辽宁省大连八中高考数学适应性考试试题 理（含解析）新人教A版.doc

辽宁省大连八中2013年高考适应性考试数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）已知集合m=x|x1|1，n=y|y=log2（x2+2x+3）则mn=（）ax|1x2bx|0x2cx|1x2d考点：对数函数的值域与最值；交集及其运算.专题：计算题分析：解绝对值不等式|x1|1，可以求出集合m，根据二次函数的值域及对数函数的单调性，可以求出集合n，进而根据集合交集运算规则，求出结果解答：解：若|x1|1则1x11即0x2故集合m=x|x1|1=x|0x2，x2+2x+3=（x+1）2+22log2（x2+2x+3）1故n=y|y=log2（x2+2x+3）=y|y1mn=x|1x2故选a点评：本题考查的知识点是对数函数的值域与最值，集合的交集运算，绝对值不等式的解法，其中求出集合m，n是解答本题的关键2（5分）已知i是虚数单位，则复数的虚部等于（）a1bicid1考点：复数的基本概念.专题：计算题分析：根据复数代数形式的乘法计算公式和复数的除法运算公式，计算复数的值，即可得到复数的虚部解答：解：复数=1+i复数的虚部是1，故选d点评：本题考查的知识点是复数代数形式的乘除运算，复数的基本概念，其中根据复数代数形式的乘法计算公式，计算复数的值是解答本题的关键，本题易错误理解虚部的概念3（5分）已知向量，则的最大值为（）a1bc3d9考点：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；三角函数的最值.专题：计算题分析：用向量的坐标运算表示出的大小，再利用三角函数知识求最大值解答：解：=1+42（cos+sin）=54sin（+），当4sin（+）=1时，取得最大值9，的最大值为3故选c点评：本题考查向量的运算，向量的模、三角函数的性质，考查计算能力4（5分）设等差数列an的前n项和为sn，若2a8=6+a11，则s9的值等于（）a54b45c36d27考点：等差数列的前n项和.专题：计算题分析：由已知2a8=a11+6，结合等差数列的性质可得，2a8=a11+a5=a11+6从而可得，a5=6，代入等差数列的前n项和，然后利用利用等差数列的性质及所求的a5的值代入可求得答案解答：解：2a8=a11+6由等差数列的性质可得，2a8=a11+a5=a11+6从而可得，a5=6由等差数列的前n项和可得，故选：a点评：本题主要考查了等差数列的前n项和的求解，关键是由已知2a8=a11+6，结合等差数列的性质可得，2a8=a11+a5=a11+6，求出a5，在求和时利用等差数列的和时又一次利用了性质a1+a9=2a5灵活利用等差数列的性质是解得本题的关键5（5分）下列四个命题中的真命题为（）axr，使得sinx+cosx=1.5bxr，总有x22x30cxr，yr，y2xdxr，yr，yx=y考点：命题的真假判断与应用；全称命题；特称命题.专题：证明题分析：根据和差角公式，结合正弦型函数的性质，可得sinx+cosx，进而判断出a的真假；令x=0，可判断b答案和c答案的真假，令x=1可判断d答案的真假解答：解：sinx+cosx=sin（x+），由1.5，故a错误；当x=0时，x22x3=30，故b错误；当x=0时，y2x恒不成立，故c错误；当x=1时，yr，yx=y，故d正确；故选d点评：本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，全称命题，特称命题，其中熟练掌握全称命题和特称命题真假判断的方法，是解答本题的关键6（5分）要得到函数的图象，只需将函数y=sin2x的图象（）a向左平移个单位b向右平移个单位c向左平移个单位d向右平移个单位考点：函数y=asin（x+）的图象变换.