（课标通用）高考数学一轮复习 第九章 解析几何 9.3 圆的方程学案 理.doc

9.3圆的方程考纲展示1.掌握确定圆的几何要素2掌握圆的标准方程与一般方程考点1圆的方程1.圆的定义及方程答案：定点定长(a，b)r2点与圆的位置关系(1)理论依据：_到_的距离与半径的大小关系(2)三种情况：圆的标准方程(xa)2(yb)2r2，点m(x0，y0)(x0a)2(y0b)2_r2点在圆上；(x0a)2(y0b)2_r2点在圆外；(x0a)2(y0b)2_r2点在圆内答案：(1)点圆心(2)(1)教材习题改编圆x2y22ax4ay0(a0)的圆心坐标是_，半径r_.答案：(a，2a)|a|解析：根据圆的一般方程的圆心公式和半径公式，可得圆的圆心坐标为(a，2a)，半径为|a|.(2)教材习题改编以线段ab：xy20(0x2)为直径的圆的方程为_答案：(x1)2(y1)22解析：线段ab：xy20(0x2)的两端点分别为(2,0)，(0,2)，所以圆心为(1,1)，圆的半径为，所以圆的方程为(x1)2(y1)22.圆的一般方程：注意表示圆的条件(1)方程x2y2ax2ay2a2a10表示圆，则a的取值范围是_答案：2a0，解得2a0)，半径r2b.又圆c截x轴所得弦的长为2，圆心c到x轴的距离为b，所以由勾股定理，解得b1.因此圆c的标准方程为(x2)2(y1)24.解法二：因为圆c的圆心在直线x2y0上，设圆心c(2b，b)，所以圆c的方程为(x2b)2(yb)2r2，因为圆c与y轴正半轴相切，则r2b0.又圆c截x轴所得弦的长为2，由勾股定理，得圆心c到x轴的距离为.联立，得b1，r2.因此圆c的标准方程为(x2)2(y1)24.点石成金求圆的方程时，应根据条件选用合适的圆的方程一般来说，求圆的方程有两种方法：(1)几何法，通过研究圆的性质进而求出圆的基本量确定圆的方程时，常用到的圆的三个性质：圆心在过切点且垂直切线的直线上；圆心在任一弦的中垂线上；两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线(2)代数法，即设出圆的方程，用待定系数法求解考点2与圆有关的最值问题考情聚焦与圆有关的最值问题也是命题的热点内容，它着重考查数形结合与转化思想主要有以下几个命题角度：角度一斜率型最值问题典题22017辽宁抚顺模拟已知实数x，y满足方程x2y24x10，求的最大值和最小值解原方程可化为(x2)2y23，表示以(2,0)为圆心，为半径的圆的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设k，即ykx.当直线ykx与圆相切时(如图)，斜率k取最大值或最小值，此时，解得k.所以的最大值为，最小值为.角度二截距型最值问题典题3在角度一条件下求yx的最大值和最小值解yx可看作是直线yxb在y轴上的截距，如图所示，当直线yxb与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时，解得b2.所以yx的最大值为2，最小值为2.角度三距离型最值问题典题4在角度一条件下求x2y2的最大值和最小值解如图所示，x2y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值又圆心到原点的距离为2，所以x2y2的最大值是(2)274，x2y2的最小值是(2)274.角度四建立目标函数求最值问题典题5已知圆c：(x3)2(y4)21 和两点a(m,0)，b(m,0)(m0)若圆c上存在点p，使得apb90，则m的最大值为()a7 b6 c5 d4答案b解析由(x3)2(y4)21知，圆上点p(x0，y0)可化为apb90，即0，(x0m)(x0m)y0，m2xy266cos 8sin 2610sin()36，0m6，即m的最大值为6.