湖南省雅礼中学高三数学下学期第二次月考试卷 理（含解析）.doc

2014-2015学年湖南省 雅礼中学高三（下）第二次月考数学试卷（理科）一选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.把答案填在答题卡中对应题号的框框内.）1已知集合a=2，1，0，1，2，3，集合，则ab等于（）a 2，1，0，1b 1，0，1c 1，0，1，2d 1，0，1，2，32若a、b均是非空集合，则ab是ab的（）a 充分不必要条件b 必要不充分条件c 充要条件d 即不充分也不必要条件3（中诱导公式、基本公式）已知，且，则tan（2）的值为（）a b c d 4如图，水平放置的三棱柱的侧棱长和底边长均为2，且侧棱aa1面a1b1c1，正视图是边长为2的正方形，俯视图为一个等边三角形，该三棱柱的左视图面积为（）a 2b c 2d 45已知向量满足：，与的夹角为，则=（）a 2b 4c 2d 86设x，y满足约束条件，则目标函数z=的最小值为（）a 2b 1c d 27设f（x）定义如下面数表，xn满足x0=5，且对任意自然数n均有xn+1=f（xn），则x2014的值为（）x12345f（x）41352a 4b 1c 3d 28如图，长沙河西先导区某广场要划定一矩形区域abcd，并在该区域内开辟出三块形状大小相同的矩形绿化区，这三块绿化区四周和绿化区之间设有1米宽的走道已知三块绿化区的总面积为800平方米，则该矩形区域abcd占地面积的最小值为（）平方米a 900b 920c 948d 9689已知函数，若存在x1x2，使得f（x1）=f（x2），则x1f（x2）的取值范围为（）a b c d 10设定义在r上的偶函数f（x）满足f（x+2）=f（x），f（x）是f（x）的导函数，当x0，1时，0f（x）1；当x（0，2）且x1时，x（x1）f（x）0则方程f（x）=lg|x|根的个数为（）a 12b 1 6c 18d 20二填空题：本大题共1小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上（一）选做题（请考生在第11、12、13题中任选两题作答，如果全做，则按前两题给分）【几何证明选讲】11如图，pc切o于点c，割线pab经过圆心o，弦cdab于点e，已知o的半径为3，pa=2，则oe=【极坐标系与参数方程选讲】12已知曲线c的参数方程为（为参数），直线l的极坐标方程为，它们的交点在平面直角坐标系中的坐标为【不等式选讲】1011天津）已知集合a=xr|x+3|+|x4|9，b=，则集合ab=（二）必做题（1416题）14设（其中e为自然对数的底数），则的值为15动点a（x，y）在圆x2+y2=1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周已知时间t=0时，点a的坐标是，则当0t12时，动点a的纵坐标y关于t（单位：秒）的函数的单调递增区间是 16已知数列an的前n项和sn=（1）nn，若对任意正整数n，（an+1p）（anp）0恒成立，则实数p的取值范围是三解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤17设函数（）求f（x）的最小正周期；（）当时，求函数f（x）的最大值和最小值18设数列an的前n项和为sn，已知对任意正整数n，都有sn+2=2an成立（1）求数列an的通项公式；（2）设，数列bn的前n项和为tn，求证：tn319如图所示，在平面四边形abcd中，与的夹角为，与的夹角为（1）求cde的面积s；（2）求20已知函数f（x）=lnxax+1（ar）（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（2，f（2）处的切线方程；（2）当a时，讨论f（x）的单调性21若数列an（nn*）满足：an0；an2an+1+an+20；a1+a2+an1，则称数列an为“和谐”数列（1）已知数列an，（nn*），判断an是否为“和谐”数列，说明理由；（2）若数列an为“和谐”数列，证明：（nn*）22已知函数f（x）=（1）当x0时，证明：f（x）；（2）当x1且x0时，不等式f（x）恒成立，求实数k的值2014-2015学年湖南省雅礼中学高三（下）第二次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.