专题：计算题分析：首先对函数式进行整理，利用诱导公式把余弦转化成正弦，看出两个函数之间的差别，得到平移的方向和大小解答：解：=sin（+）=sin（2x+）=sin2（x+）y=sin2x只要向左平移个单位就可以得到上面的解析式的图象故选a点评：本题考查三角函数的图象的平移，本题解题的关键是把要平移的两个函数之间的不同名转化成同名，本题是一个易错题7（5分）已知某几何体的三视图如图（单位m）所示，则这个几何体的外接球的表面积（单位：m2）等于（）abc8d16考点：由三视图求面积、体积.专题：计算题分析：由三视图知，几何体是一个正三棱柱，三棱柱的底面是一边长为2的正三角形，侧棱长是2，先求出其外接球的半径，再根据球的表面公式即可做出结果解答：解：由三视图知，几何体是一个正三棱柱，三棱柱的底面是边长为2的正三角形，侧棱长是2，如图，设o是外接球的球心，o在底面上的射影是d，且d是底面三角形的重心，ad的长是底面三角形高的三分之二ad=，在直角三角形oad中，ad=，od=，oa=则这个几何体的外接球的表面积4oa2=4=故选b点评：本题考查由三视图求几何体的表面积，本题是一个基础题，题目中包含的三视图比较简单，几何体的外接球的表面积做起来也非常容易，这是一个易得分题目8（5分）按照如图所示的程序框图执行，若输出的结果为15，则m处的条件可为（）ak8bk8ck16dk16考点：程序框图.专题：图表型分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加k值到s并输出s解答：解：程序运行过程中，各变量的值如下表示：s k 是否继续循环循环前 0 1/第一圈 1 2 是第二圈 3 4 是第三圈 7 8 是第四圈 15 16 否故退出循环的条件应为k16故选d点评：程序填空是重要的考试题型，这种题考试的重点有：分支的条件循环的条件变量的赋值变量的输出其中前两点考试的概率更大此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误9（5分）把五位领导派往三个不同的城市监督检查指导食品卫生工作，要求每个城市至少派一位领导的不同分配方案有（）a36种b150种c240种d300种考点：排列、组合的实际应用；排列、组合及简单计数问题.专题：计算题；分类讨论分析：根据题意，分析可得把五位领导派往三个不同的城市，这5人有2种分组方法，即一个城市3人，其他的二个城市各派1人，一个城市1人，其他的两个城市各派2人；进而分别求出每种分组方法中不同的分派方案的数目，再由分类计数原理计算可得答案解答：解：根据题意，把五位领导派往三个不同的城市，这5人有2种分组方法，即一个城市3人，其他的二个城市各派1人，一个城市1人，其他的两个城市各派2人；中，此时有种分组方法，分派到三个城市，有a33=60种分派方法；中，此时有种分组方法，分派到三个城市，有a33=90种分派方法；则不同的分派方案有60+90=150种；故选b点评：本题考查排列组合的综合运用，解题时注意先分类（组），再分派到各地10（5分）过抛物线y2=2px（p0）的焦点f作直线交抛物线于a、b两点，o为抛物线的顶点则abo是一个（）a等边三角形b直角三角形c不等边锐角三角形d钝角三角形考点：抛物线的简单性质.专题：计算题分析：设出a，b点坐标，以及直线ab的方程，联立直线方程与抛物线方程，用向量的坐标公式求再代入向量的夹角公式，求出aob的余弦值，再判断正负即可解答：解：设a（x1，y1），b（x2，y2），ab方程由 ，得y22pmyp2=0，=，aob为钝角，abo为钝角三角形故选d点评：本题考查了直线与抛物线的位置关系，关键是用坐标表示向量的数量积11（5分）已知函数f（x）=x3sinx，（xr），对于任意的x1+x20，x2+x30，x3+x10，下面对f（x1）+f（x2）+f（x3）的值有如下几个结论，其中正确的是（）a零b负数c正数d非以上答案考点：正弦函数的单调性；正弦函数的奇偶性.