1)可知bc，所以sin bcossin bcossin bcos cos bsinsin bsin bcos bsin.由0b，0b得b，所以b，所以当b，即b时，sin bcos取得最大值.由正弦定理得b，所以b，b.5在abc中，内角a，b，c所对的边分别为a，b，c，a，bc3.(1)求cos a2cos的最大值；(2)在(1)的条件下，求abc的面积解：(1)由abc得，cossin，cos a2cos12sin22sin22，当sin，即a时，cos a2cos取得最大值.(2)由(1)得cos a12sin212，cos a，bc2，又sin a，abc的面积sabcbcsin a. 6设abc的内角a，b，c所对的边分别为a，b，c，且acos ccb.(1)求角a的大小；(2)若a3，求abc的周长l的取值范围解：(1)由acos ccb得sin acos csin csin b，又sin bsin(ac)sin acos ccos asin c，sin ccos asin csin c0，cos a.又0a，a.(2)由正弦定理得b2sin b，c2sin c，labc32(sin bsin c)32sin bsin(ab)3232sin.a，b，b，sin.故abc的周长l的取值范围为.1已知等差数列an中，a11，其前n项和sn满足sn24(nn*)(1)求数列an的通项公式；(2)令bn，求数列bn的前n项和tn.解：(1)sn24，sn4sn2sn28，sn4sn2sn2sn8，an4an3an2an18，数列an为等差数列，设公差为d，4d8，d2.又a11，an2n1.(2)bn，tn1.2已知正整数数列an是首项为2的等比数列，且a2a324.(1)求数列an的通项公式；(2)设bn，求数列bn的前n项和tn.解：(1)设正整数数列an的公比为q，则2q2q224，q3，an23n1(nn*)(2)bn，tn，tn.由，得tn.tn.3已知各项不为零的数列an的前n项和为sn，且满足sna1(an1)(1)求数列an的通项公式；(2)设数列bn满足anbnlog2an，求数列bn的前n项和tn.解：(1)当n1时，a1s1a1(a11)aa1，a10，a12；当n2时，sna1(an1)，sn1a1(an11)，得ana1(anan1)2an2an1，an2an1，数列an是首项为2，公比为2的等比数列，an2n.(2)由anbnlog2an，an2n得bn，tn，tn，两式相减得tn1，tn2.4已知数列an各项都是正数，且n23n(nn*)(1)求数列an的通项公式；(2)令bn(nn*)，求数列bn的前n项和sn.解：(1)当n1时，4，所以a116，当n2时，n23n，(n1)23(n1)，两式相减得2n2，所以an4(n1)2，因为a116满足上式，所以an4(n1)2(nn*)(2)由(1)知bn42n(n1)，所以sn42122232342n(n1)，所以2sn42222332442n1(n1)，两式作差得：sn421222232n2n1(n1)4n2n3，所以snn2n3(nn*)5已知f(x)2sin ，集合mx|f(x)|2，x0，把m中的元素从小到大依次排成一列，得到数列an，nn*.(1)求数列an的通项公式；(2)记bn，设数列bn的前n项和为tn，求证：tn.解：(1)|f(x)|2，k，kz，x2k1，kz.又x0，an2n1(nn*)(2)证明：bn，tnb1b2bn1，tn.6设数列an的前n项和为sn，a11，an1sn1(nn*，1)，且a1、2a2、a33为等差数列bn的前三项(1)求数列an，bn的通项公式；(2)求数列anbn的前n项和解：(1)法一：an1sn1(nn*)，ansn11(n2)，an1anan，即an1(1)an(n2)，10，又a11，a2s111，数列an是以1为首项，公比为1的等比数列，a3(1)2，4(1)1(1)23，整理得2210，解得1，an2n1，bn13(n1)3n2.法二：a11，an1sn1(nn*)，a2s111，a3s21(11)1221，4(1)12213，整理得2210，解得1，an1sn1(nn*)，ansn11(n2)，an1anan(n2)，即an12an(n2)，又a11，a22，数列an是以1为首项，公比为2的等比数列，an2n1，bn13(n1)3n2.(2)由(1)知，anbn(3n2)2n1，设tn为数列anbn的前n项和，tn11421722(3n2)2n1，2tn121422723(3n5)2n1(3n2)2n.