把答案填在答题卡中对应题号的框框内.）1已知集合a=2，1，0，1，2，3，集合，则ab等于（）a 2，1，0，1b 1，0，1c 1，0，1，2d 1，0，1，2，3考点：交集及其运算专题：集合分析：根据集合的基本运算进行求解即可解答：解：a=2，1，0，1，2，3，集合，ab=1，0，1，故选：b点评：本题主要考查集合的基本运算，比较基础2若a、b均是非空集合，则ab是ab的（）a 充分不必要条件b 必要不充分条件c 充要条件d 即不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断专题：规律型分析：判断出“ab”成立推不出“ab”反之，若“ab”成立，则能推出ab”一定成立，利用充要条件的有关定义得到结论解答：解：若“ab”成立推不出“ab”反之，若“ab”成立，则有ab=a，所以ab”一定成立，所以ab是ab的必要不充分条件，故选b点评：本题考查判断一个条件是另一个的什么条件，应该先化简各个条件，若条件是数集的形式，常转化为判断集合间的包含关系3（中诱导公式、基本公式）已知，且，则tan（2）的值为（）a b c d 考点：同角三角函数基本关系的运用专题：计算题分析：先根据诱导公式化简已知条件，得到sin的值，然后由的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出cos的值，把所求的式子利用诱导公式化简后，再根据同角三角函数间的基本关系把切化弦后，将sin和cos的值代入即可求出值解答：解：由，又，得，则故选b点评：此题考查学生灵活运用诱导公式及同角三角函数间的基本关系化简求值，是一道中档题学生在求cos的值时应注意的范围4如图，水平放置的三棱柱的侧棱长和底边长均为2，且侧棱aa1面a1b1c1，正视图是边长为2的正方形，俯视图为一个等边三角形，该三棱柱的左视图面积为（）a 2b c 2d 4考点：简单空间图形的三视图专题：计算题；空间位置关系与距离分析：三棱柱的左视图是一个矩形，矩形的长是三棱柱的侧棱长，宽是底面三角形的一条边上的高，在边长是2的等边三角形中做出底边上的高的长度，得到结果解答：解：由题意知三棱柱的左视图是一个矩形，矩形的长是三棱柱的侧棱长，宽是底面三角形的一条边上的高，在边长是2的等边三角形中，底边上的高是，侧视图的面积是2故选：a点评：本题考查简单的空间图形三视图，考查三视图的面积的计算，考查通过原图观察三视图的大小，比较基础5已知向量满足：，与的夹角为，则=（）a 2b 4c 2d 8考点：平面向量数量积的运算专题：平面向量及应用分析：根据向量的数量积的应用进行转化即可解答：解：，与的夹角为，=|cos=1=1，则=2，故选：a点评：本题主要考查向量长度的计算，根据向量数量积的应用是解决本题的关键6设x，y满足约束条件，则目标函数z=的最小值为（）a 2b 1c d 2考点：简单线性规划专题：不等式的解法及应用分析：作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，结合数形结合即可得到结论解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：z=的几何意义为平面区域内的点到定点d（1，1）的斜率，由图象知bd的斜率最小，其中b（1，0），则z=，故选：c点评：本题主要考查线性规划以及斜率的应用，利用z的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键7设f（x）定义如下面数表，xn满足x0=5，且对任意自然数n均有xn+1=f（xn），则x2014的值为（）x12345f（x）41352a 4b 1c 3d 2考点：函数的值专题：函数的性质及应用分析：数列xn满足x0=5，且对任意自然数n均有xn+1=f（xn），利用表格可得：可得x1=f（x0）=f（5）=2，x2=f（x1）=f（2）=1，x3=f（x2）=f（1）=4，x4=f（x3）=f（4）=5，x5=f（x4）=f（5）=2，于是得到xn+4=xn，进而得出答案解答：解：数列xn满足x0=5，且对任意自然数n均有xn+1=f（xn），利用表格可得：x1=f（x0）=f（5）=2，x2=f（x1）=f（2）=1，x3=f（x2）=f（1）=4，x4=f（x3）=f（4）=5，x5=f（x4）=f（5）=2，xn+4=xn，x2014=x5034+2=x2=1故选：b点评：本题考查了数列的周期性，根据已知分析出函数的周期为4，是解答的关键，属于中档题8如图，长沙河西先导区某广场要划定一矩形区域abcd，并在该区域内开辟出三块形状大小相同的矩形绿化区，这三块绿化区四周和绿化区之间设有1米宽的走道已知三块绿化区的总面积为800平方米，则该矩形区域abcd占地面积的最小值为（）平方米a 