（课标通用）高考数学一轮复习 第十一章 计数原理、概率、随机变量及其分布 11.4 随机事件的概率学案 理.doc

11.4随机事件的概率考纲展示1.了解随机事件发生的不确定性和概率的稳定性，了解概率的意义以及频率与概率的区别2了解两个互斥事件的概率加法公式考点1随机事件的关系1.事件的分类答案：一定会一定不会可能发生也可能不2频率和概率(1)在相同的条件s下重复n次试验，观察某一事件a是否出现，称n次试验中事件a出现的_na为事件a出现的频数，称事件a出现的比例fn(a)为事件a出现的频率(2)对于给定的随机事件a，如果随着试验次数的增加，事件a发生的_稳定在某个常数上，把这个常数记作p(a)，称为事件a的概率，简称为a的概率答案：(1)次数(2)频率fn(a)3事件的关系与运算定义符号表示包含关系如果事件a发生，则事件b_，这时称事件b包含事件a(或称事件a包含于事件b)_(或ab)相等关系若ba且ab，那么称事件a与事件b相等ab并事件(和事件)若某事件发生当且仅当_，称此事件为事件a与事件b的并事件(或和事件)ab(或ab)交事件(积事件)若某事件发生当且仅当_，则称此事件为事件a与事件b的交事件(或积事件)_(或ab)续表定义符号表示互斥事件若ab为_事件，那么称事件a与事件b互斥ab对立事件若ab为_事件，ab为_事件，那么称事件a与事件b互为对立事件ab且abu答案：一定发生ba事件a发生或事件b发生事件a发生且事件b发生ab不可能不可能必然教材习题改编从6名男生、2名女生中任选3人，则下列事件：3人都是男生；至少有1名男生；3人都是女生；至少有1名女生其中是必然事件的序号有_答案：解析：因为只有2名女生，所以任选3人，至少有1人是男生.概率的基本概念：事件的概念；频率与概率的关系(1)抛掷骰子一次，出现的点数可能是1,2,3,4,5,6，设事件a表示出现的点数是偶数或不小于5，则a_.答案：2,4,5,6解析：出现偶数有2,4,6，不小于5有5,6，所以事件a2,4,5,6(2)某射手在同一条件下进行射击，结果如下：射击次数102050100200500击中靶心次数8194492178455这个射手射击一次，击中靶心的概率约是_答案：0.90解析：击中靶心的频率依次为0.8,0.95,0.88，0.92，0.89,0.91，易知击中靶心的频率在0.90附近摆动，故p(a)0.90.典题1 (1)2017湖北十市联考从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是()a“至少有一个黑球”与“都是黑球”b“至少有一个黑球”与“都是红球”c“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”d“恰有一个黑球”与“恰有两个黑球”答案d解析a中的两个事件是包含关系，不是互斥事件；b中的两个事件是对立事件；c中的两个事件都包含“一个黑球、一个红球”的事件，不是互斥关系；d中的两个事件是互斥而不对立的关系(2)一个均匀的正方体玩具的各个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6.将这个玩具向上抛掷1次，设事件a表示“向上的一面出现奇数点”，事件b表示“向上的一面出现的点数不超过3”，事件c表示“向上的一面出现的点数不小于4”，则()aa与b是互斥而非对立事件ba与b是对立事件cb与c是互斥而非对立事件db与c是对立事件答案d解析根据互斥事件与对立事件的定义作答，ab出现点数1或3，事件a，b不互斥更不对立；bc，bc(为必然事件)，故事件b，c是对立事件点石成金判别互斥事件与对立事件的两种方法(1)定义法判别互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两个事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件(2)集合法由各个事件所含的结果组成的集合，彼此的交集为空集，则事件互斥事件a的对立事件所含的结果组成的集合，是全集中由事件a所含的结果组成的集合的补集考点2随机事件的概率 概率的几个基本性质(1)概率的取值范围：_.(2)必然事件的概率p(e)_.(3)不可能事件的概率p(f)_.(4)概率的加法公式如果事件a与事件b互斥，则p(ab)_.若事件a与事件b互为对立事件，则ab为必然事件，p(ab)_，p(a)_.答案：(1)0,1(2)1(3)0(4)p(a)p(b)11p(b)(1)2017贵州贵阳一中适应性考试某校新生分班，现有a，b，c三个不同的班，甲和乙同学将被分到这三个班，每个同学分到各班的可能性相同，则这两名同学被分到同一个班的概率为()a. b. c. d.答案：a解析：甲，乙两名同学分班有以下情况：(a，a)，(a，b)，(a，c)，(b，a)，(b，b)，(b，c)，(c，a)，(c，b)，(c，c)，共9种，其中符合条件的有3种，所以这两名同学被分到同一个班的概率为，故选a.(2)教材习题改编记一个两位数的个位数字与十位数字的和为a.