得，tn1132132232n1(3n2)2n13(3n2)2n，整理得，tn(3n5)2n5. 1如图，在四棱锥pabcd中，abcd，paad，cdad，paadcd2ab，e，f分别为pc，cd的中点，deec.(1)求证：平面abe平面bef；(2)求锐二面角ebdc的余弦值解：(1)证明：abcd，cdad，adcd2ab，f为cd的中点，四边形abfd为矩形，abbf.deec，cdef.又abcd，abef.又bfeff，ab平面bef，又ab平面abe，平面abe平面bef.(2)e，f分别为pc，cd的中点，pdef，又dcef，abdc，abpd.又abad，adpdd，ab平面pad，abpa.以a为坐标原点，以ab，ad，ap所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的直角坐标系设ab1，则b(1,0,0)，d(0,2,0)，p(0,0,2)，c(2,2,0)，e(1,1,1)，易知平面bcd的一个法向量为n1(0,0,1)，设平面ebd的法向量为n2(x，y，z)，令x2，则n2(2,1，1)设锐二面角ebdc的大小为，则cos .2一个楔子形状几何体的直观图如图所示，其底面abcd为一个矩形，其中ab6，ad4，顶部线段ef平面abcd，棱eaedfbfc6，二面角fbca的余弦值为.设m，n分别是ad，bc的中点(1)证明：平面efnm平面abcd；(2)求直线bf与平面efcd所成角的正弦值解：(1)证明：ef平面abcd，且ef平面efba，又平面abcd平面efbaab，efab.又m，n是矩形abcd两边ad，bc的中点，mnab，efmn，e，f，m，n四点共面fbfc，bcfn.又bcab，bcmn.又fn平面efnm，mn平面efnm，fnmnn，bc平面efnm.又bc平面abcd，平面efnm平面abcd.(2)在平面efnm内过f作fhmn于点h，由(1)知平面efnm平面abcd，fh平面abcd.又fnbc，hnbc，则二面角fbca的平面角为fnh.在rtfnb和rtfhn中，fn，hnfncos fnh2，fh8.过h作边ab的垂线交ab，cd于点s，q，以h为坐标原点，建立如图所示的坐标系，则f(0,0,8)，b(2,2,0)，c(2，2,0)，d(2，4,0)，平面efcd的法向量为n(x，y，z)，则由得令z1得x4，y0，n(4,0,1)，设直线bf与平面efcd所成的角为，.3在四棱锥pabcd中，abcd，abad，ab2，ad，cd1，pa平面abcd，pa2.(1)设平面pab平面pcdm，求证：cdm；(2)设点q为线段pb上一点，且直线qc与平面pac所成角的正切值为 ，求 的值解：(1)证明：abcd，cd平面pab，ab平面pab，cd平面pab.cd平面pcd，平面pab平面pcdm，cdm.(2)设，abad，pd平面abcd，建立如图所示的空间直角坐标系设q(x，y，z)，直线qc与平面pac所成角为.即q(2，0，22)，平面pac的一个法向量为n.tan ，解得0,1所以.4如图1，在直角梯形abcd中，ab90，adab2，bc3，efab，且ae1，m，n分别是fc，cd的中点将梯形abcd沿ef折起，使得bc，连接ad，bc，ac得到(图2)所示几何体(1)证明：af平面bmn；(2)求二面角bacd的余弦值解：(1)证明：连接df，则mndf.因为df平面adf，mn平面adf，所以mn平面adf.连接dm，则dmef，dmef.由题意知efab，efab，所以dmab，dmab，所以四边形abmd是平行四边形，所以bmad，所以bm平面adf.又因为bm平面bmn，mn平面bmn，bmmnm，所以平面bmn平面adf.因为af平面adf，所以af平面bmn.(2)由题意知effb，effc，所以ef平面fbc.因为efab，所以ab平面fbc.又bc2bf2fc2，所以bcbf.以b为原点，建立如图所示的空间直角坐标系bxyz，则b(0,0,0)，a(0,0,2)，c(，0,0)，d，(，0，2)，.设平面adc的法向量为n1(x，y，z)，令x1，所以n1.又平面abc的一个法向量为n2(0,1,0)，所以cos n1，n2，由图可知二面角bacd为钝角，所以二面角bacd的余弦值为.5如图，在四棱锥pabcd中，adbc，abad，abpa，bc2ab2ad4be，平面pab平面abcd.(1)求证：平面ped平面pac；(2)若直线pe与平面pac所成的角的正弦值为，求二面角apcd的余弦值解：(1)证明：平面pab平面abcd，平面pab平面abcdab，abpa，pa平面abcd.