专题：计算题分析：通过函数的表达式，判断函数的单调性，与奇偶性，根据任意的x1+x20，x2+x30，x3+x10，判断f（x1）+f（x2）+f（x3）的符号解答：解：函数f（x）=x3sinx，（xr），是奇函数，而且f（x）=3x2cosx，f（x）0；函数是减函数，f（0）=0，所以对于任意的x1+x20，x2+x30，x3+x10，x1x2，x2x3，x3x1即f（x1）+f（x2）0，f（x2）+f（x3）0，f（x3）+f（x10，所以f（x1）+f（x2）+f（x3）0故选b点评：本题考查函数的导数的应用，函数的单调性奇偶性，考查学生的逻辑推理能力，计算能力12（5分）已知f（x）是定义在r上的奇函数，且f（1）=0，f（x）是f（x）的导函数，当x0时总有xf（x）f（x）成立，则不等式f（x）0的解集为（）ax|x1或x1bx|x1或0x1cx|1x0或0x1dx|1x1，且x0考点：函数的单调性与导数的关系；其他不等式的解法.专题：计算题；压轴题分析：由已知当x0时总有xf（x）f（x）成立，可判断函数g（x）=为减函数，由已知f（x）是定义在r上的奇函数，可证明g（x）为（，0）（0，+）上的偶函数，根据函数g（x）在（0，+）上的单调性和奇偶性，模拟g（x）的图象，而不等式f（x）0等价于xg（x）0，数形结合解不等式组即可解答：解：设g（x）=，则g（x）的导数为g（x）=，当x0时总有xf（x）f（x）成立，即当x0时，g（x）恒小于0，当x0时，函数g（x）=为减函数，又g（x）=g（x）函数g（x）为定义域上的偶函数又g（1）=0函数g（x）的图象性质类似如图：数形结合可得不等式f（x）0xg（x）0或0x1或x1故选b点评：本题主要考查了利用导数判断函数的单调性，并由函数的奇偶性和单调性解不等式，属于综合题二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13（5分）（2012南宁模拟）（1x+x2）（1+x）6的展开式中x5项的系数等于11（用数字作答）考点：二项式定理的应用.专题：计算题分析：先将（1x+x2）（1+x）6化为（1+x3）（1+x）5再利用多项式的乘法分类求解解答：解：（1x+x2）（1+x）6=（1x+x2）（1+x）（1+x）5=（1+x3）（1+x）5展开式中x5项由1+x3中的常数项，x3项分别与（1+x）5展开式中的 x5，x2项相乘得到，（1+x）5展开式的通项为c5rxr，所以其系数为1c55+1c52=1+10=11故答案为：11点评：本题考查了二项式定理的应用：求展开式中指定项的系数既利用了二项式定理，又需要多项式的乘法考查分类与计算能力14（5分）设约束条件为，则目标函数z=|2xy+1|的最大值是7考点：简单线性规划.专题：数形结合分析：法一：先根据条件画出可行域，设z=|2xy+1|=，其中表示点（x，y）到直线2xy+1=0的距离，再利用z几何意义是点到直线的距离的倍求最值，只需求出可行域内的点a（3，0）时距离取得最大值，从而得到z最大值即可法二：先根据约束条件画出平面区域，然后平移直线y=2x+1，当过点（3，0）时，直线在y轴上的截距最小，过点（0，3）时，直线在y轴上的截距最大，从而求出2xy+1的范围，最后得出所求解答：解：先根据约束条件画出可行域，法一：平移直线y=2x+1，由图易得，当x=3，y=0时，目标函数2xy+1的最大值为7；当x=0，y=3时，目标函数2xy+1的最小值为2；从而得出目标函数z=|2xy+1|的最大值是 7法二：z=|2xy+1|=，其中表示点（x，y）到直线2xy+1=0的距离，可行域内点a（3，0）时可行域内点到直线2xy+1=0的距离最大，最大值为 ，目标函数z=|2xy+1|的最大值为7，故答案为：7点评：本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题，这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解15（5分）（2012梅州一模）已知双曲线（a0，b0）的右焦点为f，若过点f且倾斜角为60的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率的取值范围是2，+）考点：双曲线的简单性质.