重庆市中考数学 第二部分 题型研究 二、解答题重难点突破 题型四 三角形 四边形的证明与计算.doc

三角形、四边形的证明与计算类型一有等腰三角形，通常作底边上的高、中线或顶角的平分线针对演练1. 在abc中，ab=bc=2,abc=120,将abc绕点b顺时针旋转角(0120)，得a1bc1，a1b交ac于点e，a1c1分别交ac、bc于d、f两点. 图 图第1题图(1)证明：ea1=fc;（2）如图，当=30时，试判断四边形bc1da的形状，并说明理由；（3）在（2）的情况下，求ed的长.2. （2015连云港）在数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活动，将边长为2的正方形abcd与边长为2的正方形aefg按图位置放置，ad与ae在同一条直线上，ab与ag在同一条直线上.（1）小明发现dgbe,请你帮他说明理由；（2）如图，小明将正方形abcd绕点a逆时针旋转，当点b恰好落在线段dg上时，请你帮他求出此时be的长. 图 图 第2题图3. 如图，在abc中，d是ab边的中点，aebc于点e，bfac于点f，ae,bf相交于点m，连接de,df.图 图 图第3题图 （1）de,df的数量关系为 ； （2）如图，在abc中，cb=ca，点d是ab边的中点，点m在abc的内部，且mbc=mac.过点m作mebc于点e，mfac于点f，连接de,df.求证：de=df； （3）如图，若将上面（2）中的条件“cb=ca”变为“cbca”，其他条件不变，试探究de与df之间的数量关系，并证明你的结论.【答案】针对演练1.（1）证明：ab=bc,ac,abc绕点b顺时针旋转角得a1bc1,abe=c1bf,cc 1,ab=bc=a1b=bc1,ac1,在abe和c1bf中，abec1bf(asa),be=bf,a1b-be=bc-bf,即ea1=fc.(2)解：四边形bc1da是菱形，理由如下：旋转角30，abc=120，abc1=abc+=120+30150，abc1=120，ab=bc,ac= (180-120)30，abc1+c1=150+30180，abc1+a=150+30=180,abc1d, adbc1,四边形bc1da是平行四边形，又ab=bc1,四边形bc1da是菱形.（3）解：如解图，过点e作egab于点g,由（2）得a=aba1=30，ag=bg=ab=1,在rtaeg中，ae=，由（2）知ad=ab=2, 第1题解图de=ad-ae=2-.2.解：(1)如解图，延长eb交dg于点h,四边形abcd与四边形aefg是正方形，ad=ab，dag=bae=90，ag=ae,adgabe(sas)，agd=aeb，在adg中，agd+adg=90，aeb+adg90，dhe=90，即dgbe.(2)四边形abcd与四边形aefg都是正方形， 第2题解图ad=ab,dab=gae=90，ag=ae,dab+bag=gae+bag,dag=bae.ad=ab,dag=bae,ag=ae，adgabe(sas),dg=be.如解图，过点a作amdg于点m，amd=amg=90，bd是正方形abcd的一条对角线，第14题解图mda=45.在rtamd中，mda=45，ad=2，dm=am=，在rtamg中，am 2+gm 2=ag 2,gm= =,gm=,dg=dm+gm=+,be=dg=+. 第2题解图3.解：(1)de=df.(2)如解图，连接cd，在abc中，cb=ca,cab=cba,mbc=mac,mab=mba,am=bm.点d是边ab的中点，点m在cd上，cm平分fce，fcd=ecd.mebc于e，mfac于f, 第3题解图mf=me.在cmf和cme中，,cmfcme(sas).cf=ce.在cfd和ced中，,cfdced(sas).de=df.(3)de=df.如解图，作am的中点g，bm的中点h,连接dg、dh、gf、he,点d是边ab的中点，dgbm,dg=bm.同理可得：dham,dh=am.mebc于e，h是bm的中点，在rtbem中，he=bm=bh，dg=he,同理可得：dh=fg.dgbm, dham,四边形dhmg是平行四边形，dgm=dhm.mgf=2mac,mhe=2mbc,且mbc=mac,mgf=mhe，dgm+mgf=dhm+mhe， 第3题解图dgf=dhe,在dhe与fgd中，,dhefgd(sas).de=df. 