湖南省衡阳八中高三数学上学期第一次月考试卷 文（含解析）.doc

2015-2016学年湖南省衡阳八中高三（上）第一次月考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合a=1，2，3，b=1，3，则ab=（）a2b1，2c1，3d1，2，32设向量=（2，4）与向量=（x，6）共线，则实数x=（）a2b3c4d63若a为实数且，则a=（）a4b3c3d44某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是（）a抽签法b系统抽样法c分层抽样法d随机数法5已知抛物线y2=2px（p0）的准线经过点（1，1），则该抛物线焦点坐标为（）a（1，0）b（1，0）c（0，1）d（0，1）6“x=1”是“x22x+1=0”的（）a充要条件b充分而不必要条件c必要而不充分条件d既不充分也不必要条件7已知sn是等差数列an的前n项和，若a1+a3+a5=3，则s5=（）ab5c7d98下列函数中，最小正周期为的奇函数是（）ay=sin（2x+）by=cos（2x+）cy=sin2x+cos2xdy=sinx+cosx9执行如图所示的程序框图，输出的s值为（）a1b3c7d1510设f（x）=，则f（f（2）=（）a1bcd11一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）a3b4c2+4d3+412设函数f（x）=ln（1+|x|），则使得f（x）f（2x1）成立的x的取值范围是（）a（，1）b（1，+）c（）d（，+）二.填空题：本大题共4小题，每小题5分13已知x、y为正实数，且xy=2，则x+y的最小值是14函数y=xex在其极值点处的切线方程为15若x，y满足，则目标函数z=x+2y的最大值为16在区间0，5上随机地选择一个数p，则方程x2+2px+3p2=0有两个负根的概率为三.解答题：本大题共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17在锐角abc中，a、b、c分别为角a、b、c所对的边，且=2csina（1）确定角c的大小；（2）若c=，且abc的面积为，求a+b的值18如图，圆锥的顶点为p，底面圆为o，底面的一条直径为ab，c为半圆弧的中点，e为劣弧的中点，已知po=2，oa=1，（1）求三棱锥paoc的体积；（2）求异面直线pa和oe所成角的余弦值19随机抽取一个年份，对西安市该年4月份的天气情况进行统计，结果如下：（）在4月份任取一天，估计西安市在该天不下雨的概率；（）西安市某学校拟从4月份的一个晴天开始举行连续2天的运动会，估计运动会期间不下雨的概率日期123456789101112131415天气晴雨阴阴阴雨阴晴晴晴阴晴晴晴晴日期161718192021222324252627282930天气晴阴雨阴阴晴阴晴晴晴阴晴晴晴雨20如图，椭圆e： +=1（ab0）经过点a（0，1），且离心率为（）求椭圆e的方程；（）经过点（1，1），且斜率为k的直线与椭圆e交于不同的两点p，q（均异于点a），证明：直线ap与aq斜率之和为22120、已知函数f（x）=（ar），g（x）=（1）求函数g（x）在x=1处的切线方程；（2）求f（x）的单调区间与极值；（3）若函数f（x）的图象与函数g（x）的图象在区间（0，e2上有公共点，求实数a的取值范围22在直角坐标系xoy中，直线c1：x=2，圆c2：（x1）2+（y2）2=1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系（）求c1，c2的极坐标方程；（）若直线c3的极坐标方程为=（r），设c2与c3的交点为m，n，求c2mn的面积2015-2016学年湖南省衡阳八中高三（上）第一次月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合a=1，2，3，b=1，3，则ab=（）a2b1，2c1，3d1，2，3【考点】交集及其运算【专题】集合【分析】直接利用集合的交集的求法求解即可【解答】解：集合a=1，2，3，b=1，3，则ab=1，3故选：c【点评】本题考查交集的求法，考查计算能力2设向量=（2，4）与向量=（x，6）共线，则实数x=（）a2b3c4d6【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示【专题】平面向量及应用【分析】利用向量共线的充要条件得到坐标的关系求出x【解答】解；因为向量=（2，4）与向量=（x，6）共线，所以4x=26，解得x=3；故选：b【点评】本题考查了向量共线的坐标关系；如果两个向量向量=（x，y）与向量=（m，n）共线，那么xn=ym3若a为实数且，则a=（）a4b3c3d4【考点】复数相等的充要条件【专题】数系的扩充和复数