高考数学一轮复习 6.1数列的概念及其表示课件.ppt

课标版理数 6 1数列的概念及其表示 1 数列的定义按一定次序排成的一列数叫做数列 即a1 a2 a3 an 简记为数列 an 其中 a1称为数列的首项 an称为数列的通项 实际上 数列是关于项数n的 函数 其定义域为正整数集n 或它的子集 2 数列的分类按项数分类 按项的增减性分类 3 数列的表示法 1 列举法 a1 a2 a3 an 2 图象法 数列可用一群孤立的点表示 3 解析式法 公式法 通项公式或递推公式 4 通项公式如果数列 an 的第n项an与项数n之间的函数关系可以用一个公式来表示 那么这个公式就叫做数列的 通项公式 可以记为an f n n n 5 数列的前n项和数列 an 的前n项之和叫做数列的前n项和 常用sn表示 6 sn与通项an的基本关系 an sn a1 a2 an 7 数列的一般性质由于数列 an 可以看作一个关于n n n 的函数 因此它具备函数的某些性质 1 单调性 若an 1 an 则 an 为递增数列 若an 1 an 则 an 为递减数列 2 周期性 若an k an n n k为非零常数 则 an 为周期数列 k为 an 的一个周期 1 数列 an 中 若an 1 a1 1 则a6等于 a 13b c 11d 答案d an 1 a1 1 a2 a3 a4 a5 a6 故选d 2 数列 an 的前n项和为sn 若an 则s5等于 a 1b c d 答案ban 则s5 a1 a2 a3 a4 a5 1 故选b 3 已知数列 an 满足an n n 若 an 是递减数列 则实数a的取值范围是 a b c d 答案d数列 an 为递减数列 需满足解得 a 4 设数列 an 的前n项和为sn 若a1 1 an 1 3sn n n 则s6 a 44b 45c 46 1 d 45 1 答案b an 1 sn 1 sn 3sn sn 1 4sn 又s1 a1 1 sn 是首项为1 公比为4的等比数列 那么sn 1 4n 1 s6 45 故选b 5 数列 an 满足 a1 2 an 1 n 2 3 4 则a12 答案 1解析a1 2 a2 1 a3 1 1 a4 1 2 可知 an 是周期为3的周期数列 则a12 a3 4 a3 1 典例1 2014首师大大兴附中检测 根据数列的前几项 写出下列各数列的一个通项公式 1 1 7 13 19 2 0 8 0 88 0 888 3 4 1 解析 1 符号问题可通过 1 n或 1 n 1来调整 其各项的绝对值的排列规律为 后面的数的绝对值总比前面一个数的绝对值大6 故原数列的一个通项公式为an 1 n 6n 5 由数列的前几项求数列的通项 2 将数列变形为 1 0 1 1 0 01 1 0 001 故原数列的一个通项公式为an 3 各项的分母分别为21 22 23 24 易看出第2 3 4 项的分子分别比分母少3 因此把第1项变为 至此原数列可化为 原数列的一个通项公式为an 1 n 4 将数列统一为 对于分子3 5 7 9 是相应项数的2倍加1 可得分子的一个通项公式为bn 2n 1 对于分母2 5 10 17 联想到数列1 4 9 16 即数列 n2 可得分母的一个通项公式为cn n2 1 原数列的一个通项 公式为an 分式中分子 分母的特征 相邻项的变化特征 拆项后的特征 各项符号特征等 并对此进行归纳 联想 2 根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是利用不完全归纳法 它蕴含着 从特殊到一般 的思想 由不完全归纳得出的结果是不可靠的 要注意代值检验 对于正负符号变化 可用 1 n或 1 n 1来调整 1 据所给数列的前几项求其通项公式时 需仔细观察分析 抓住以下几方面的特征 1 1根据数列的前几项 写出数列的一个通项公式 1 1 3 5 7 2 2 5 10 17 3 4 0 1 0 1 5 1 3 3 5 5 7 7 9 9 6 1 2 2 4 3 8 4 16 5 解析 1 数列的前4项1 3 5 7都是项数的2倍减1 所以原数列的一个通项公式为an 2n 1 2 如果数列的前4项分别减去1 则变为1 4 9 16 所以原数列的一个通项公式为an n2 1 3 分子可构成偶数数列 2n 分母为1 3 3 5 5 7 是两个连续奇数2n 1和2n 1的积 故原数列的一个通项公式为an 4 显然an 是数列的一个通项公式 此数列通项公式的另一种写法为an 5 该数列变形为1 0 2 1 3 0 4 1 5 0 得原数列的一个通项公式为an n 6 奇数项为1 2 3 4 5 偶数项为2 4 8 16 从而原数列的一个通项公式为an 典例2 2013课标全国 14 5分 若数列 an 的前n项和sn an 则 an 的通项公式是an 答案 2 n 1解析由sn an 得 当n 2时 sn 1 an 1 当n 2时 an 2an 1 又n 1时 s1 a1 a1 a1 1 an 2 n 1 由an与sn的关系求通项公式 1 给出sn与an的递推关系 求an 常用思路 一是利用sn sn 1 an n 2 先转化为an的递推关系 再求an 二是转化为sn的递推关系 先求出sn与n之间的关系 再求an 2 数列的通项an与前n项和sn的关系是 an 3 由sn求an时 要分n 1和n 2两种情况讨论 然后验证两种情况可否用统一的式子表示 若不能 则分段表示为an 2 1已知下面各数列 an 的前n项和sn 求 an 的通项公式 1 sn 3n2 2n 1 2 sn 3n b 解析 1 当n 1时 a1 s1 2 当n 2时 an sn sn 1 3n2 2n 1 3 n 1 2 2 n 1 1 6n 5 由于a1 2不适合此等式 an 2 a1 s1 3 b 当n 2时 an sn sn 1 3n b 3n 1 b 2 3n 1 当b 1时 a1适合此等式 当b 1时 a1不适合此等式 当b 1时 an 2 3n 1 n n 当b 1时 an 典例3 2014河南郑州外国语学校月考 18 设公比大于零的等比数列 an 的前n项和为sn 且a1 1 s4 5s2 数列 bn 的前n项和为tn 满足b1 1 tn n2bn n n 1 求数列 an bn 的通项公式 2 设cn sn 1 nbn 若数列 cn 是单调递减数列 求实数 的取值范围 解析 1 由s4 5s2 q 0得q 2 an 2n 1 由tn n2bn 及tn 1 n 1 2bn 1 n 1 n 1 则 n 1 所以bn n 1 又当n 1时该式也成立 故bn 由递推公式求数列的通项公式 2 由 1 得sn 2n 1 所以cn 2n 要使数列 cn 是单调递减数列 则由题意得cn 1 cn 2n 当n 1或2时 所以 由数列的递推关系求通项公式的常用方法已知数列的递推关系 求数列的通项公式时 通常用累加 累乘 构造法求解 当出现an an 1 m时 构造等差数列 当出现an xan 1 y时 构造等比数列 当出现an an 1 f n 时 用累加法求解 当出现 f n 时 用累乘法求解 3 1根据下列条件 确定数列 an 的通项公式 1 a1 1 an an 1 n 2 2 已知数列 an 满足an 1 an 3n 2 且a1