题型四三角形、四边形的证明与计算类型二有直角三角形，通常作斜边上的中线针对演练1. 在等腰rtabc中，ab=ac,bac=90，点d是斜边bc的中点，点e是线段ab上一动点（点e不与a、b重合），连接de,作dfde交ac于点f,连接ef. (1)如图，如果bc=4，当e是线段ab的中点时，求线段ef的长；（2）如图，求证：bc=（ae+af）；（3）如图，点m是线段ef的中点，连接am,在线段ab上是否存在点e，使得bc=4am?若存在，求eam的度数；若不存在，请说明理由. 图 图 图第1题图 2. 如图，在acb和aed中,ac=bc,ae=de，acb=aed=90，点e在ab上，点f是线段bd的中点，连接ce、fe.（1）若ad=3，be=4，求ef的长；（2）求证：ce=ef;（3）将图中的aed绕点a顺时针旋转，使aed的一边ae恰好与acb的边ac在同一条直线上（如图），连接bd，取bd的中点f，并连接ef,问（2）中的结论是否仍然成立，并说明理由. 图 图第2题图【答案】针对演练1.(1)解：点d、e分别是bc、ab的中点，deac，bac=bedaed90，又dfde,fde=90，fdeaed,dfab,点f是ac的中点，ef是abc的中位线，efbc=2; (2)证明：如解图,连接ad,点d是rtabc斜边的中点，adbc=cd,ead=bac=45，adb=adc=90，c45，ead=c,ade+adf=90,cdf+adf90， 第1题解图ade=cdf,在ade与cdf中，adecdf(asa),ae=fc,bc=ac= (fc+af)= (ae+af).(3)解：在线段ab上存在点e，使得bc=4am.如解图，连接dm,ad，bc=4am =2ad,ad=2am, 第1题解图在rteaf和rtedf中点m为ef的中点，am=dm =ef,am+dm ad,2am ad, 显然只有am和ad共线时，以上表达式等号才成立，此时eam=45. 2.（1）解：aed=90，ae=de,ad=3,ae=de=3,在rtbde中，de=3,be=4,bd=5,又f是线段bd的中点，efbd=2.5.（2）证明：如解图，连接cf.bed=aed=acb=90点f是bd的中点，cf=ef= fb = fd,dfeabd+bef,abd=bef,dfe2abd,同理cfd2cbddfe+cfd=2(abd+cbd)= 90，即cbd= 90ce=ef. 第2题解图 (3)解：(2)中的结论仍然成立.如解图,连接cf，延长ef交cb于点g，acb=aed=90，debc,edf=gbf,在edf与gbf中，,edfgbf（asa）,ef=gf,bg=de=ae,ac=bc, 第2题解图ce=cg,efc=90，cf=ef,cef为等腰直角三角形，cef45，ce=ef.题型四三角形、四边形的证明与计算类型三截长补短针对演练 1. 如图，d为abc外一点，过d作deab交ab延长线于e,过d作dfac交ac延长线于f，且de=df. （1）求证：ae=af; （2）若cab=60，bdc=60，试猜想bc、be、cf之间的数量关系并写出证明过程； （3）若题中条件“cab=60”改为cab=，则bdc满足什么条件时，（2）中结论仍然成立？并说明理由. 备用图第1题图 2. 已知在四边形abcd中，abc+adc=180,ab=bc.（1）如图，若bad=90，ad=2，求cd的长度；（2如图，点p、q分别在线段ad、dc上，满足pq=ap+cq，求证：pbq=90-adc;（3）如图，若点q运动到dc的延长线上，点p也运动到da的延长线上时，仍然满足pq=ap+cq,则（2）中的结论是否成立？若成立，请给出证明过程；若不成立，请写出pbq与adc的数量关系，并给出证明过程. 图 图 图第2题图 3. 如图，abc中，ab=ac，点p是三角形外一点，且apb=abc.（1）如图，若bac=60，点p恰巧在abc的平分线上，pa=2，求pb的长;（2）如图，若bac=60，试探究pa,pb,pc的数量关系，并证明;（3）如图，若bac=120，请证明：pa+pc=pb. 