又abad，故可建立空间直角坐标系axyz如图所示，不妨设bc4，ap(0)，则有d(0,2,0)，e(2,1,0)，c(2,4,0)，p(0,0，)，deac，deap，acapa，de平面pac.又de平面ped，平面ped平面pac.(2)由(1)知平面pac的一个法向量是(2，1,0)，(2,1，)，设直线pe与平面pac所成的角为，sin ，解得2.0，2，即p(0,0,2)设平面pcd的法向量为n(x，y，z)，(2,2,0)，(0，2,2)，不妨令x1，则n(1，1，1)cos n.显然二面角apcd的平面角是锐角，二面角apcd的余弦值为.6在三棱柱abca1b1c1中，侧面abb1a1为矩形，ab1，aa1，d为aa1的中点，bd与ab1交于点o，co侧面abb1a1.(1)求直线bc与直线ab1所成的角；(2)若ocoa，求直线c1d与平面abc所成角的正弦值解：(1)由题意tanabd ，tanab1b.注意到0abd，02.7063.8416.635a、b关联性无关联90%95%99%解：(1)x的取值为0,1,2,3，则p(x0)，p(x1)，p(x2)，p(x3)，x的分布列为x0123pe(x)1.2.(2)22列联表如下所示态度年龄赞成不赞成总计中青年191130中老年13720总计321850k22.706，说明民众对“车辆限行”的态度与年龄没有关联5某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们分别到气象局与某医院抄录了1至6月份每月10日的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如下资料：日期1月10日2月10日3月10日4月10日5月10日6月10日昼夜温差x()1011131286就诊人数y(人)222529261612该兴趣小组确定的研究方案是：先从这6组数据中选取2组，用剩下的4组数据求回归直线方程，再用被选取的2组数据进行检验(1)求选取的2组数据恰好是相邻两个月的概率；(2)若选取的是1月与6月的2组数据，请根据2月至5月份的数据，求出y关于x的回归直线方程x；(3)若由回归直线方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人，则认为得到的回归直线方程是理想的，试问该小组所得到的回归直线方程是否理想？解：(1)设抽到相邻两个月的数据为事件m，因为从6组数据中选取2组数据共有c15种情况，每种情况都是等可能出现的，抽到相邻两个月的数据的情况有5种，所以p(m).(2)由表中数据求得11，24，由参考公式计算可得，再由求得，所以y关于x的回归直线方程为x.(3)当x10时，2；同样，当x6时，2.所以，该小组所得到的回归直线方程是理想的6某省某年全省高中男生身高统计调查数据显示：全省100 000名男生的身高服从正态分布n(170.5,16)现从该省某校高三年级男生中随机抽取50名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于157.5 cm和187.5 cm之间，将测量结果按如下方式分成六组：第一组157.5，162.5)，第二组162.5,167.5)，第六组182.5,187.5)，按上述分组方法得到如图所示的频率分布直方图(1)试评估该校高三年级男生在全省高中男生中的平均身高状况；(2)求这50名男生身高在177.5 cm以上(含177.5 cm)的人数；(3)在这50名男生身高在177.5 cm以上(含177.5 cm)的人中任意抽取2人，该2人中身高排名(从高到低)在全省前130名的人数记为，求的均值附：若n(，2)，则p()0.682 6，p(22)0.954 4，p(33)0.997 4.解：(1)由直方图，经过计算，该校高三年级男生平均身高为：1600.11650.21700.31750.21800.11850.1171.5，高于全省高中男生身高的平均值170.5.(2)由频率分布直方图知，后两组频率之和为0.2，人数为0.25010，即这50名男生身高在177.5 cm以上(含177.5 cm)的人数为10.(3)p(170.5340，即n2m0.