专题：计算题；压轴题分析：若过点f且倾斜角为60的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率根据这个结论可以求出双曲线离心率的取值范围解答：解：已知双曲线 的右焦点为f，若过点f且倾斜角为60的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率 ，离心率e2=，e2，故答案为：2，+）点评：本题考查双曲线的性质及其应用，解题时要注意挖掘隐含条件16（5分）在三棱锥tabc中，ta，tb，tc两两垂直，t在底面abc内的正投影为d，下列命题：d一定是abc的垂心；d一定是abc的外心；abc是锐角三角形；其中正确的是（写出所有正确的命题的序号）考点：三角形五心.专题：计算题；压轴题分析：对于，ta，tb，tc两两垂直可得：直线ta与平面tbc垂直，从而得出：tabc，同理得到tbac，tcab；对于问题可由知由于三角形不一定是特殊三角形因此垂心不一定是外心对于问题可以通过余弦定理解决对于，在直角三角形ate中，利用平面几何中面积相等公式及射影定理即可证得；解答：解：选项正确理由如下：t在底面abc内的正投影为dtd面abctdbc在三棱锥tabc中，ta，tb，tc两两垂直且tbtc=tta面tbctabctdtc=tbc面tadadbc同理可得bdac，cdabd是abc的垂心故选项正确对于问题可由知由于三角形不一定是特殊三角形因此垂心不一定是外心对于设ta=a；tb=b；tc=c，则ab2=a2+b2，同理bc2=c2+b2，ac2=a2+c2，在三角形abc中，由余弦定理得：cosa=0，同理可证cosb0，cosc0，所以abc是锐角三角形故对对于设ta=a；tb=b；tc=c，在直角三角形tbc中，得：te=，在三角形abc中，有：ae=由于aetd=tatetd=aa2b2c2=（a2b2+b2c2+d2c2）td2成立故对故答案为点评：本题考查棱锥的结构特征以及解三角形的有关理论，在立体几何中考查平面几何问题，要注意在空间的某个平面内，平面几何的有关定理、公式等结论仍然成立本题还考查类比推理，属于中档题三、解答题：本大题共6题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17（12分）在abc中，已知a、b、c的对边分别为a、b、c，且c=2a（1）若abc为锐角三角形，求的取值范围；（2）若，a+c=20，求b的值考点：余弦定理；正弦定理.专题：计算题分析：（1）利用正弦定理化简所求的式子，把c=2a代入，并利用二倍角的正弦函数公式化简得到结果为2cosa，由三角形为锐角三角形，且c=2a，可求出a的取值范围，根据余弦函数的图象与性质得出余弦函数cosa的值域，进而确定出所求式子的范围；（2）由第一问得出的=2cosa及cosa的值，得出的值，与a+c=20联立组成方程组，求出方程组的解集得到a与c的值，最后由a，c及cosa的值，利用余弦定理列出关于b的方程，求出方程的解即可得到b的值解答：解：（1）根据正弦定理有，（2分）在abc为锐角三角形中，可得三个角都为锐角，由c=2a，得到ca，可得c60，即2a60，解得：a30，同时c90，即2a90，解得：a45，（4分）30a45，cosa（，），即2cosa（，），则；（6分）（2）由（1），又，得，与a+c=20联立得：，（8分）再由余弦定理有a2=b2+c22bccosa，即64=b2+14418b，解得b=8或b=10，（10分）若a=8，可得a=b，三角形为等腰三角形，又c=2a，可得c为直角，即三角形为等腰直角三角形，即a=45，可得cosa=，故b=8要舍去则b=10点评：此题考查了正弦、余弦定理，二倍角的正弦函数公式，以及余弦函数的定义域和值域，熟练掌握定理及公式是解本题的关键同时注意b=8舍去的原因18（12分）（2010烟台一模）某大学开设甲、乙、丙三门选修课，学生是否选修哪门课互不影响已知某学生选修甲而不选修乙和丙的概率为0.08，选修甲和乙而不选修丙的概率是0.12，至少选修一门的概率是0.88，用表示该学生选修的课程门数和没有选修的课程门数的乘积（1）记“函数f（x）=x2+x为r上的偶函数”为事件a，求事件a的概率；（2）求的分布列和数学期望考点：离散型随机变量及其分布列；等可能事件的概率；离散型随机变量的期望与方差.