900b 920c 948d 968考点：基本不等式在最值问题中的应用专题：应用题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用分析：设绿化区域小矩形的一边长为x，另一边长为y，推出3xy=800，从而得到矩形abcd的面积s=（3x+4）（y+2），然后利用基本不等式，由此能够求出结果解答：解：设绿化区域小矩形的一边长为x，另一边长为y，则3xy=800，y=即矩形区域abcd的面积s=（3x+4）（y+2）=（3x+4）（+2）=800+6x+8808+2=968当且仅当6x=，即x=时取“=”，矩形区域abcd的面积的最小值为968平方米故选d点评：本题考查函数问题在生产生活中的实际应用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地运用基本不等式求最值9已知函数，若存在x1x2，使得f（x1）=f（x2），则x1f（x2）的取值范围为（）a b c d 考点：函数的零点；函数的值域；不等关系与不等式专题：函数的性质及应用分析：根据函数的解析式画出函数的图象，根据题意数形结合求得x1f（x2）的取值范围解答：解：当 0x时，f（x）=x+1故当x=时，f（x）=当x1时，f（x）=3x23，故当x=时，f（x）=1若存在x1x2，使得f（x1）=f（x2）=k，则 x1 x2 1，如图所示：显然当k=f（x1）=f（x2）=时，x1f（x2）取得最小值，此时，x1=，x2=，x1f（x2）的最小值为 =显然，当k=f（x1）=f（x2）趋于1时，x1f（x2）趋于最大，此时，x1趋于，x2趋于，x1f（x2）趋于 =故x1f（x2）的取值范围为 ，故选c点评：本题考查函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，体现了数形结合的数学思想，属于中档题10设定义在r上的偶函数f（x）满足f（x+2）=f（x），f（x）是f（x）的导函数，当x0，1时，0f（x）1；当x（0，2）且x1时，x（x1）f（x）0则方程f（x）=lg|x|根的个数为（）a 12b 1 6c 18d 20考点：导数的运算；抽象函数及其应用；根的存在性及根的个数判断专题：函数的性质及应用分析：依据函数的周期性，画出函数y=f（x）的图象，再在同一坐标系下画出y=lg|x|的图象（注意此函数为偶函数），数形结合即可数出两图象交点的个数解答：解：f（x+2）=f（x），函数y=f（x）的周期是2，又当x（0，2）且x1时，x（x1）f（x）0，当0x1时，x（x1）0，则f（x）0，函数在0，1上是增函数又由当x0，1时，0f（x）1，则f（0）=0，f（1）=1而y=lg|x|是偶函数，当x0时，其图象为y=lgx的图象，即函数为增函数，由于x=10时，y=lg10=1，其图象与f（x）的图象在0，2上有一个交点，在每个周期上各有两个交点，在y轴右侧共有9个交点y=lg|x|是偶函数，其图象关于y轴对称，在y轴左侧也有9个交点两函数图象共有18个交点故选：c点评：本体考查了函数的周期性，奇偶性及函数图象的画法，重点考查数形结合的思想方法，属基础题二填空题：本大题共1小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上（一）选做题（请考生在第11、12、13题中任选两题作答，如果全做，则按前两题给分）【几何证明选讲】11如图，pc切o于点c，割线pab经过圆心o，弦cdab于点e，已知o的半径为3，pa=2，则oe=考点：与圆有关的比例线段专题：选作题；立体几何分析：利用切割线定理，求出pc，再利用等面积可得结论解答：解：pc切圆o于点c，圆o的半径为3，pa=2，pc2=papb=16，pc=4，又oc=3，op=5，由等面积可得=，oe=故答案为：点评：本题考查切割线定理，考查学生的计算能力，正确运用切割线定理是关键【极坐标系与参数方程选讲】12已知曲线c的参数方程为（为参