1.2 三角形的角平分线和中线(含答案).doc

1.2 三角形的角平分线和中线【要点预习】1.三角形的角平分线的概念：在三角形中，一个内角的 与它的对边 ，这个角的 与交点之间的线段叫做三角形的角平分线.2.三角形的中线的概念：在三角形中，连结一个顶点与它对边 的线段，叫做这个三角形的中线.【课前热身】1. 如果三角形的一个内角等于另外两个内角的和，这个三角形的最大的角是_.答案：902. 如图，AD是ABC的角平分线，若BAC=68，则1= 度.答案：343. 如图，AD是ABC的中线，若BD=2，则BC= .答案：44. 如图，AD是ABC的中线，若SABC=8，则SABD= .答案：4【讲练互动】【例1】如图，在ABC中，C90，AD平分BAC，且B3BAD，求ADC的度数.解：AD平分BAC，CAD=BAD.设CAD=BAD=x，B=3BAD，B=3x.CAB+B+C=180，C=90，2x+3x+90=180.解得x=18. CAD=18.CAD+C+ADC=180，ADC=72.【变式训练】1.如图， 在ABC中，C90，AD是ABC的角平分线， CAB=2B.试求ADB的度数.解：CAB+B+C=180，C=90，CAB+B=90.又CAB=2B，CAB=60.AD是ABC的角平分线，CAD=30.ADB=CAD+C=30+90=120.【例2】如图，AD是ABC的边BC上的中线，AB=BC，且AD把ABC的周长分成3和4的两部分，求AC边的长.分析：本题分两种情况，可能AB+BD=3，AC+CD=4，也可能AB+BD=4，AC+CD=3.解：AD是ABC的边BC上的中线，可设BD=CD=x.AB=BC，AB=BC=2x.当AB+BD=3，AC+CD=4时，由AB+BD=3，得2x+x=3，x=1.CD=1，AC=4-CD=3.当AB+BD=4，AC+CD=3时，由AB+BD=4，得2x+x=4，x=.CD=，AC=3-CD=.【变式训练】2. 如例2图，AD是ABC的边BC上的中线，若ABD的周长比ACD的周长大5，求AB与AC的差. 解：AD是ABC中BC边上的中线，BD=DC.ABD的周长=AB+AD+BD，ADC的周长=AC+AD+DC，ABAC=ABD的周长ADC的周长=5.【同步测控】基础自测1.三角形的角平分线是（ ）A.射线 B.线段 C.直线 D.以上都不对答案：B2.下列说法正确的是（ ）A.经过三角形一边的中点的直线是三角形的中线B.连接三角形两边中点的线段是三角形的中线C.三角形的中线把三角形分成的两个小三角形的面积一定相等D.三角形的中线把三角形分成的两个小三角形的周长一定相等答案：C3.如图，在ABC中，BE，CF分别是ABC和ACB的平分线，若ABC=66， ACB=58，则FDB的度数为（ ）A.56 B.62 C.70 D.86答案：B4.已知BD是ABC的中线，AB=4，AC=3，BD=5，则ABD的周长为（ ）A.12 B.10.5 C.10 D.8.5答案：B5. 如图，D、E是边AC的三等分点，BD是三角形_中_边的中线，BE是三角形_中_边上的中线.答案：ABE AE BCD CD6.已知AE是ABC的角平分线，若B=45，C=60，则AEB= .答案：97.57.(2008沈阳中考)已知中，的平分线交于点，则的度数为 答案：1208.画出如图所示的三角形中的BC边上的中线与BC所对的角的角平分线.解：如图，AE是BC边上的中线.Ad是所求的角平分线. 9.如图，CE，CF分别是ABC的内角平分线与外角平分线，求ECF的度数.解：CE，CF分别是ABC的内角平分线与外角平分线，ACE=ACB，ACF=ACD.又ACB+ACD=180，ACE+ACF=90.10.如图，在ABC中，AB=AC=6，BC=5，BD是AC边上的中线.试确定ABD与BCD的周长的差.解：BD是AC边上的中线，AC=6，AD=DC=3.ABD的周长BCD的周长=(AB+AD+BD)-(BC+BD+CD)=AB-BC=6-5=1.能力提升11. 如图，在ABC中，A=52，ABC与ACB 的角平分线交于点D1，ABD1与ACD1的角平分线 交于点D2，依次类推，ABD4与ACD4的角平分线交于点D5，则BD5C的度数是（ ）A.60 B.56 C.94 D.68解析：由A=52知ABC+ACB=128，D1BC+D1CB=(1-) 128=64，D2BC+D2CB=1-()2128=96，依次类推，D5BC+D5CB=1-()5128 =124，故BD5C=56.答案：B12. 在ABC中，已知M是AB的中点， MBC的周长为20，则AMC的周长为 .解析：由已知得MA=MB，则|MBC的周长AMC的周长|=|(MB+BC+MC)(MA+AC+ MC)|=|BC-AC|，故|AMC的周长20|8，于是AMC的周长为28或12.答案：28或1213.如图所示，在ABC中，B的平分线交ACE的平分线于点D，点B，C，E在同一条直线上，若D=40，则A= 度.解析：由三角形外角的性质知DCE-DBC=D=40，而ACE= 2DCE，ABC=2DBC，故A=ACE-ABC=2(DCE-DBC) =80.答案：8014.如图，一张三角形纸片ABC，BD是它的一条角平分线.现将纸片沿BD折叠，点C落在AB边上的E处.已知ABC=40，C=80，请找出图中与ADE相等的角，并说明理由.解：BD是角平分线，ABC=40，DBC=DBE=20.又C=80，BDC=80.BDE=BDC=80，ADE=20.ADE=DBC=DBE.15. 如图， ABC中，两条内角平分线与两条外角平分线分别相交于点D和点E，若D比E的2倍还大30，求A的度数.分析：将D和E都用A表示即可.解：BD，CD是角平分线，DBC=ABC，DCB=ACB.DBC+DCB=(ABC+ACB)=(180-A)=90-A.D=180-(DBC+DCB)=90+A.类似地，E=180-(EBC+ECB)=180-(ABC的外角+ACB的外角)180-(180-ABC+180-ACB)= (ABC+ACB)=(180-A)=90-A.D=2E+30，90+A=2(90-A)+30，解得A=80.创新应用16.如图，ABC中，DC，BD分别是ACB和ABC的平分线，且A=(1)用含的代数表示CDB；EEF(2)若把图中ACB的平分线DC改为ACB的外角的平分线（如图），怎样用含的代数式表示CDB?(3)若把图中“DC，DB分别是ACB和ABC的平分线”改成“DC，BD分别是ACB和ABC的外角的平分线”，(如图)，怎样用含的代数式表示CDB?解：(1)DC，BD分别是ACB和ABC的平分线，DBC=ABC，DCB=ACB，DBC+DCB=(ABC+ACB)=(180-A)=90-.BDC=180-(DBC+DCB)= 90+.(2) DC，BD分别是ACB的外角和ABC的平分线，DBC=ABC，DCE=ACE，CDB=DCE-