设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则y1y24n，y1y24m，kpa，kpb，kpg，由题意得kpakpb2kpg，即kpakpb2kpg0，所以0，即2(m2)y1y2(y1y2)16(m2)(y1y2)2(y1y2)22y1y2(2m)(y1y2)232m0，把y1y24n，y1y24m代入上式，整理得(m2)n(m2)(2m)，又因为nr，所以解得m2，所以存在符合题意的定点g，且点g的坐标为(2,0)2椭圆1(ab0)的经过中心的弦称为椭圆的一条直径，平行于该直径的所有弦的中点的轨迹为一条直线段，称为该直径的共轭直径已知椭圆的方程为1.(1)若一条直径的斜率为，求该直径的共轭直径所在的直线方程；(2)若椭圆的两条共轭直径为ab和cd，它们的斜率分别为k1，k2.证明：四边形acbd的面积为定值解：(1)设与斜率为的直径平行的弦的端点坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，该弦中点为(x，y)，则有1，1，相减得0，由于x，y，且，所以x2y0，故该直径的共轭直径所在的直线方程为x2y0.(2)椭圆的两条共轭直径为ab和cd，它们的斜率分别为k1，k2.四边形acbd显然为平行四边形，设与ab平行的弦的端点坐标分别为(x3，y3)、(x4，y4)，则k1，k2，而1，1，0，故k1k2.由得a，b的坐标分别为，故|ab| ，同理c，d的坐标分别为，所以，点c到直线ab的距离d，设四边形acbd的面积为s，则sd|ab|3216，为定值3已知椭圆c：1(ab0)的左、右焦点分别为f1(1,0)，f2(1,0)，椭圆c的上顶点与右顶点的距离为，过f2的直线与椭圆c交于a，b两点(1)求椭圆c的标准方程；(2)点m在直线x2上，直线ma，mb的斜率分别为k1，k2，若k1k22，求证：点m为定点解：(1)由题意知解得所以椭圆c的标准方程为y21.(2)若直线ab的斜率不存在，直线ab的方程为x1.不妨设a，b，m(2，m)，则k1m，k2m，k1k22，2m2，m1，点m为(2,1)若直线ab的斜率存在，设为k，则直线ab的方程为yk(x1)，a(x1，y1)，b(x2，y2)，m(2，m)，由得(12k2)x24k2x2(k21)0，x1x2，x1x2，k1，k2，k1k22，m1，定点m(2,1) 1已知抛物线c1：y24x和c2：x22py(p0)的焦点分别为f1，f2，c1，c2交于o，a两点(o为坐标原点)，且f1f2oa.(1)求抛物线c2的方程；(2)过点o的直线交c1的下半部分于点m，交c2的左半部分于点n，点p的坐标为(1，1)，求pmn面积的最小值解：(1)设a(x1，y1)(x10)，有由题意知，f1(1,0)，f2，f1f2.f1f2oa，f1f2oa0，即x1y10，解得py12x1，将其代入式解得x14，y14，从而求得p2，抛物线c2的方程为x24y.(2)设过点o的直线mn的方程为ykx(kb0)的左、右焦点分别为f1，f2，上顶点为b.q为抛物线y212x的焦点，且(1)求椭圆c的标准方程；(2)过定点p(0,2)的直线l与椭圆c交于m，n两点(m在p，n之间)，设直线l的斜率为k(k0)，在x轴上是否存在点a(m,0)，使得以am，an为邻边的平行四边形为菱形？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，请说明理由解：(1)由已知得q(3,0)，f1bqb，|qf1|4c3c，所以c1.连接bf2，在rtf1bq中，f2为线段f1q的中点，故|bf2|2c2，所以a2，故椭圆c的标准方程为1.(2)由题知，直线l：ykx2(k0)，设m(x1，y1)，n(x2，y2)，取mn的中点e(x0，y0)假设存在点a(m,0)，使得以am，an为邻边的平行四边形为菱形，则aemn.由得(4k23)x216kx40，0，则k2.又k0，所以k.因为x1x2，所以x0，y0kx02.因为aemn，所以kae，即，整理得m.因为k，4k4，所以m.故存在满足题意的点a，实数m的取值范围为.3在平面直角坐标系xoy中，椭圆c：1(ab0)的离心率为，过椭圆c的右焦点h作两条互相垂直的弦ef与mn.当直线ef的斜率为0时，|ef|mn|7.(1)求椭圆c的标准方程；(2)求|ef|mn|的取值范围解：(1)由题意知e，即a2c，b2a2c23c2，当kef0时，有|ef|mn|2a4c3c7，所以c1，a2，b，所以椭圆的标准方程为1.(2)当两条弦中一条斜率为0时，另一条弦的斜率不存在，此时由题意知|ef|mn|7；当两弦斜率均存在且不为0时，设e(x1，y1)，f(x2，y2)，且设直线ef的方程为yk(x1)，则直线mn的方程为y(x1)，将直线ef的方程代入椭圆方程中，整理得(34k2)x28k2x4k2120，所以x1，x2，所以|ef|x1x2|，同理|mn|，所以|ef|mn|777，又0，所以|ef|mn|0时，令f(x)0，得x10，x21.