辽宁省高二数学 双曲线的标准方程教学案例.doc

辽宁省东北育才学校高中部高二数学 双曲线的标准方程教学案例学生2:我感觉有无数个.老师:理由?学生2:暂时没想好,就是感觉有无数个.老师:数学是严谨的,不能全靠感觉,有没有想发言的?(略等一会,大家没有举手的)我们现在不管结果如何?来看看解决这道题的有没有合适的解题思路?可以想一想我们所学的数学思想.学生3:根据解析几何思想,我们不妨建立适当的直角坐标系,设爆炸点坐标为p(x,y),根据几何条件写出方程,通过研究此方程的解的个数来判断能不能确定爆炸点的具体位置.(此时掌声已经响起)老师:说的非常的好,用方程的解的个数来判断爆炸点的个数,很有创意.那我们来看,几何条件是什么呢?(边问边写) /pa/-/pb/=4x330=1320.(边指着这个式子边说)差为1320,那把这个问题一般化,现在就要看p点到a点与到b点的距离的差为常数的点的轨迹问题.为了直观起见,我带来一块小黑板,请上来两个同学协助我做个实验,我这里有两段长度不等的绳子,将这两段绳子的各一端放在一起打个结,另一端分别固定在小黑板的两个螺丝钉上,注意绳长之差小于两螺丝钉之间的距离.(老师和学生一起合作画出曲线,把两段绳子的固定点交换位置,再画出另一支曲线,具体操作略)老师:如果黑板无限大,绳子无限长,这两支曲线向四个方向无限延伸,我把这样的两支曲线合在一起叫做双曲线,请同学们根据我们的演示,归纳出双曲线的定义（1分钟后）学生3: 平面内与两个定点，的距离的差的等于常数的点的轨迹叫做双曲线有几个学生小声说: 差的绝对值.老师:有同学说”差的绝对值”,为什么要加”绝对值”.(老师指向应和的一位学生,让他回答)学生4:如果不加绝对值,只能表示其中一支曲线.老师:很好.那加上绝对值是不是就可以了呢?还有没有持不同意见的.学生5:刚才老师说. 绳长之差小于两螺丝钉之间的距离,所以我认为常数应该小于两螺丝钉之间的距离.老师:相当不错,跟椭圆一样,应该有个条件,条件就是这位学生所说的.(老师边说边写出定义: 平面内与两个定点，的距离的差的绝对值等于常数（小于）的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做双曲线的焦距。)那么,常数大于或等于的轨迹又是什么样的呢?学生6:若相等,动点p的轨迹是分别以点f1、f2为端点，方向指向f1f2外侧的两条射线.若大于,动点p的轨迹不存在.这是因为a、c的关系违背了三角形中两边之差小于第三边的性质.老师:其实双曲线不是我们数学书上独有的,在生活和生产中有着广泛的应用,请看大屏幕.冷却塔马鞍曲线型导航系统 双曲线型交通枢纽老师:看到这些,我想问双曲线到底是什么受到这么多的人的青睐?这样的曲线到底有什么秘密呢?要研究曲线的性质,我们又该怎么办呢?众学生:建系,求方程.老师:不错,那我们如何建系呢?(我拿起刚才所用的小黑板)学生7: 取过焦点f1、f2的直线为x轴，线段f1f2的垂直平分线为y轴建立直角坐标系老师:(边在黑板上画坐标系边问)理由?学生7:根据椭圆的做法.老师:很好,我们再设m(x，y)为双曲线上任意一点，双曲线的焦距是2c(c0)，那么f1、f2的坐标分别是(-c，0)、(c，0)又设点m与f1、f2的距离的差的绝对值等于常数2a老师:几何条件?学生齐声说: |mf1|-|mf2|=2a.老师:也可以写成(边说边写): |mf1|-|mf2|=2a,代入坐标得:-=2a.这就是双曲线的方程,但通过这个方程我们很难研究它的几何性质,有必要进行化简,下面给大家一点时间把这个方程化简一下,看谁化的最简单,我们就用他得到的方程来研究双曲线的性质,我还想找个同学到黑板上来化简, 谁愿意?(学生8上来化简,老师同时在黑板上画出双曲线和相应的坐标系，随后老师巡视,指导遇到困难的学生,4分钟后,上黑板的同学已经完成,老师让他做了详细的讲解,重点强调a与b以及c的关系,同时比较椭圆里的a与b的大小关系) .老师:感谢这位学生,这样我们就得到了形式优美,根椭圆又有点类似的方程,我记得椭圆有两种建系方式, 双曲线呢?(我把小黑板逆时针旋转90度)学生9: 取过焦点f1、f2的直线为y轴，线段f1f2的垂直平分线为小轴建立直角坐标系（老师同时画出双曲线和相应的坐标系）老师:方程如何?学生: 将里的小x、y对调，得到。老师:为什么？学生:椭圆就是这样处理的。老师:很好，其实大家看小黑板，刚才的x轴变成了y轴；刚才的y轴变成了x轴，但方向相反。所以把里的x变成y，y变成-x，所以得到了。老师: 和形式都比较简单，研究其几何性质也比较容易，所以我们把这两个方程都叫做双曲线的标准方程。(随即在黑板上写出标题)老师:下面请大家分析分析这两个标准方程的特点,谁先说.学生: 双曲线的方程右边为1，左边是两个完全平方项，符号一正一负，如果x2的系数为正,则焦点在x轴上,如果y2的系数为正,则焦点在y轴上.老师:非常不错,我们知道椭圆的标准方程里谁的分母较大,焦点就在哪条轴上,而双曲线的标准方程里,焦点的位置看系数的正负,另外椭圆标准方程里ab,而双曲线的标准方程里a与b没有大小关系.老师:下面通过一个练习来看大家掌握的到底怎样?(一组练习有大屏幕给出,让学生口答) 练习：说出以下曲线的焦点坐标及a、 b 、c的值老师:现在我们已经掌握了双曲线的定义和标准方程,那回到刚上课时的实际问题,(有大屏幕再次给出实际问题,学生思考半分钟)学生10:我认为爆炸点应在以a、b为焦点的双曲线上，所以不能确定爆炸点的位置。老师:为什么？学生10：有双曲线的定义知道的。老师：具体点。学生10：因为爆炸点到a与b的距离的差为1320米。老师：好，请坐，有没有持不同的意见的。学生11：我觉得还应强调1320大于a与b之间的距离2000。老师：很好，考虑的很到位，的确需要强调这一点。同时我在这里发现a比b到爆炸点的距离要长，所以更准确点说在双曲线靠近b点的那一支上。（在学生回答问题的同时，老师板书过程）老师：“要想确定爆炸点的准确位置，应采取什么措施？”学生12：如果能知道声音的来向就可以了。老师：的确如此，好你来回答（这时又有学生举手）。学生13：再设置一个哨所c，找出它与比如b处所听到的时间差，就可以了。老师：为什么？学生13：这样又可以画出双曲线的一支来，从而确定交点的位置。（此时掌声已经想起）老师：太好了，其实你已经发明了双曲线型导航系统。（再次展示地图，老师简要介绍双曲线型导航系统的原理）老师：好了，我们来总结一下本节课，（学生思考了一会，老师接着说）本节课通过研究实际问题再一次体验了坐标法研究曲线的方法； 2）知识上学习了双曲线的定义和标准方程；3）在研究双曲线过程我们不时地与椭圆类比，类比思想是我们学习数学和研究事物的基本方法；4）本节课还使用了“由