专题：计算题分析：（1）由于学生是否选修哪门课互不影响，利用相互独立事件同时发生的概率解出学生选修甲、乙、丙的概率，由题意得到=0时，表示该学生选修三门功课或三门功课都没选，根据互斥事件的概率公式得到结果（2）用表示该学生选修的课程门数和没有选修的课程门数的乘积，所以变量的取值是0或2，结合第一问解出概率，写出分布列，算出期望解答：解：设该学生选修甲、乙、丙的概率分别为x、y、z依题意得，解得（1）若函数f（x）=x2+x为r上的偶函数，则=0当=0时，表示该学生选修三门功课或三门功课都没选p（a）=p（=0）=xyz+（1x）（1y）（1z）=0.40.50.6+（10.4）（10.5）（10.6）=0.24事件a的概率为0.24（2）依题意知的取值为0和2由（1）所求可知p（=0）=0.24p（=2）=1p（=0）=0.76则的分布列为的数学期望为e=00.24+20.76=1.52点评：求离散型随机变量的分布列和期望是近年来理科高考必出的一个问题，题目做起来不难，运算量也不大，只要注意解题格式就问题不大，解题的关键是正确理解题意19（12分）（2013茂名一模）如图，四边形pdce为矩形，四边形abcd为梯形，平面pdce平面abcd，bad=adc=90，ab=ad=cd=a，pd=a（1）若m为pa中点，求证：ac平面mde；（2）求平面pad与pbc所成锐二面角的大小考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定.专题：计算题分析：（1）连接pc，交de与n，连接mn，所以mnac，再根据线面平行的判定定理可得答案（2）以d为空间坐标系的原点，分别以 da，dc，dp所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，分别求出两个平面的法向量，再求出两个向量的夹角，进而转化为二面角的平面角解答：解：（1）证明：连接pc，交de与n，连接mn，在pac中，m，n分别为两腰pa，pc的中点mnac，（2分）又ac面mde，mn面mde，所以 ac平面mde（4分）（2）以d为空间坐标系的原点，分别以 da，dc，dp所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则p（0，0，a），b（a，a，0），c（0，2a，0），所以，（6分）设平面pad的单位法向量为，则可取 （7分）设面pbc的法向量，则有即：，取z=1，则（10分）设平面pad与平面pbc所成锐二面角的大小为，（11分）=60，所以平面pad与平面pbc所成锐二面角的大小为60（12分）点评：本题考查的知识点是二面角的平面角及求法，直线与平面平行的判定，求二面角的平面角的关键是找到角，再求出角，解决此类问题也可以建立坐标系，利用空间向量求出空间角与空间距离20（12分）已知椭圆c：（ab0）的一个焦点是（1，0），两个焦点与短轴的一个端点构成等边三角形（）求椭圆c的方程；（）过点q（4，0）且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆c于a、b两点，设点a关于x轴的对称点为a1（）求证：直线a1b过x轴上一定点，并求出此定点坐标；（）求oa1b面积的取值范围考点：椭圆的简单性质；椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题.