图 图 图第3题图 4. 已知，在等腰rtabc中，abc=90，ab=cb，d为直线ab上一点，连接cd，过点c作cecd，且ce=cd，连接de,交ac于点f. （1）如图,当点d、b重合时，求证：ef=bf;（2）如图,当点d在线段ab上，且dcb=30时，请探究df、ef、cf之间的数量关系，并说明理由;（3）如图，在（2）的条件下，在fc上任取一点g，连接dg，作射线gp使dgp=60，交dfg的角平分线于点q，求证：fd+fg=fq. 图 图 图第4题图【答案】针对演练1.（1）证明：在ade与adf中，,adeadf(sas),ae=af.(2)解:猜想:bcbe+cf,理由如下:由（1）得：6=7,bac=60,6=7=30,ade=adf=60,bdc=60,1=60-2=3,同理24，如解图所示，在af延长线上取点g，使得fg=be，连接dg，在bde与gdf中bdegdf(sas), 第1题解图bd=gd,1=5，gdc=4+5=2+1=ade=bdc=60,在bdc与gdc中， ，bdcgdc(sas),bc=cg=cf+fg=cf+be.(3)解：bdc满足bdc= (180)时，(2)中结论仍然成立，理由如下：由（2）知bdegdf(sas),bd=gd,1=5.又bc=cf+be=cf+fg=cg,在bdc与gdc中,bdc gdc（sss）,bdc=gdc,又gdc=4+5=4+1,edf=180-cab=180-,bdc=4+1= (180-).2.(1)解：abc+adc=180，bad90，bcd=90,在rtbad和rtbcd中，,rtbadrtbcd(hl),ad=cd,ad=2,cd=2.（2）证明：如解图，延长dc，在上面找一点k，使得ckap,连接bk,abc+adc=180,bad+bcd=180,bcd+bck=180,bad=bck,在bpa和bkc中，,bpabkc(sas),12，bp=bk.pq=ap+cq=ck+cq=kq,pq=kq,在pbq和kbq中，,pbqkbq(sss), 第2题解图pbq=kbq,pbq=2+cbq=1+cbq, pbq=abc.abc+adc=180,abc=180-adc,abc90-adc，pbq90-adc.（3）解：（2）中结论不成立，应该是：pbq=90+adc，证明：如解图，在cd延长线上找一点k，使得kcpa，连接bk，abc+adc=180,bad+bcd=180,bad+pab=180,pab=kcb,在bpa和bkc中，bpabkc(sas),abp=cbk,bp=bk,pq=ap+cqck+cq=kq,pq=kq,在pbq和kbq中，,pbqkbq（sss）, 第2题解图pbq=kbq,2pbq+pbk=2pbq+abc=360,2pbq+(180-adc)=360,pbq=90+adc.3.(1)解：ab=ac,bac=60,abc是等边三角形，apb=abc,apb=60,又点p恰巧在abc的平分线上，abp=30,pab=90,bp=2ap,ap=2,bp=4.(2)解:结论：pa+pc=pb.证明：如解图，在bp上截取pd,使pd=pa，连接ad，apb=60,adp是等边三角形，dap=60，1=2,pa=ad,在abd与acp中，,abdacp(sas),pc=db,pa+pc=pb. 第3题解图(3)证明：如解图，以点a为圆心，以ap的长为半径画弧交bp于点d，连接ad，过点a作afbp于点f，ap=ad,bac=120,abc=30,apb=30,dap=120,1=2,在abd与acp中， 第3题解图，abdacp(sas),db=cp,afpd,pf=pa,ad=ap,pd=2pfpa,pa+pc=pb4.(1)证明：abc=90,ab=cb,a=acb=45,cecd,ce=cd,ebc=e=45,bce=90,ace=e=45,acb=ebc=45,ef=cf,bf=cf,ef=bf.（2）解：ef=df+cf.