点石成金求解与圆有关的最值问题的两大规律(1)借助几何性质求最值处理与圆有关的最值问题，应充分考虑圆的几何性质，并根据代数式的几何意义，借助数形结合思想求解(2)建立函数关系式求最值根据题目条件列出关于所求目标式子的函数关系式，然后根据关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法等，利用基本不等式求最值是比较常用的考点3与圆有关的轨迹问题(1)教材习题改编已知点p与两个定点o(0,0)，a(3,3)的距离之比为，则点p的轨迹方程是_答案：x2y22x2y60解析：依题意，得.设p(x，y)，则，整理得x2y22x2y60.(2)教材习题改编若点(1,1)在圆(xa)2(ya)24的内部，则实数a的取值范围是_答案：(1,1)解析：因为点(1,1)在圆(xa)2(ya)24的内部，所以(1a)2(1a)24，即a21，故1a1.1.求圆的标准方程：几何法经过三点a(4,0)，b(0,2)，c(1,3)的圆的方程为_答案：(x2)2(y1)25解析：因为kbckac1，所以acbc，所以abc是直角三角形，ab是斜边，所以所求圆的圆心坐标为(2,1)，半径r|ab|，所以所求圆的方程为(x2)2(y1)25.2求圆的一般方程：待定系数法abc的三个顶点分别为a(1,5)，b(2，2)，c(5,5)，其外接圆的方程为_答案：x2y24x2y200解析：解法一：设所求圆的方程为x2y2dxeyf0.由题意有 解得 故所求圆的方程为x2y24x2y200.解法二：由题意可求得线段ac的中垂线方程为x2，线段bc的中垂线方程为xy30，则圆心是两中垂线的交点(2,1)，半径r5.故所求圆的方程为(x2)2(y1)225.典题6设定点m(3,4)，动点n在圆x2y24上运动，以om，on为邻边作平行四边形monp，求点p的轨迹解如图所示，设p(x，y)，n(x0，y0)，则线段op的中点坐标为，线段mn的中点坐标为.由于平行四边形的对角线互相平分，故，.从而 又n(x3，y4)在圆上，故(x3)2(y4)24.因此所求轨迹为圆(x3)2(y4)24，但应除去两点和(点p在直线om上时的情况)点石成金求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：(1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程(2)定义法：根据圆、直线等定义列方程(3)几何法：利用圆的几何性质列方程(4)代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等.已知圆x2y24上一定点a(2,0)，b(1,1)为圆内一点，p，q为圆上的动点(1)求线段ap中点的轨迹方程；(2)若pbq90，求线段pq中点的轨迹方程解：(1)设ap的中点为m(x，y)，由中点坐标公式可知，点p的坐标为(2x2,2y)因为点p在圆x2y24上，所以(2x2)2(2y)24.故线段ap中点的轨迹方程为(x1)2y21.(2)设pq的中点为n(x，y)在rtpbq中，|pn|bn|.设o为坐标原点，连接on，则onpq，所以|op|2|on|2|pn|2|on|2|bn|2，所以x2y2(x1)2(y1)24.故线段pq中点的轨迹方程为x2y2xy10.方法技巧1.求圆的方程时，应根据条件选用合适的圆的方程一般来说，求圆的方程有两种方法：(1)几何法，通过研究圆的性质进而求出圆的基本量(2)代数法，即设出圆的方程，用待定系数法求解2解答圆的问题，应注意数形结合，充分利用圆的几何性质，简化运算3圆心在过切点且垂直于切线的直线上4圆心在任一弦的中垂线上5两圆相切时，切点与两圆心三点共线易错防范求轨迹方程和求轨迹是有区别的，求轨迹方程得出方程即可，而求轨迹在得出方程后还要指明轨迹表示什么曲线 真题演练集训 