高考数学 9 函数与方程能力提升训练.doc

函数的零点与方程的根专题能力提升训练9一、知识要点1.零点的概念（1）定义使函数的实数的值叫的零点.（2）几何意义及代数意义的零点曲线与轴的交点的横坐标方程的实根.2.零点的性质（1）函数的图象穿过零点时，函数值变号；（2）相邻两零点之间的函数值同号.3.零点存在性的判断（零点定理）（1）在区间上的连续函数满足，则至少存在一个实数，使得，即在上至少存在一个零点.若在上严格单调，则在上存在唯一实数，使得.4.求方程的实根（或判断实根个数）的方法（1）代数法：解方程；（2）数形结合法：求曲线与轴的交点；（3）辅助函数法：求曲线与的交点个数，转化为求函数的零点个数.5.用“二分法”求零点的近似值（1）给定区间及精确度，验证；（2）求区间的中点，计算；（3）验证与的符号：若，则为零点；若，则零点，令；若，则零点，令；判断是否成立，若成立，则任取中的一个数为零点，否则，重复至的步骤.二、考点演练一、选择题1.若关于的方程有4个不同的实数解，则实数的取值范围是（ ）a. b. c. d.2.函数的所有零点之和等于（ ）a.6 b.7.5 c.9 d.123.已知函数是偶函数，且，当时，则方程在区间上的解的个数是（ ）a.8 b.9 c.10 d.114.若实数满足，则的最小值为（ ）a. b.2 c. d.85.已知函数，若方程有且只有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ）a. b.c. d.6.设函数，则函数的零点的个数为（ ）a.4 b.5 c.6 d.77.已知，符号表示不超过的最大整数，若函数有且仅有3个零点，则的取值范围是（ ）a. b.c. d.8.已知定义在r上的偶函数满足，且当时，其中，若方程恰有5个实数解，则的取值范围为（ ）a. b.c. d.二、填空题9.已知方程有两个不同的实数根.（1）实数的取值范围是_；（2）若方程的两根满足，则实数的值等于_.10.已知函数，若方程有两个实数根，则实数的取值范围是_.11.求方程的解有如下解题思路：设，则在上单调递减，且，所以原方程有唯一解.类比上述解题思路，方程的所有实数解之和为_.12.若函数在区间上的值域为，则实数的取值范围为_.13.函数的零点个数为_.14.设方程的根为，方程的根为，则的值为_.15.设是定义在r上的偶函数，对于，都有，且当时，若在区间内关于的方程恰有7个不同的实数根，则的取值范围是_.16.方程的所有实数解之和等于_.17.已知函数，若存在实数满足，其中，则的取值范围是_.18.若方程的所有根所对应的点均在直线的同侧，则实数的取值范围是_.三、解答题19.设函数.（1）设，证明：在区间内存在唯一零点；（2）设，若对于，有，求的取值范围；（3）在（1）的条件下，设是在内的零点，判断数列的增减性.20.已知函数，.（1）若恒成立，求实数的值；（2）若方程有一根为，方程的根为，是否存在实数，使？若存在，求出所有满足条件的的值；若不存在，说明理由.函数的零点与方程的根专题能力提升训练一、选择题1.若关于的方程有4个不同的实数解，则实数的取值范围是（ ）【答案】ca. b. c. d.【解析】因为，所以是方程的1个解，于是只需当时，方程有3个非0实数解，即函数与的图象有三个不同的交点.（1）当时，显然不满足条件.（2）当时，其中时，与有1个交点，所以只需时，与有2个交点即可，所以.因为，令切点为，所以，于是，解之得，于是，所以，即，所以.2.函数的所有零点之和等于（ ）【答案】ca.6 b.7.5 c.9 d.12【解析】由=0，得，所以所有的零点之和即为曲线与上半圆的交点的横坐标之和，由图象知它们有6个交点，由于它们的图象均关于直线对称，所以6个交点为3对对称点，每对对称点的横坐标之和为3，所以3对对称点的横坐标之和等于9.3.