理由如下：在ef上找到g点使得fg=cf，如解图，dcb=30,acb=45,acd=15,cfg=cde+acd=60,fg=cf,cfg是等边三角形，cg=cf=gf,fcg=60,ecg=ecd-acd-fcg=90-15-60=15acd,在ecg和dcf中，ecgdcf(sas),eg=df, 第4题解图ef=eg+gf,ef=df+cf.（3）证明：在fq上找到h点，使得fh=fg，连接gh,如解图，fq平分dfg，qfg=60,fg=fh,fgh是等边三角形，ghf=fgh=60,gh=fg=fh,afd=cde+acd=60,ghq=dfg=120,fgd+dgh=60,dgh+qgh=60,fgd=qgh,在dfg和qhg中，dfgqhg(asa), 第4题解图df=qh,fh+qh=fq,fg+fd=fq.题型四三角形、四边形的证明与计算类型四构造适宜的三角形或四边形针对演练1. 如图，四边形abcd、befg均为正方形. （1）如图，连接ag、ce，判断ag和ce的数量关系和位置关系并证明; （2）将正方形befg绕点b顺时针旋转角（0180)，如图，连接ag、ce相交于点m，连接mb,求出emb的度数; （3）若be=2，bc=6，连接dg，将正方形befg绕点b顺时针旋转角（0180），求在这个旋转过程中线段dg长度的取值范围. 图 图第1题图2. 四边形acbd是由等边abc和顶角为120的等腰abd拼成，将一个60角顶点放在d处，将60角绕d点旋转，该60角两边分别交直线bc、ac于点m、n，交直线ab于e、f两点.（1）当点e、f均在边ab上时（如图），求证：bm+an=mn;（2）当点f、e分别在边ba及其延长线上时（如图），线段bm、an、mn之间又有怎样的数量关系： ;（3）在（1）的条件下，若ac=5，ae=1，求bm的长 . 图 图第2题图3. 如图，在菱形abcd中，abc=60，若点e在ab的延长线上，efad，ef=be，点p是de的中点，连接fp并延长交ad于点g. （1）过d点作dhab，垂足为h，若dh=2，be=ab，求dg的长； （2）连接cp，求证：cpfp; （3）如图，在菱形abcd中，abc=60，若点e在cb的延长线上运动，点f在ab的延长线上运动，且be=bf，连接de，点p为de的中点，连接fp、cp，那么第（2）问的结论成立吗？若成立，求出的值；若不成立，请说明理由. 图 图第3题图4. 如图，abc中，bac=90, ab=ac, adbc于点d，点e在ac边上，连接be. （1）若af是abe的中线，且af=5，ae=6，连接df，求df的长; （2）若af是abe的高，延长af交bc于点g. 如图，若点e是ac边的中点，连接eg，求证：ag+eg=be; 如图,若点e是ac边上的动点，连接df.当点e在ac边上（不含端点）运动时，dfg的大小是否改变？如果不变，请求出dfg的度数;如果要变，请说明理由. 图 图 图第4题图5. 如图，abc中，beac于点e，adbc于点d，连接de. （1）若ab=bc，de=1，be=3，求abc的周长；（2）如图，若ab=bc，ad=bd，adb的角平分线df交be于点f，求证：bf=de；（3）如图，若abbc，ad=bd，将adc沿着ac翻折得到agc，连接dg、eg，请猜想线段ae、be、dg之间的数量关系，并证明你的结论. 图 图 图第5题图【答案】针对演练1.解：（1）ag=ce,agce，证明如下：四边形abcd、befg均为正方形，gba=ebc=90,bg=be,ba=bc,在gba和ebc中，,gbaebc(sas),ag=ce,gab=bce,bga+bce=bga+gab=90,agce.(2)如解图,过b作bpec,bqma,垂足分别为p、q，可知四边形bpmq为矩形，pbe+pbg=qbg+pbg=90,pbe=qbg,在bpe和bqg中，,bpebqg(aas),bp=bq,且bq=pm,bp=pm,bpm为等腰直角三角形， 第1题解图emb=45.(3)当在初始位置时，dg最大，此时gc6+28，cd6,由勾股定理可求得dg10，当g点在线段bd上时，dg最小，此时bg2，bd6，所以dg6-2，而旋转角取不到0,所以dg的范围为：6-2dg10.2.