九年级数学垂径定理、圆心角、弧、弦、弦心距间的关系人教版知识精讲.doc

1 九年级数学垂径定理 圆心角 弧 弦 弦心距间的关系九年级数学垂径定理 圆心角 弧 弦 弦心距间的关系人教版人教版 本讲教育信息本讲教育信息 一 教学内容 垂径定理 圆心角 弧 弦 弦心距间的关系 学习目标 1 理解由圆的轴对称性推出垂径定理 概括理解垂径定理及推论为 知二推三 1 过 圆心 2 垂直于弦 3 平分弦 4 平分劣弧 5 平分优弧 已知其中两项 可推出 其余三项 注意 当知 1 3 推 2 4 5 时 即 平分弦的直径不能推出垂直于弦 平分两弧 而应强调附加 平分弦 非直径 的直径 垂直于弦且平分弦所对的两弧 2 深入理解垂径定理及推论 为五点共线 即圆心 O 垂足 M 弦 中点 M 劣弧中点 D 优弧中点 C 五点共线 M 点是两点重合的一点 代表两层意义 3 应用以上定理主要是解直角三角形 AOM 在 Rt AOM 中 AO 为 圆半径 OM 为弦 AB 的弦心距 AM 为弦 AB 的一半 三者把解直角形的 知识 借用过来解决了圆中半径 弦 弦心距等问题 无该 Rt AOM 时 注意巧添弦心距 或半径 构建直角三角形 4 弓形的高 弧的中点到弦的距离 明确由定义知只要是弓形的高 就具备了前述的 4 2 或 5 2 可推 1 3 5 或 1 3 4 实际可用垂径定理及推论解决 弓形高的有关问题 5 圆心角 弧 弦 弦心距四者关系定理 理解为 1 圆心角相等 2 所对弧相等 3 所对弦相等 4 所对弦的弦心距相等 四项 知一推三 一项相等 其余三项皆相 等 源于圆的旋转不变性 即 圆绕其圆心旋转任意角度 所得图形与原图象完全重合 1234 6 应用关系定理及推论 证角等 线段等 弧等 等等 注意构造圆心角或弦心距作为 辅助线 7 圆心角的度数度数与弧的度数度数等 而不是角等于弧 二 重点 难点 垂径定理及其推论 圆心角 弧 弦 弦心距关系定理及推论的应用 典型例题典型例题 例 1 已知 在 O 中 弦 AB 12cm O 点到 AB 的距离等于 AB 的一半 求 AOB 的度 数和圆的半径 点悟 点悟 本例的关键在于正确理解什么是 O 点到 AB 的距离 解 解 作 OE AB 垂足为 E 则 OE 的长为 O 点到 AB 的距离 如图所 示 OEABcm 1 2 1 2 126 由垂径定理知 AEBEcm 6 AOE BOE 为等腰直角三角形 AOB 90 由 AOE 是等腰直角三角形 OAAE6 26 即 O 的半径为6 2cm 点拨 点拨 作出弦 AB 的弦心距 OE 构成垂径定理的基本图形是解决本题的关键 例 2 如图所示 在两个同心圆中 大圆的弦 AB 交小圆于 C D 两点 设大圆和小圆的半径分别为 a b 求证 ADBDab 22 证明 证明 作 OE AB 垂足为 E 连 OA OC 则OAaOCb 在中 Rt AOE AEOAOE 222 在中 Rt COE CEOCOE 222 AECEOAOEOCOE 222222 OAOC ab 22 22 即 AECEAECEab 22 BDACEDCE ADEDAECEAE BDACCEAE 即 22 baBDAD 点拨 点拨 本题应用垂径定理 构造直角三角形 再由勾股定理解题 很巧妙 例 3 O 的直径为 12cm 弦 AB 垂直平分半径 OC 那么弦 AB 的长为 A B 6cmC D 3 3cm6 3cm12 3cm 2001 年辽宁 解 解 圆的半径为 6cm 半径 OC 的一半为 3cm 故弦的长度为 2 632 3 216 3 2222 cm 故选 C 例 4 如图所示 以 O 为圆心 AOB 120 弓形高 ND 4cm 矩形 EFGH 的两顶点 E F 在弦 AB 上 H G 在上 AB 且 EF 4HE 求 HE 的长 解 解 连结 AD OG AODAOB 1 2 1 2 12060 OA OD C O A B M D O A E B A C E D B O D H M G A B O E F N 2 AOD 为等边三角形 OD AN NO ND 4cm OD OG 8cm 设 则HEx MGxMOxcm 24 在中 由得 Rt OMG MGOMOG 222 xx 428 22 解得 舍去 xx 12 12 5 4 HE 的长为cm 12 5 点拨 点拨 借助几何图形的性质 找出等量关系 列出方程求解 这是解决几何计算题的常 用方法 例 5 已知 AB 是 O 的弦 半径 OC AB 于点 D 且 则 DC 的ABcmOCcm 85 长为 A 3cmB 2 5cmC 2cmD 1cm 2001 年北京东城区 解 解 OD 543 22 DCcm532 故选 C 常见错误 将 DC 错算为 OD 即算出 OD 就不再计算 DC 了 从而错选 A 这种错误十分 常见 一定要注意慎重的计算完全 例 6 在 O 中 那么 ABAC 2 A B C D ABAC ABAC 2ABAC 2ABAC 2 解 解 如图所示 连结 BC ABAC 2 ACBC