已知函数是偶函数，且，当时，则方程在区间上的解的个数是（ ）【答案】ba.8 b.9 c.10 d.11【解析】函数是偶函数，且，是以4为周期的周期函数，且对称轴为，当时， 其图像如图所示，所以交点个数为9个.4.若实数满足，则的最小值为（ ）【答案】da. b.2 c. d.8【解析】，即，即分别是函数和的图象上的点.，所以问题转化为求曲线上的点到直线上的点n的距离的最小值.由，得.因为直线的斜率为1，所以 ，解之得(舍去)，.由，得，所以到直线的最小距离为，从而有.5.已知函数，若方程有且只有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ）【答案】aa. b.c. d.【解析】当时，由，得.根据图象知只需，即.6.设函数，则函数的零点的个数为（ ）【答案】ca.4 b.5 c.6 d.7【解析】令，则.所以的零点个数即为曲线与的交点个数，由图象知交点个数为6个.7.已知，符号表示不超过的最大整数，若函数有且仅有3个零点，则的取值范围是（ ）【答案】ca. b. c. d.【解析】由，得，所以曲线与有且仅有3个交点，由图象知，过原点的直线只能从点的上方与点的下方穿过，且不能过点，但可过点，所以.8.已知定义在r上的偶函数满足，且当时，其中，若方程恰有5个实数解，则的取值范围为（ ）【答案】ba. b.c. d.【解析】当时，将函数化为方程，其图象为一个上半椭圆，时，图象为一条折线段.由，得，所以问题转化为曲线与直线有5个交点.因为当时，即时的折线段与直线无交点，所以要有5个交点，只需直线与时的半椭圆相交，与时的半椭圆不相交即可.由，得，令，则，由，得，于是.同理，联立，由，得.综上得.二、填空题9.已知方程有两个不同的实数根.（1）实数的取值范围是_；【答案】（2）若方程的两根满足，则实数的值等于_.【答案】【解析】由，得，问题转化为过定点的直线与下半圆有两个交点.（1）由图象知直线只能从切线的上方与点的下方穿过，且不能相切，但能过点，所以.（2）由，得ac=2ab，令，则，由，得，解之得，即，又因为圆的半径为1，于是圆心到bc的距离为.从而，解之得(舍).o oabcd10.已知函数，若方程有两个实数根，则实数的取值范围是_.【答案】【解析】方程有两个实数根，即与的图象有两个交点.由已知得，由图象知只需，即，所以.11.求方程的解有如下解题思路：设，则在上单调递减，且，所以原方程有唯一解.类比上述解题思路，方程的所有实数解之和为_.【答案】1【解析】令，因为，所以在r上单调递增.由，得，即.由单调递增，得，解之得，所以.12.若函数在区间上的值域为，则实数的取值范围为_.【答案】【解析】13.函数的零点个数为_.【答案】2【解析】由=0，得，由与的图象知有2个交点.14.设方程的根为，方程的根为，则的值为_.【答案】3【解析】即为与的图象的交点p的横坐标；即与的图象的交点q的横坐标.因为与的图象关于直线对称，直线也关于对称，所以两个交点关于对称，于是与的交点即为pq的中点，所以.15.设是定义在r上的偶函数，对于，都有，且当时，若在区间内关于的方程恰有7个不同的实数根，则的取值范围是_.【答案】【解析】方程在有7个实数根，即为与的图象有7个交点，由已知得是周期为2的周期函数，由图象得，解之得.16.方程的所有实数解之和等于_.【答案】8【解析】和的图象有公共的对称中心，由图象知它们在上有8个交点，分别为4对对称点，每一对的横坐标之和等于2，所以所有的横坐标之和等于8.17.已知函数，若存在实数满足，其中，则的取值范围是_.【答案】【解析】由，得，所以(舍)，或，即.又由图象知，即，所以.而，所以，即.18.若方程的所有根所对应的点均在直线的同侧，则实数的取值范围是_.【答案】三、解答题19.设函数.（1）设，证明：在区间内存在唯一零点；（2）设，若对于，有，求的取值范围；（3）在（1）的条件下，设是在内的零点，判断数列的增减性.【解析】（1）当时，.又因为当时，.（2）当时，.对任意的上的最大值与最小值之差.据此分类讨论如下：.综上得.（3）证