专题：计算题；数形结合；转化思想分析：（）根据焦点坐标求得c，根据椭圆两个焦点与短轴的一个端点构成等边三角形求得a和c的关系式，进而求得a和b，则椭圆的方程可得（）（i）设出直线l的方程，与椭圆方程联立消去x，设出a，b的坐标，则可利用韦达定理求得y1y2和y1+y2的表达式，根据a点坐标求得关于x轴对称的点a1的坐标，设出定点，利用tb和ta1的斜率相等求得t（ii）由（i）中判别式0求得m的范围，表示出三角形oa1bd面积，利用m的范围，求得m的最大值，继而求得三角形面积的范围解答：解：（）因为椭圆c的一个焦点是（1，0），所以半焦距c=1因为椭圆两个焦点与短轴的一个端点构成等边三角形所以，解得a=2，b=所以椭圆的标准方程为（）（i）设直线l：x=my+4与联立并消去x得：（3m2+4）y2+24my+36=0记，由a关于x轴的对称点为a1，得a1（x1，y1），根据题设条件设定点为t（t，0），得，即所以=即定点t（1，0）（ii）由（i）中判别式0，解得|m|2可知直线a1b过定点t（1，0）所以|ot|y2（y1）|=，得，令t=|m|记，得，当t2时，（t）0在（2，+）上为增函数所以，得故oa1b的面积取值范围是点评：本题主要考查直线与椭圆的位置关系、不等式的解法等基本知识，考查运算求解能力和分析问题、解决问题的能力21（12分）（2010盐城二模）设函数f（x）=x2，g（x）=alnx+bx（a0）（）若f（1）=g（1），f（1）=g（1），求f（x）=f（x）g（x）的极小值；（）在（）的条件下，是否存在实常数k和m，使得f（x）kx+m和g（x）kx+m？若存在，求出k和m的值若不存在，说明理由（）设g（x）=f（x）+2g（x）有两个零点x1，x2，且x1，x0，x2成等差数列，试探究g（x0）值的符号考点：利用导数研究函数的极值；函数的零点；利用导数求闭区间上函数的最值；等差数列的性质.专题：计算题；压轴题分析：（1）由f（1）=g（1），f（1）=g（1）得到a与b的值，因为f（x）=f（x）g（x）求出导函数讨论在区间上的增减性得到函数的极值即可；（2）因f（x）与g（x）有一个公共点（1，1），而函数f（x）=x2在点（1，1）的切线方程为y=2x1，下面验证都成立即可由x22x+10，得x22x1，知f（x）2x1恒成立设h（x）=lnx+x（2x1），即h（x）=lnxx+1，易知其在（0，1）上递增，在（1，+）上递减，所以h（x）=lnx+x（2x1）的最大值为h（1）=0，所以lnx+x2x1恒成立故存在；（3）因为g（x）=f（x）+2g（x）有两个零点x1，x2，把两个零点代入到g（x）中，得一式子，然后求出导函数讨论两个零点的大小得到g（x0）值的符号为正解答：解：（1）由f（1）=g（1），f（1）=g（1）得，解得a=b=1则f（x）=f（x）g（x）=x2lnxx，f（x）=2x1x=1或x=，当x或x1时，f（x）0，函数为增函数；当x1时，f（x）0，函数为减函数得到f（x）极小值=f（1）=0；（2）因f（x）与g（x）有一个公共点（1，1），而函数f（x）=x2在点（1，1）的切线方程为y=2x1，下面验证都成立即可由x22x+10，得x22x1，知f（x）2x1恒成立设h（x）=lnx+x（2x1），即h（x）=lnxx+1，易知其在（0，1）上递增，在（1，+）上递减，所以h（x）=lnx+x（2x1）的最大值为h（1）=0，所以lnx+x2x1恒成立故存在这样的k和m，且k=2，m=1（3）g（x0）的符号为正，理由为：因为g（x）=x2+2alnxbx有两个零点x1，x2，则有，两式相减得x22x12a（lnx2lnx1）b（x2x1）=0，即，于是g（x0）=2x0b=（x1+x2b）=当0x1x2时，令=t，则t1，且u（t）=0，则u（t）=lnt在（1，+）上为增函数，而u（1）=0，所以u（t）0，即lnt0，又因为a0，x2x10所以g（x0）0；当0x2x1时，同理可得：g（x0）0综上所述：g（x0）的符号为正点评：考查学生利用导数研究函数极值的能力，利用导数求闭区间上函数极值的能力选做题：（22、23、24任选一题，如果都做，按第一题计分）22（10分）如图，已知abc中的两条角平分线ad和ce相交于h，b=60，f在ac上，且ae=af（1）证明：b，d，h，e四点共圆；（2）证明：ce平分def考点：三角形中的几何计算.专题：证明题；综合题分析：（i），要证明b，d，h，e四点共圆