若a是不超过5的奇数，从这些两位数中任取一个，其个位数为1的概率为_答案：解析：根据题意，个位数字与十位数字之和为奇数且不超过5的两位数有：10,12,14,21,23,30,32,41,50，共9个，其中个位是1的有21,41，共2个，因此所求的概率为.典题2某超市随机选取1 000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“”表示购买，“”表示未购买.商品顾客人数甲乙丙丁1002172003008598(1)估计顾客同时购买乙和丙的概率；(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；(3)如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？解(1)从统计表可以看出，在这1 000位顾客中有200位顾客同时购买了乙和丙，所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为0.2.(2)从统计表可以看出，在这1 000位顾客中有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品，所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为0.3.(3)与(1)同理可得，顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为0.2，顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为0.6，顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为0.1.所以如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大题点发散1在本例条件下，估计顾客购买乙或丙的概率解：解法一：顾客购买乙而不购买丙的概率为0.315，顾客购买丙而不购买乙的概率为0.4，顾客既购买乙又购买丙的概率为0.2.故顾客购买乙或丙的概率为0.3150.40.20.915.解法二：顾客既不购买乙也不购买丙的概率为0.085.故顾客购买乙或丙的概率为10.0850.915.题点发散2在本例条件下，估计顾客至少购买两件商品的概率是多少？解：顾客只购买一件商品的概率为0.183.故顾客至少购买两件商品的概率是10.1830.817.点石成金1.概率与频率的关系频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率来作为随机事件概率的估计值2随机事件概率的求法利用概率的统计定义求事件的概率，即通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数，这个常数就是概率.随机抽取一个年份，对西安市该年4月份的天气情况进行统计，结果如下：日期12345678910天气晴雨阴阴阴雨阴晴晴晴日期11121314151617181920天气阴晴晴晴晴晴阴雨阴阴日期21222324252627282930天气晴阴晴晴晴阴晴晴晴雨(1)在4月份任取一天，估计西安市在该天不下雨的概率；(2)某学校拟从4月份的一个晴天开始举行连续2天的运动会，估计运动会期间不下雨的概率解：(1)在容量为30的样本中，不下雨的天数是26，以频率估计概率，4月份任选一天，西安市不下雨的概率为.(2)称相邻的两个日期为“互邻日期对”(如，1日与2日，2日与3日等)这样，在4月份中，前一天为晴天的互邻日期对有16个，其中后一天不下雨的有14个，所以晴天的次日不下雨的频率为.以频率估计概率，运动会期间不下雨的概率为.考点3互斥事件与对立事件的概率 (1)教材习题改编若a，b为互斥事件，p(a)0.4，p(ab)0.7，则p(b)_.答案：0.3解析：a，b为互斥事件，p(ab)p(a)p(b)0.4p(b)0.7，p(b)0.70.40.3.(2)教材习题改编经统计，在夏日超市付款处排队等候付款的人数及其概率如下：排队人数012345人及以上概率0.10.160.30.30.10.04则至少有2人排队的概率为_答案：0.74解析：依题意，“至少有2人排队”记为事件a，则其对立事件为至多有1人排队，所以p(a)1(0.10.16)0.74.互斥事件：不同时发生；加法公式某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学去参加演讲比赛，设a恰有1名男生，b恰有2名男生，c至少有1名男生，d至少有1名女生，其中彼此互斥的事件是_，互为对立事件的是_答案：a与b，b与db与d解析：设i为从3名男生和2名女生中，任选2名同学去参加演讲比赛所发生的所有情况因为ab，bd，所以a与b，b与d为互斥事件因为bd，bdi，所以b与d互为对立事件典题32017河南洛阳模拟经统计，在某储蓄所一个营业窗口等候的人数及相应的概率如下：排队人数012345人及5人以上概率0.10.160.30.30.10.04求：(1)至多2人排队等候的概率是多少？(2)至少3人排队等候的概率是多少？