当0a1时，1x20，f(x)与f(x)的变化情况如下：所以f(x)的单调递增区间是，单调递减区间是和(0，)当a0时，f(x)的单调递增区间是(0，)，单调递减区间是(1,0)综上，当a0时，f(x)的单调递增区间是(0，)，单调递减区间是(1,0)；当0a1时，f(x)的单调递增区间是，单调递减区间是和(0，)(3)由(2)知，当a0时，f(x)在(0，)上单调递增，由f(0)0，知不合题意当0af(0)0，知不合题意当a1时，f(x)在(0，)上单调递减，可得f(x)在0，)上的最大值是f(0)0，符合题意所以f(x)在0，)上的最大值是0时，a的取值范围是1，)2已知函数f(x)(ar)(1)求函数f(x)的极值；(2)若函数f(x)的图象与函数g(x)1的图象在区间(0，e2上有公共点，求实数a的取值范围解：(1)f(x)的定义域为(0，)，f(x)，令f(x)0，得xe1a，当x(0，e1a)时，f(x)0，f(x)是增函数，当x(e1a，)，f(x)0，f(x)是减函数，f(x)在xe1a处取得极大值，f(x)极大值f(e1a)ea1，无极小值(2)当e1a1时，由(1)知f(x)在(0，e1a)上是增函数，在(e1a，e2上是减函数，f(x)maxf(e1a)ea1，又当xea时，f(x)0，当x(0，ea时，f(x)0.f(x)的图象与g(x)1的图象在(0，e2上有公共点，ea11，解得a1，又a1，a1.当e1ae2，即a1时，f(x)在(0，e2上是增函数，f(x)在(0，e2上的最大值为f(e2)，原问题等价于1，解得ae22，又a1，无解综上，实数a的取值范围是1，)3已知函数f(x)(a0)的导函数f(x)的两个零点分别为3和0.(1)求f(x)的单调区间；(2)若f(x)的极小值为e3，求f(x)在区间5，)上的最大值解：(1)f(x).令g(x)ax2(2ab)xbc，因为ex0，所以f(x)的零点就是g(x)ax2(2ab)xbc的零点，且f(x)与g(x)的正负符号相同又因为a0，所以当3x0，即f(x)0，当x0时，g(x)0，即f(x)5，所以函数f(x)在区间5，)上的最大值是5e5.1已知函数f(x)(ar，a0)(1)当a1时，求函数f(x)的极值；(2)若函数f(x)f(x)1没有零点，求实数a的取值范围解：(1)当a1时，f(x)，f(x).由f(x)0，得x2.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：所以，函数f(x)的极小值为f(2)，函数f(x)无极大值(2)f(x)f(x).当a0，解得ae2，所以此时e2a0时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：因为f(2)f(1)0，且f0，所以此时函数f(x)总存在零点综上所述，所求实数a的取值范围是(e2,0)2已知函数f(x)exf(0)xx2.(e是自然对数的底数)(1)求函数f(x)的解析式和单调区间；(2)若函数g(x)x2a与函数f(x)的图象在区间1,2上恰有两个不同的交点，求实数a的取值范围解：(1)由已知得f(x)exf(0)x，f(1)f(1)f(0)1，即f(0)1.又f(0)，f(1)e.从而f(x)exxx2.显然f(x)ex1x在r上单调递增且f(0)0，故当x(，0)时，f(x)0.f(x)的单调递减区间是(，0)，单调递增区间是(0，)(2)由f(x)g(x)得aexx.令h(x)exx，则h(x)ex1，由h(x)0得x0.当x(1,0)时，h(x)0.h(x)在(1,0)上单调递减，在(0,2)上单调递增又h(0)1，h(1)1，h(2)e22且h(1)0，则f(x)1，令f(x)0，得x1.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：f(1)0，所以x0且x1，f(x)0，f(x)1，则f(x)无零点，若f(x)有零点，则a1.若a1，f(x)ln xx1，由(2)知f(x)有且仅有一个零点x1.若a0，f(x)ln xax1单调递增，直线yax1与曲线yln x有一个交点若0a0，当x充分大时，f(x)0，即f(x)在单调递减区间上有且仅有一个零点；又因为f1时，f(x)无零点；当a1或a0时，f(x)有且仅有一个零点；当0a0时，求函数f(x)的单调区间；(2)若存在x0，使f(x)x11.若a，f(x)0，所以f(x)在(1，)上单调递减若0a，当