二维随机变量的定义、分布函数PPT课件.ppt

第三章多维随机变量及其分布 1 例2 检查某大学的全体学生的身体状况 多个随机变量举例 2 3 1二维随机变量及其分布 例如E 抽样调查15 18岁青少年的身高X与体重Y 以研究当前该年龄段青少年的身体发育情况 任务 需要研究的不仅仅是X及Y各自的性质 更需要了解这两个随机变量的相互依赖和制约关系 3 3 1 1二维随机变量的定义 分布函数 定义3 1 1 设X Y为定义在同一样本空间 上的随机变量 则称为 上的一个二维随机变量 向量 X Y 4 二维随机变量 X Y 的几何意义 二维随机变量 X Y 的取值可看作平面上的点 5 二维随机变量的联合分布函数 6 定义3 1 2 称为二维随机变量的联合分布函数 若 X Y 是随机变量 对于任意的实数x y 7 二维随机变量 X Y 的分布函数F x y 的含义 几何解释 F x y 表示随机点 X Y 落在以 x y 为顶点 且位于该点左下方的无穷矩形内的概率 8 P x1 X x2 y1 Y y2 F x2 y2 F x2 y1 F x1 y2 F x1 y1 用联合分布函数F x y 表示矩形域概率 P x1 X x2 y1 Y y2 F x2 y2 F x2 y1 F x1 y2 F x1 y1 9 二维随机变量的联合分布函数的性质 F x y 分别关于X和Y F x y F x F y F F F x y 分别关于X和Y 单调不减 0 1 0 0 0 1 右连续 10 3 1 2二维离散型随机变量 定义3 1 3 若二维随机变量 X Y 的所有可能取值只有限对或可列对 则称 X Y 为二维离散型随机变量 11 X Y 的联合概率分布 分布律 表达式形式 表格形式 P X xi Y yj pij i j 1 2 12 Pij的性质 13 例题讲解 14 例1一个口袋中有三个球 依次标有数字1 2 2 从中任取一个 不放回袋中 再任取一个 设每次取球时 各球被取到的可能性相等 以 分别记第一次和第二次取到的球上标有的数字 求 X Y 的联合分布律 X Y 的可能取值为 1 1 1 2 2 1 2 2 P X 1 Y 1 P X 1 Y 2 P X 2 Y 1 P X 2 Y 2 1 3 2 2 1 3 2 3 1 2 1 3 2 3 1 2 1 3 0 15 1 3 1 3 1 3 0 X Y 的联合分布律 16 箱内装有12只开关 其中2只是次品 现从箱内随机抽取二次 每次取一只 取后不放回 求 X Y 的联合分布律 其中 练一练 17 X Y 的联合分布律 18 例2 设随机变量X在1 2 3中等可能地取值 Y在1 X中等可能地取整数值 求 X Y 的分布列及F 2 2 解 1 3 1 6 0 123 123 1 6 1 9 1 9 1 9 0 0 19 2 3 F x y P X x Y y F 2 2 P X 2 Y 2 20 例 X Y 的联合分布律如下 求 1 k 2 F x y k 1 k 21 0 22 2020 1 8 23 24 25 26 27 28 3 1 3二维连续型随机变量 29 定义3 1 4 二元连续型随机变量 若存在非负函数f x y 使对任意实数x y 二元随机变量 X Y 的分布函数可表示成如下形式 则称 X Y 是二元连续型随机变量 f x y 称为二元随机变量 X Y 的联合概率密度函数 30 二维连续型随机变量的联合概率密度的性质 1 非负性 2 正则性 3 可导性 31 几何解释 曲顶柱体的体积 4 X Y 落在平面区域G上的概率 32 例题讲解 33 例1 已知二维随机变量 X Y 的概率密度求 系数A F x y P X 2 Y 1 4 P 2X 3Y 6 34 求 F x y 35 解 3 P X 2 Y 1 2 1 x 2 y 1 f x y 0 36 3 2 2x 3y 6 解 4 f x y 0 37 二维均匀分布 设二维随机变量 X Y 的概率密度为 则称 X Y 在D上服从均匀分布 其中G是平面上的有界区域 其面积为SG 38 例题讲解 39 例1 设二维随机变量 X Y 在区域G上服从均匀分布 其中