解记“无人排队等候”为事件a，“1人排队等候”为事件b，“2人排队等候”为事件c，“3人排队等候”为事件d，“4人排队等候”为事件e，“5人及5人以上排队等候”为事件f，则事件a，b，c，d，e，f互斥(1)记“至多2人排队等候”为事件g，则gabc，所以p(g)p(abc)p(a)p(b)p(c)0.10.160.30.56.(2)解法一：记“至少3人排队等候”为事件h，则hdef，所以p(h)p(def)p(d)p(e)p(f)0.30.10.040.44.解法二：记“至少3人排队等候”为事件h，则其对立事件为事件g，所以p(h)1p(g)0.44.点石成金求复杂互斥事件概率的两种方法(1)直接法：将所求事件分解为一些彼此互斥的事件的和，运用互斥事件概率的加法公式计算(2)间接法：先求此事件的对立事件，再用公式p(a)1p()求得，即运用逆向思维(正难则反)，特别是“至多”“至少”型题目，用间接求法就会较简便提醒应用互斥事件概率的加法公式，一定要注意首先确定各个事件是否彼此互斥，然后求出各事件发生的概率，再求和(或差).某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1 000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为a，b，c，求：(1)p(a)，p(b)，p(c)；(2)1张奖券的中奖概率；(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率解：(1)p(a)，p(b)，p(c).故事件a，b，c的概率分别为，.(2)1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖设“1张奖券中奖”这个事件为m，则mabc.a，b，c两两互斥，p(m)p(abc)p(a)p(b)p(c).故1张奖券的中奖概率为.(3)设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件n，则事件n与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件，p(n)1p(ab)1.故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为.方法技巧1.从集合角度理解互斥事件和对立事件从集合的角度看，几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，事件a的对立事件所含的结果组成的集合，是全集中由事件a所含的结果组成的集合的补集2当一个事件包含多个结果且各个结果彼此互斥时，要用到概率加法公式的推广，即p(a1a2an)p(a1)p(a2)p(an) 真题演练集训 12014新课标全国卷4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为()a. b. c. d.答案：d解析：4名同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动的情况有2416(种)，其中仅在周六(周日)参加的各有1种，所求概率为1.22015江苏卷袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球、1只红球、2只黄球从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为_答案：解析：由古典概型概率公式，得所求事件的概率为p.32016北京卷a，b，c三个班共有100名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如下表(单位：小时)：a班66.577.58b班6 7 8 9101112c班34.567.5910.51213.5(1)试估计c班的学生人数；(2)从a班和c班抽出的学生中，各随机选取一人，a班选出的人记为甲，c班选出的人记为乙，假设所有学生的锻炼时间相互独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率；(3)再从a，b，c三个班中各随机抽取一名学生，他们该周的锻炼时间分别是7,9,8.25(单位：小时)这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为1，表格中数据的平均数记为0，试判断0和1的大小(结论不要求证明)解：(1)由题意知，抽出的20名学生中，来自c班的学生有8名根据分层抽样方法，c班的学生人数估计为10040.(2)设事件ai为“甲是现有样本中a班的第i个人”，i1,2，5，事件cj为“乙是现有样本中c班的第j个人”，j1,2，8.由题意可知，p(ai)，i1,2，5；p(cj)，j1,2，8.p(aicj)p(ai)p(cj)，i1,2，5，j1，2，8.设事件e为“该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长”由题意知，ea1c1a1c2a2c1