12015新课标全国卷一个圆经过椭圆1的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆的标准方程为_答案：2y2解析：由题意知，a4，b2，上、下顶点的坐标分别为(0,2)，(0，2)，右顶点的坐标为(4,0)由圆心在x轴的正半轴上知，圆过点(0,2)，(0，2)，(4,0)三点设圆的标准方程为(xm)2y2r2(0m4，r0)，则解得所以圆的标准方程为2y2.22014陕西卷若圆c的半径为1，其圆心与点(1,0)关于直线yx对称，则圆c的标准方程为_答案：x2(y1)21解析：因为点(1,0)关于直线yx对称的点的坐标为(0,1)，所以所求圆的圆心为(0,1)，半径为1，于是圆c的标准方程为x2(y1)21.32016江苏卷如图，在平面直角坐标系xoy中，已知以m为圆心的圆m：x2y212x14y600及其上一点a(2,4)(1)设圆n与x轴相切，与圆m外切，且圆心n在直线x6上，求圆n的标准方程；(2)设平行于oa的直线l与圆m相交于b，c两点，且bcoa，求直线l的方程；(3)设点t(t,0)满足：存在圆m上的两点p和q，使得，求实数t的取值范围解：圆m的标准方程为(x6)2(y7)225，所以圆心m(6,7)，半径为5.(1)由圆心n在直线x6上，可设n(6，y0)因为圆n与x轴相切，与圆m外切，所以0y07，于是圆n的半径为y0，从而7y05y0，解得y01.因此，圆n的标准方程为(x6)2(y1)21.(2)因为直线loa，所以直线l的斜率为2.设直线l的方程为y2xm，即2xym0，则圆心m到直线l的距离d.因为bcoa2，而mc2d22，所以255，解得m5或m15.故直线l的方程为2xy50或2xy150.(3)设p(x1，y1)，q(x2，y2)因为a(2,4)，t(t,0)，所以因为点q在圆m上，所以(x26)2(y27)225.将代入，得(x1t4)2(y13)225.于是点p(x1，y1)既在圆m上，又在圆x(t4)2(y3)225上，从而圆(x6)2(y7)225与圆x(t4)2(y3)225有公共点，所以5555，解得22t22.因此，实数t的取值范围是22，22 课外拓展阅读 圆中避免求“交点”的几种策略有关圆锥曲线与圆的交点问题，若用解方程组的方法求出交点坐标，往往比较繁琐，有些甚至没有必要，下面举例介绍如何避免求“交点”的几种策略：1整体代入法典例1已知圆c1：x2y2d1xe1yf10和圆c2：x2y2d2xe2yf20交于两点a，b，则公共弦ab所在的直线方程为_解析设圆c1：x2y2d1xe1yf10和圆c2：x2y2d2xe2yf20任一交点的坐标是(x0，y0)，则xyd1x0e1y0f10，xyd2x0e2y0f20.，得(d1d2)x0(e1e2)y0(f1f2)0，因为a，b的坐标都满足方程(d1d2)x(e1e2)y(f1f2)0，所以是过a，b两点的直线方程而过a，b两点的直线是唯一的，故方程就是公共弦ab所在的直线方程答案(d1d2)x(e1e2)yf1f202数形结合法典例2已知曲线xy1与圆m：x2y24x4y30相交于a，b两点，则ab的中垂线方程为_解析曲线xy1是反比例函数，其图象关于直线yx对称，而圆m的圆心(2,2)在直线yx上，就是说圆m也关于直线yx对称，故ab的中垂线方程为yx.答案yx方法点睛数形结合思想，通过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化、抽象问题具体化，往往能起到化繁为简，化难为易的作用，使一些看似复杂的问题通过作图得以轻松解决3根与系数之间的关系典例3过点a(0,3)作直线l与圆c：x2y22x4y60交于p，q两点，且opoq，则直线l的方程为_解析由题意，斜率不存在的直线不符合题意，设直线l：ykx3，代入圆的方程式整理，得(1k2)x22(k1)x90.设p(x1，y1)，q(x2，y2)，则x1x2，x1x2.所以y1y2(kx13)(kx23)k2x1x23k(x1x2)9.而opoqx1x2y1y20，联立解得，k0或k1，故所求直线为y3或xy3