【分析】根据复数相等的条件进行求解即可【解答】解：由，得2+ai=（1+i）（3+i）=2+4i，则a=4，故选：d【点评】本题主要考查复数相等的应用，比较基础4某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是（）a抽签法b系统抽样法c分层抽样法d随机数法【考点】收集数据的方法【专题】应用题；概率与统计【分析】若总体由差异明显的几部分组成时，经常采用分层抽样的方法进行抽样【解答】解：我们常用的抽样方法有：简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，而事先已经了解到三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，这种方式具有代表性，比较合理故选：c【点评】本小题考查抽样方法，主要考查抽样方法，属基本题5已知抛物线y2=2px（p0）的准线经过点（1，1），则该抛物线焦点坐标为（）a（1，0）b（1，0）c（0，1）d（0，1）【考点】抛物线的简单性质【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】利用抛物线y2=2px（p0）的准线经过点（1，1），求得=1，即可求出抛物线焦点坐标【解答】解：抛物线y2=2px（p0）的准线经过点（1，1），=1，该抛物线焦点坐标为（1，0）故选：b【点评】本题考查抛物线焦点坐标，考查抛物线的性质，比较基础6“x=1”是“x22x+1=0”的（）a充要条件b充分而不必要条件c必要而不充分条件d既不充分也不必要条件【考点】充要条件【专题】简易逻辑【分析】先求出方程x22x+1=0的解，再和x=1比较，从而得到答案【解答】解：由x22x+1=0，解得：x=1，故“x=1”是“x22x+1=0”的充要条件，故选：a【点评】本题考察了充分必要条件，考察一元二次方程问题，是一道基础题7已知sn是等差数列an的前n项和，若a1+a3+a5=3，则s5=（）ab5c7d9【考点】等差数列的前n项和【专题】转化思想；数学模型法；等差数列与等比数列【分析】由等差数列an的性质，a1+a3+a5=3=3a3，解得a3再利用等差数列的前n项和公式即可得出【解答】解：由等差数列an的性质，a1+a3+a5=3=3a3，解得a3=1则s5=5a3=5故选：b【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其性质、前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题8下列函数中，最小正周期为的奇函数是（）ay=sin（2x+）by=cos（2x+）cy=sin2x+cos2xdy=sinx+cosx【考点】三角函数的周期性及其求法【专题】三角函数的图像与性质【分析】由条件利用诱导公式化简函数的解析式，再根据三角函数的奇偶性和周期性得出结论【解答】解：由于函数y=sin（2x+）=cos2x为偶函数，故排除a；由于函数y=cos（2x+）=sin2x为奇函数，且周期为，故b满足条件；由于函数y=sin2x+cos2x=sin（2x+）为非奇非偶函数，故排除c；由于函数y=sinx+cosx=sin（x+）为非奇非偶函数，故排除d，故选：b【点评】本题主要考查三角函数的奇偶性和周期性，诱导公式的应用，属于基础题9执行如图所示的程序框图，输出的s值为（）a1b3c7d15【考点】程序框图【专题】算法和程序框图【分析】算法的功能是求s=1+21+22+2k的值，根据条件确定跳出循环的k值，计算输出的s值【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求s=1+21+22+2k的值，跳出循环的k值为3，输出s=1+2+4=7故选：c【点评】本题考查了当型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键10设f（x）=，则f（f（2）=（）a1bcd【考点】分段函数的应用；函数的值【专题】函数的性质及应用【分析】直接利用分段函数，由里及外逐步求解即可【解答】解：f（x）=，则f（f（2）=f（22）=f（）=1=1=故选：c【点评】本题考查分段函数的应用，函数值的求法，考查计算能力11一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）a3b4c2+4d3+4【考点】由三视图求面积、体积【专题】计算题；空间位置关系与距离【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是圆柱体的一部分，利用图中数据求出它的表面积【解答】解：根据几何体的三视图，得；该几何体是圆柱体的一半，该几何体的表面积为s几何体=12+12+22=3+4故选：d