ACBC 在 ABC 中 AB AC BC AB 2AC 故选 D 点拨 点拨 本题考察弦 弧 圆心角之间的关系 要正确理解三者之间的关系定理 例 7 已知 O 的半径是 10cm 是 120 那么弦 AB 的弦心距是 AB A 5cmB C D 5 3cm10 3cm 5 2 3cm 解 解 如图所示 AOB 120 OAcm 10 AOCAOB 1 2 60 在 Rt ACO 中 COAOAOCcm cos 10 1 2 5 故选 A 点拨 点拨 本题考察弧 弦 弦心距 圆心角之间的关系 要正确构造三角形 灵活运用 例 8 等腰 ABC 的顶角 A 120 腰 AB AC 10 ABC 的外接圆半径等于 A 20B 15C 10D 5 解 解 如图所示 连结 OA OB AB AC 10 ABAC 由垂径定理的推论 得 OA 垂直平分 BC 垂足为 D 又 BAC 120 ABC ACB 30 BAO 60 又 OA OB AOB 是等边三角形 半径 OA OB AB 10 故选 C 点拨 点拨 垂径定理及其推论是很重要的性质 主要解题思路是构造特殊的三角形 然后应 用定理解题 例 9 点 P 为半径是 5 的 O 内一点 且 OP 3 在过点 P 的所有弦中 长度为整数的弦 一共有 A 2 条B 3 条C 4 条D 5 条 2002 年山东 解 解 选 C 点拨 点拨 圆是中心对称图形 故与 P 点对称的点 关于中点对称有一个 关于轴对称有 2 个 因此 长度为整数弦一共有 4 条 例 10 如图所示 M N 分别是 O 的弦 AB CD 的中点 AB CD 求证 AMN CNM 点悟 点悟 由弦 AB CD 想到利用弧 圆心角 弦 弦心距之间的 关系定理 又 M N 分别为 AB CD 的中点 如连结 OM ON 则有 OM ON OM AB ON CD 故易得结论 证明 证明 连结 OM ON O 为圆心 M N 分别为弦 AB CD 的中点 OM AB ON CD AB CD C A B O A B O C A B C O D A C M N B D O 3 OM ON OMN ONM AMN 90 OMN CNM 90 ONM AMN CNM 点拨 点拨 有弦中点 常用弦心距利用垂径定理及圆心角 弧 弦 弦心距之间关系定理来 证题 例 11 在 与 中 分别有 40 的和 那么 O1O2MN M N 11 1 与相等吗 MN M N 11 2 与 相等吗 MO N 1 M O N 121 错解 1 因为与都是 40 的弧MN M N 11 所以 MN M N 11 2 与相等 所以MN M N 11 M O NM O N 11121 常见错误 1 误以为弧的度数相等弧亦相等 两弧相等必须是在同圆或等圆的前提 下 看它们是否 重合 2 应该知道圆心角是角 它的大小是可以用度数来衡量的 度 数相同的角就相等 可见它不受所对的弧相等与否来制约 正解 正解 1 不一定相等 2 相等 模拟试题模拟试题 答题时间 30 分钟 一 选择题 1 下列命题中 正确的命题是 A 平分一条弦的直径 垂直平分这条弧所对的弦 B 平分弦的直径垂直于弦 并平分弦所对的弧 C 在 O 中 AB CD 是弦 若 则 AB CDACBD D 圆是轴对称图形 对称轴是圆的每一条直径 2 已知 P 为 O 内一点 且 OP 3cm 如果 O 的半径是 4cm 那么过 P 点的最短弦等于 A 2cmB 3cmC cmD cm72 7 3 弓形弦长 24 弓形高为 8 则弓形所在圆的直径是 A 10B 26C 13D 5 4 在直径是 10cm 的 O 中 为 60 则弦 AB 的弦心距是 AB A B C D 10 3cm 15 2 3cm5 3cm 5 2 3cm 5 AB CD 分别为大小不同圆的弦 共 AB CD 那么的关系是 ABCD A B C D 不确定ABCD ABCD ABCD 二 填空题 6 已知 AB 为 O 直径 AC 为弦 OD BC 交 AC 于 D AC 6cm 则 DC 7 直角三角形外接圆的圆心在 它的半径为 一半 8 若一个圆经梯形 ABCD 四个顶点 则这个梯形是 梯形 9 弦 AB 把 O 分 3 7 则 AOB 10 若 O 半径是 4 P 在 O 内 PO 2 则过 P 点的最短的弦所对劣弧是 度 11 O 中 弦 AB 垂直直径 CD 于点 P 半径 OA 4cm OP 2cm 则 AOB ADC 度数为 ADC 周长为BD cm 三 解答题 12 如图 O 的两弦 AB CD 互相垂直于 H AH 4 BH 6 CH 3 DH 8 求 O 半径 13 已知 如图 C 为 O 直径 AB 上一点 过 C 点作弦 DE 使 CD CO 若度数AD 为 50 求的度数 BE C A H B O D D B O C A E 4 试题答案试题答案 一 选择题 1 A2 D3 B4 D5 D 二 填空题 6 3cm 7 斜边中点 斜边长 8 等腰 9 108 10 120 11 120 30 或 60 60 或 12