数），直线l的极坐标方程为，它们的交点在平面直角坐标系中的坐标为考点：参数方程化成普通方程专题：坐标系和参数方程分析：曲线c的参数方程为（为参数），利用cos2+sin2=1即可化为直角坐标方程利用x=cos即可把直线l的极坐标方程，化为直角坐标方程，联立解出即可解答：解：曲线c的参数方程为（为参数），化为=1直线l的极坐标方程为，化为x=，把x=代入椭圆方程解得y=0它们的交点在平面直角坐标系中的坐标为故答案为：点评：本题考查了参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程、直线与椭圆的交点，考查了计算能力，属于基础题【不等式选讲】1011天津）已知集合a=xr|x+3|+|x4|9，b=，则集合ab=x|2x5考点：交集及其运算专题：集合分析：求出集合a，求出集合b，然后利用集合的运算法则求出ab解答：解：集合a=xr|x+3|+|x4|9，所以a=x|4x5；集合，当且仅当t=时取等号，所以b=x|x2，所以ab=x|4x5x|x2=x|2x5，故答案为：x|2x5点评：本题是基础题，考查集合的基本运算，注意求出绝对值不等式的解集，基本不等式求出函数的值域，是本题解题是关键，考查计算能力（二）必做题（1416题）14设（其中e为自然对数的底数），则的值为考点：定积分专题：计算题分析：根据定积分的运算法则进行计算，将区间（0，e2）拆为（0，1）、（1，e2）两个区间，然后进行计算；解答：解：，则=+=+=+=+2=，故答案为点评：此题主要考查定积分的计算，这是高考新增的内容，同学们要多加练习15动点a（x，y）在圆x2+y2=1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周已知时间t=0时，点a的坐标是，则当0t12时，动点a的纵坐标y关于t（单位：秒）的函数的单调递增区间是 0，1和7，12考点：函数的单调性及单调区间专题：创新题型分析：点a的初始角为60，当点a转过的角度在0，30或210，360时，动点a的纵坐标y关于t（单位：秒）的函数的单调递增，再把角度区间转化为对应的时间区间解答：解：t=0时，点a的坐标是，点a的初始角为60，当点a转过的角度在0，30或210，360时，动点a的纵坐标y关于t（单位：秒）的函数的单调递增，12秒旋转一周，每秒转过的角度是36012=30，21030=7，则当0t12时，动点a的纵坐标y关于t（单位：秒）的函数的单调递增区间是0，1和7，12，故答案为：0，1和7，12点评：本题考查函数的单调性及单调区间，体现了转化的数学思想16已知数列an的前n项和sn=（1）nn，若对任意正整数n，（an+1p）（anp）0恒成立，则实数p的取值范围是（1，3）考点：数列的函数特性专题：点列、递归数列与数学归纳法分析：当n=1时，a1=s1=1；当n2时，an=snsn1即可得出an由于对任意正整数n，（an+1p）（anp）0恒成立，分类讨论：n是奇数时，求得p的取值范围；当n是正偶数时，求得p的取值范围，再求其交集即可解答：解：当n=1时，a1=s1=1；当n2时，an=snsn1=（1）nn（1）n1（n1）=（1）n（2n1）对任意正整数n，（an+1p）（anp）0恒成立，（1）n+1（2n+1）p（1）n（2n1）p0，当n是奇数时，化为p（2n+1）p+（2n1）0，解得12np2n+1，对任意正奇数n都成立，取n=1时，可得1p3当n是正偶数时，化为p（2n1）p+（1+2n）0，解得12np2n1，对任意正偶数n都成立，取n=2时，可得5p3联立，解得1p3实数p的取值范围是（1，3）故答案为：（1，3）点评：本题考查了“当n=1时，a1=s1；当n2时，an=snsn1”求数列的通项公式an的方法、交集的运算法则、分类讨论思想方法，属于难题三解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤17设函数（）求f（x）的最小正周期；（）当时，求函数f（x）的最大值和最小值考点：三角函数的周期性及其求法；三角函数的最值专题：计算题分析：（）利用诱导公式化简，再用二倍角公式化简，得到，化为求出周期（）当时，求出的范围，然后求函数f（x）的最大值和最小值解答：解：=（6分）（），故f（x）的最小正周期为（7分）（）因为0x，所以（9分）所以当，即时，f（x）有最大值0，（11分）当，即x=0时，f（x）