【点评】本题考查了利用空间几何体的三视图求表面积的应用问题，是基础题目12设函数f（x）=ln（1+|x|），则使得f（x）f（2x1）成立的x的取值范围是（）a（，1）b（1，+）c（）d（，+）【考点】函数的单调性与导数的关系；函数单调性的性质【专题】开放型；函数的性质及应用；不等式的解法及应用【分析】根据函数的奇偶性和单调性之间的关系，将不等式进行转化即可得到结论【解答】解：函数f（x）=ln（1+|x|）为偶函数，且在x0时，f（x）=ln（1+x）导数为f（x）=+0，即有函数f（x）在0，+）单调递增，f（x）f（2x1）等价为f（|x|）f（|2x1|），即|x|2x1|，平方得3x24x+10，解得x1，所求x的取值范围是（，1）故选a【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，综合考查函数性质的综合应用，运用偶函数的性质是解题的关键二.填空题：本大题共4小题，每小题5分13已知x、y为正实数，且xy=2，则x+y的最小值是【考点】基本不等式【专题】不等式的解法及应用【分析】由题意可得x+y2=2，注意等号成立的条件即可【解答】解：x、y为正实数，且xy=2，x+y2=2，当且仅当x=y=时取等号，故答案为：2【点评】本题考查基本不等式求最值，属基础题14函数y=xex在其极值点处的切线方程为y=【考点】函数在某点取得极值的条件；利用导数研究曲线上某点切线方程【专题】计算题；导数的概念及应用【分析】求出极值点，再结合导数的几何意义即可求出切线的方程【解答】解：依题解：依题意得y=ex+xex，令y=0，可得x=1，y=因此函数y=xex在其极值点处的切线方程为y=故答案为：y=【点评】本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力属于基础题15若x，y满足，则目标函数z=x+2y的最大值为3【考点】简单线性规划【专题】不等式的解法及应用【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）由z=x+2y得y=x+z，平移直线y=x+z，由图象可知当直线y=x+z经过点b时，直线y=x+z的截距最大，此时z最大由，解得，即b（1，1），代入目标函数z=x+2y得z=21+1=3故答案为：3【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用图象平行求得目标函数的最大值和最小值，利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法16在区间0，5上随机地选择一个数p，则方程x2+2px+3p2=0有两个负根的概率为【考点】几何概型【专题】开放型；概率与统计【分析】由一元二次方程根的分布可得p的不等式组，解不等式组，由长度之比可得所求概率【解答】解：方程x2+2px+3p2=0有两个负根等价于，解关于p的不等式组可得p1或p2，所求概率p=故答案为：【点评】本题考查几何概型，涉及一元二次方程根的分布，属基础题三.解答题：本大题共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17在锐角abc中，a、b、c分别为角a、b、c所对的边，且=2csina（1）确定角c的大小；（2）若c=，且abc的面积为，求a+b的值【考点】解三角形【专题】解三角形【分析】（1）利用正弦定理把已知条件转化成角的正弦，整理可求得sinc，进而求得c（2）利用三角形面积求得ab的值，利用余弦定理求得a2+b2的值，最后求得a+b的值【解答】解：（1）=2csina正弦定理得，a锐角，sina0，又c锐角，（2）三角形abc中，由余弦定理得c2=a2+b22abcosc即7=a2+b2ab，又由abc的面积得即ab=6，（a+b）2=a2+b2+2ab=25由于a+b为正，所以a+b=5【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的运用考查了学生对三角函数基础知识的综合运用18如图，圆锥的顶点为p，底面圆为o，底面的一条直径为ab，c为半圆弧的中点，e为劣弧的中点，已知po=2，oa=1，（1）求三棱锥paoc的体积；（2）求异面直线pa和oe所成角的余弦值【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；异面直线及其所成的角【专题】综合题；转化思想；综合法；立体几何【分析】（1）由条件便知po为三棱锥paoc的高，底面积saoc又容易得到，从而带入棱锥的体积公式即可得到该三棱锥的体积（2）根据条件能够得到oeac，从而找到异面直线pa，oe所成角为pac，可取ac中点h，连接ph，便得到phac，从而可在rtpah中求出cospac【解答】解：（1）po=2