证明：把dbm绕点d逆时针旋转120得到daq，如解图，则dm=dq,aq=bm,adq=bdm,qdn=adq+adn=bdm+adn=adb-mdn 第2题解图=120-60=60, qdn=mdn=60,在mnd和qnd中，, mndqnd(sas),mn=qn,qn=aq+an=bm+an,bm+an=mn.(2)解：mn+an=bm.【解法提示】理由如下：如解图，把dan绕点d顺时针旋转120得到dbp, 则dn=dp,an=bp,dan=dbp=90,点p在bm上，mdp=adb-adm-bdp=120-adm-adn120-mdn120-6060，mdp=mdn=60,在mnd和mpd中，,mndmpd(sas), 第2题解图mn=mp,bm=mp+bp,mn+an=bm.(3)解：如解图，过点m作mhac交ab于点g，交dn于点h，abc是等边三角形， bmg是等边三角形，bm=mg=bg,根据（1）中mndqnd可得qnd=mnd,根据mhac可得qnd=mhn,mnd=mhn,mn=mh,gh=mh-mg=mn-bm=an,即an=gh,在ane和ghe中， , aneghe(aas), 第2题解图ae=ge=1,ac=5,ab=ac=5,bg=ab-ae-eg=5-1-1=3,bm=bg=3.3.（1）解：四边形abcd为菱形，abc60，dabc,cd=cb,cdg=cba=60，dah=abc=60,dhab,dha=90，在rtadh中，sindah=,ad= =4,又ab=ad,be=ab=41,efad,pdg=pef,p为de的中点，pd=pe,dpg=epf,pdgpef（asa）,dg=ef,efad,adbc,efbc,feb=cba=60，be=ef,bef为等边三角形，ef=be=1,dg=ef=1.(2)证明：如解图,连接cg、cf,由（1）知pdgpef,pg=pf,bf=ef,dg=ef,bf=dg,在cdg与cbf中，cdgcbf（sas）,cg=cf,pg=pf,cpfp.第3题解图（3）解：cpfp仍成立.理由如下：如解图，过d作ef的平行线，交fp的延长线于点g，连接cg、cf，易证pefpdg,dg=ef=bf,dgef,gdp=fep,dabc,adp=pec,gdp-adp=fep-pec,gda=bef=60， 第3题解图cdg=adc+gda=120,cbf=180-ebf=120,在cdg和cbf中，,cdgcbf(sas),cg=cf，dcg=fcb,pg=pf,cppf，gcp=fcp,dcb=180-abc=120,dcg+gce=120,fce+gce=120,即gcf=120，fcpgcf=60，在rtcpf中，tanfcp=tan60= =.4.解：（1）bac=90,ab=ac,af是abe的中线，be=2af=10,ae=6,ab=ac= =8,ce=ac-ae=2,adbc于点d，bd=cd,bf=ef,fd是bec的中位线，df=ce=1.(2)证明：如解图，过点c作cmac交ag延长线于点m，在abe和cam中，abecam（asa）,ae=cm,aeb=m,be=am,ae=ec,ec=cm,ab=ac,bac=90,abc=acb=45,acm=90,gcm=90-45=45=acg,在egc和mgc中， 第4题解图egcmgc(sas),ge=gm,am=ag+gm=ag+ge,be=am,ag+ge=be;dfg的大小不会改变，adbc于点d,af是abe的高，afb=adb=90,a,b,d,f四点共圆，abd+afd=180,afd+dfg=180,dfg=abd.bac=90,ab=ac,abc=45,dfg=abd=45.5.（1）解：如解图所示：ab=bc，beac，ae=ce，aeb=90，adbc，adc=90，de=ac=ae，ac=2de=2，ae=1，ab=，bc=，abc的周长=ab+bc+ac=2+2. 第5题解图（2）证明：连接af，如解图所示：ab=bc，beac，3=4，adc=90，ad=bd，abd是等腰直角三角形，dab=dba=45，3=22.5，1+c=3+c=90，1=3=22.5，df平分adb，adf=bdf， 第5题解图在adf和bdf中，adfbdf（sas），af=bf，2=3=22.5，eaf=1+2=45，aef是等腰直角三角形，af=ae，de=ae，bf=d