有最小值（13分）点评：本题考查三角函数的周期性及其求法，三角函数的最值，考查计算能力，是基础题18设数列an的前n项和为sn，已知对任意正整数n，都有sn+2=2an成立（1）求数列an的通项公式；（2）设，数列bn的前n项和为tn，求证：tn3考点：数列的求和；数列递推式专题：等差数列与等比数列分析：（1）通过s1+2=2a1可知a1=2通过sn+2=2an与sn+1+2=2an+1作差、整理可知数列an是公比为2的等比数列，进而计算可得结论；（2）通过写出tn、tn的表达式，利用错位相减法计算即得结论解答：（1）解：当n=1时，s1+2=2a1，所以a1=2因为sn+2=2an，则sn+1+2=2an+1两式相减，得sn+1sn=2（an+1an），即an+1=2（an+1an），即an+1=2an所以数列an是首项为2、公比为2的等比数列，故（2）证明：，得=，tn3点评：本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题19如图所示，在平面四边形abcd中，与的夹角为，与的夹角为（1）求cde的面积s；（2）求考点：余弦定理；平面向量数量积的运算；正弦定理专题：解三角形；平面向量及应用分析：（1）由题意可得daab，de=1，ec=，ea=2，adc=，bec=设ced=运用余弦定理和正弦定理，再由面积公式，即可得到所求s；（2）求得cos，以及cosaeb=cos（），再由解直角三角形，即可得到所求解答：解：由题意可知：daab，de=1，ec=，ea=2，adc=，bec=设ced=（1）在cde中，由余弦定理，得ec2=cd2+de22cddecosedc，于是由题设知，7=cd2+1+cd，即cd2+cd6=0，解得cd=2（cd=3舍去）在cde中，由正弦定理，得，于是，sin=，即sinced=于是，；（2）由题设知，0，于是由（1）知，cos=而aeb=，所以cosaeb=cos（）=coscos+sinsin=cos+sin=+=在rteab中，cosaeb=，故=be=4点评：本题主要考查余弦定理和正弦定理、面积公式的运用，同时考查向量垂直的条件，同角公式和两角差的余弦公式，属于中档题20已知函数f（x）=lnxax+1（ar）（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（2，f（2）处的切线方程；（2）当a时，讨论f（x）的单调性考点：利用导数研究曲线上某点切线方程专题：计算题；导数的概念及应用；导数的综合应用分析：（1）求出当a=1时的函数的导数，切线的斜率，切点坐标，再由点斜式方程，即可得到切线方程；（2）求出f（x）的导数，令g（x）=ax2x+1a，x0，对a讨论，当a=0时，当a0时，a=，若0a，当a0时，函数的单调性，写出单调区间即可解答：解：（1）当a=1时，f（x）=lnx+x+1（x0），f（x）=+1，f（2）=ln2+2，f（2）=1，则切线方程为：y=x+ln2；（2）因为f（x）=lnxax+1，所以f（x）=a=（x0），令g（x）=ax2x+1a，x0，（i）当a=0时，g（x）=x+1（x0），所以当0x1时g（x）0，f（x）0，此时函数f（x）单调递减，x（1，）时，g（x）0，f（x）0此时函数f，（x）单调递增（ii）当a0时，由f（x）=0，解得：x1=1，x2=1，a=，函数f（x）在x0上单调递减，若0a，在（0，1），（1，+）单调递减，在（1，1）上单调递增当a0时，由于10，x（0，1）时，g（x）0，此时f（x）0，函数f（x）单调递减；x（1，）时，g（x）0，f（x）0，此时函数f（x）单调递增综上所述：当a0 时，函数f（x）在（0，1）上单调递减；函数f（x）在 （1，+） 上单调递增当a=时，函数f（x）在（0，+）上单调递减当0a时，函数f（x）在（0，1），（1，+）单调递减，在（1，1）上单调递增点评：本题考查导数的运用：求切线方程和单调区间，考查分类讨论的思想方法，考查运算能力，属于中档题21若数列an（nn*）满足：an0；an2an+1+an+20；a1+a2+an1，则称数列an为“和谐”数列（1）已知数列an，（nn*），判断an是否为“和谐”数列，说明理由；（2）若数列an为“和谐”数列，证明：（nn*）考点：数列的求和；数列递推式专题：点列、递归数列与数学归纳法分析：（1）通过对比“和谐”数列的三