，oa=1，ocab，三棱锥paoc的体积v=；（2）c为半圆弧的中点，e为劣弧的中点，boe=45，又aco=45；oeac；pac便是异面直线pa和oe所成角；在acp中，ac=，ap=cp=如图，取ac中点h，连接ph，则phac，ah=在rtpah中，cospah=；异面直线pa与oe所成角的余弦值为【点评】考查圆锥的定义，圆锥的高和母线，等弧所对的圆心角相等，能判断两直线平行，以及异面直线所成角的定义及找法、求法，属于中档题19随机抽取一个年份，对西安市该年4月份的天气情况进行统计，结果如下：（）在4月份任取一天，估计西安市在该天不下雨的概率；（）西安市某学校拟从4月份的一个晴天开始举行连续2天的运动会，估计运动会期间不下雨的概率日期123456789101112131415天气晴雨阴阴阴雨阴晴晴晴阴晴晴晴晴日期161718192021222324252627282930天气晴阴雨阴阴晴阴晴晴晴阴晴晴晴雨【考点】概率的应用【专题】应用题；概率与统计【分析】（）在4月份任取一天，不下雨的天数是26，即可估计西安市在该天不下雨的概率；（）求得4月份中，前一天为晴天的互邻日期对有16个，其中后一天不下雨的有14个，可得晴天的次日不下雨的概率，即可得出结论【解答】解：（）在4月份任取一天，不下雨的天数是26，以频率估计概率，估计西安市在该天不下雨的概率为；（）称相邻的两个日期为“互邻日期对”，由题意，4月份中，前一天为晴天的互邻日期对有16个，其中后一天不下雨的有14个，所以晴天的次日不下雨的概率为，从而估计运动会期间不下雨的概率为【点评】本题考查概率的应用，考查学生的计算能力，确定基本事件的个数是关键20如图，椭圆e： +=1（ab0）经过点a（0，1），且离心率为（）求椭圆e的方程；（）经过点（1，1），且斜率为k的直线与椭圆e交于不同的两点p，q（均异于点a），证明：直线ap与aq斜率之和为2【考点】直线与圆锥曲线的综合问题【专题】开放型；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（）运用离心率公式和a，b，c的关系，解方程可得a，进而得到椭圆方程；（）由题意设直线pq的方程为y=k（x1）+1（k0），代入椭圆方程+y2=1，运用韦达定理和直线的斜率公式，化简计算即可得到结论【解答】解：（）由题设知， =，b=1，结合a2=b2+c2，解得a=，所以+y2=1；（）证明：由题意设直线pq的方程为y=k（x1）+1（k0），代入椭圆方程+y2=1，可得（1+2k2）x24k（k1）x+2k（k2）=0，由已知得（1，1）在椭圆外，设p（x1，y1），q（x2，y2），x1x20，则x1+x2=，x1x2=，且=16k2（k1）28k（k2）（1+2k2）0，解得k0或k2则有直线ap，aq的斜率之和为kap+kaq=+=+=2k+（2k）（+）=2k+（2k）=2k+（2k）=2k2（k1）=2即有直线ap与aq斜率之和为2【点评】本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的离心率和方程的运用，联立直线方程，运用韦达定理，考查直线的斜率公式，属于中档题2120、已知函数f（x）=（ar），g（x）=（1）求函数g（x）在x=1处的切线方程；（2）求f（x）的单调区间与极值；（3）若函数f（x）的图象与函数g（x）的图象在区间（0，e2上有公共点，求实数a的取值范围【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程【专题】计算题；综合题【分析】（1）依题意，可求得g（1）=1，利用直线的点斜式即可求得函数g（x）在x=1处的切线方程；（2）求得f（x）=，由f（x）0，可求得其单调递增区间，由f（x）0，可求其递减区间，从而可求其极值；（3）令f（x）=f（x）g（x）=，利用导数通过分类讨论思想来研究f（x）的单调性与极值，即可求得实数a的取值范围【解答】解：（1）g（x）=，g（x）=g（1）=1，又g（1）=1，函数g（x）在x=1处的切线方程为y1=（x1），即y=x+2（2）f（x）的定义域为（0，+），f（x）=，令f（x）=0，得x=e1a，当x（0，e1a）时，f（x）0，f（x）在（0，e1a上是增函数；当x（e1a，+）时，f（x）0，f（x）在e1a，+）上是减函数；函数f（x）的单调递增区间为（0，e1a，单调递减区间为e1a，+），极大值为f（x）极大值=f（e1a）=ea1，无极小值（3）令f（x）=f（x）g（x）=，则f（x）=令f（x）=0得x=e2a；令f（x）0，得0xe2a；令f（x）0，得xe2a故函数f（x）在区间（0，e2a上是增函数，在区间e2a，+）上是减函数当e2ae2，即a0时，函数f（x）在区间（0，e2a上是增函数，在区间e2a，e2上是减函数f（x）max=f（e