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概率基础知识 1 2 集合知识回顾 1 集合之间的包含关系 B A 2 集合之间的运算 B A 1 交集 A B 2 并集 A B 3 补集 CuA A B A B B A A B CuA A 3 一般地 对于事件A和事件B 如果事件A发生 则事件B一定发生 这时称事件B包含事件A 或称事件A包含于事件B 记作 AB 或BA 事件的关系与运算 可用图表示为 1 事件的包含关系 B A 我们把不可能事件记作 任何事件都包含不可能事件 一般地 若BA 且AB 那么称事件A与事件B相等 记作 A B 2 事件的相等关系 4 若某事件发生当且仅当事件A或事件B发生 则称此事件为事件A与事件B的并事件 或和事件 记作 A B 或A B 可用图表示为 3 并事件 和事件 B A A B 注 两个事件相等也就是说这两个事件是同一个事件 5 若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生 则称此事件为事件A与事件B的交事件 或积事件 记作 A B 或AB 4 交事件 积事件 B A A B 可用图表示为 若A B为不可能事件 A B 那么称事件A与事件B互斥 事件A与事件B互斥的含义是 这两个事件在任何一次试验中都不会同时发生 可用图表示为 5 互斥事件 B A 6 若A B为不可能事件 A B为必然事件 那么事件A与事件B互为对立事件 事件A与事件B互为对立事件的含义是 这两个事件在任何一次试验中有且仅有一个发生 5 对立事件 7 互斥事件与对立事件的区别与联系 联系 都是两个事件的关系 区别 互斥事件是不可能同时发生的两个事件 对立事件除了要求这两个事件不同时发生之外要求二者之一必须有一个发生 对立事件是互斥事件 是互斥中的特殊情况 但互斥事件不一定是对立事件 8 基础梳理 1 条件概率 1 条件概率的定义对于任何两个事件A和B 在已知事件A发生的条件下 事件B发生的概率叫做条件概率 用符号 P B A 来表示 2 事件A与B的交 或积 把由事件A和B同时发生所构成的事件D称为事件A与B的交 或积 记作 或D AB 3 条件概率公式P B A P A 0 D A B 9 2 事件的独立性 1 相互独立事件的定义事件A是否发生对事件B发生的概率没有影响 即 这时 称两个事件A B相互独立 并把这两个事件叫做相互独立事件 2 概率公式 若A B相互独立 则P A B 若A1 A2 An相互独立 则P A1 A2 A3 An P A1 P A2 P An P B A P B P A P B 10 4 概率问题常常与排列组合相结合 求事件概率的关键是将事件分解成若干个子事件 然后利用概率加法 互斥事件求和 乘法 独立事件同时发生 除法 条件概率 来求解 11 2020 1 8 12 思考探究 相互独立 与 事件互斥 有何不同 提示 两事件互斥是指两个事件不可能同时发生 两事件相互独立是指一个事件发生与否对另一事件发生的概率没有影响 两事件相互独立一定不互斥 13 n次独立重复试验 二项分布 B n p 14 基础梳理 1 离散型随机变量的分布列 1 离散型随机变量的分布列若离散型随机变量X可能取的不同值为x1 x2 xi xn X取每一个值xi i 1 2 n 的概率P X xi pi 则表 称为离散型随机变量X的概率分布列 简称X的分布列 有时为了表达简单 也用等式 表示X的分布列 P X xi pi i 1 2 n 15 思考探究如何求离散型随机变量的分布列 提示 首先确定随机变量的取值 求出离散型随机变量的每一个值对应的概率 最后列成表格 pi 0 i 1 2 n 之和 16 2 常见离散型随机变量的分布列 1 两点分布若随机变量X的分布列是 则这样的分布列称为两点分布列 如果随机变量X的分布列为两点分布列 就称X服从 分布 而称p P X 1 为成功概率 1 p p 两点 17 18 基础梳理 1 基本事件的特点 1 任何两个基本事件是 的 2 任何事件 除不可能事件 都可以表示成 的和 2 古典概型具有以下两个特征的试验称为古典概型 1 有限性 在一次试验中 可能出现的结果只有 即只有 不同的基本事件 2 等可能性 每个基本事件发生的可能性是 互斥 基本事件 有限个 有限个 均等的 19 思考探究如何确定一个试验是否为古典概型 提示 判断一个试验是否是古典概型 关键在于这个试验是否具有古典概型的两个特征 有限性和等可能性 20 基础梳理 长度 面积 体积 几何概型