（全国通用）高考数学 2.11 导数在研究函数中的应用练习.doc

课时提升作业(十四)导数在研究函数中的应用 (25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2015厦门模拟)函数f(x)=xln x,则()a.在(0,+)上递增b.在(0,+)上递减c.在(0,)上递增d.在(0,)上递减【解析】选d.因为函数f(x)=x ln x,所以f(x)=ln x+1,f(x)0,解得x,则函数的单调递增区间为(,+),又f(x)0,解得0x,则函数的单调递减区间为（0,）,故选d.2.已知f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1既有极大值又有极小值,则a的取值范围为()a.a2b.-3a6c.-1a2d.a6【解题提示】求导,令导数等于零,转化为方程在r上的实数根的情况求解.【解析】选d.由已知得:f(x)=3x2+2ax+a+6=0在r上有两个不相等的实根,所以=(2a)2-12(a+6)0,解得:a6,故选d.【加固训练】设函数y=f(x)在(a,b)上的导函数为f(x),f(x)在(a,b)上的导函数为f(x),若在(a,b)上,f(x)0恒成立,则称函数f(x)在(a,b)上为“凸函数”.已知当m2时,f(x)=x3-mx2+x在(-1,2)上是“凸函数”,则f(x)在(-1,2)上()a.既有极大值,也有极小值b.既有极大值,也有最小值c.有极大值,没有极小值d.没有极大值,也没有极小值【解析】选c.由题设可知:f(x)0在(-1,2)上恒成立,由于f(x)=x2-mx+1,从而f(x)=x-m,所以有x-m0,当x(2-,2)时f(x)0得-1x0,令f(x)0得0x1,所以函数f(x)在(-1,0)上单调递增,在(0,1)上单调递减.所以x=0时函数f(x)取得极大值同时也是最大值,即f(x)max=f(0)=2,故c正确.4.若函数f(x)=x2+ax+在(,+)上是增函数,则a的取值范围是()a.-1,0b.-1,+)c.0,3d.3,+)【解题提示】由函数f(x)=x2+ax+在(,+)上是增函数,可得f(x)=2x+a-0在(,+)上恒成立,进而可转化为a-2x在(,+)上恒成立,构造函数求解.【解析】选d.因为f(x)=x2+ax+在(,+)上是增函数,故f(x)=2x+a-0在(,+)上恒成立,即a-2x在(,+)上恒成立,令h(x)= -2x,则h(x)= -2.当x(,+)时,h(x)0,则h(x)为减函数,所以h(x)h=3,所以a3,故选d.5.(2015兰州模拟)设函数f(x)在r上可导,其导函数为f(x),且函数y=(1-x)f(x)的图象如图所示,则下列结论中一定成立的是()a.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)b.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(1)c.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(-2)d.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(2)【解析】选d.由图象知,f(-2)=f(2)=0,且当x0,-2x1,1x2时,f(x)2时,f(x)0,故f(-2)是极大值,f(2)是极小值.二、填空题(每小题5分,共15分)6.已知函数f(x)=(ax2+x)-xln x在1,+)上单调递增,则实数a的取值范围是.【解题提示】求导利用导数大于等于0转化为恒成立问题,再构造函数求解.【解析】由题意知:f(x)=2ax+1-(ln x+1)0,即a在x1,+)上恒成立;设g(x)= ,令g(x)= =0,解得x=e,当x(e,+)时,g(x)0,g(x)为增函数,故g(x)的最大值为g(e)=,即a.答案:a7.(2015银川模拟)函数f(x)=x(x-m)2在x=1处取得极小值,则m=.【解析】f(1)=0可得m=1或m=3.当m=3时,f(x)=3(x-1)(x-3),1x3时,f(x)0;x3时,f(x)0,此时x=1处取得极大值,不合题意,所以m=1.答案:1【误区警示】本题易出现求出m值后不进行验证能否在x=1处取得极小值,导致解题错误.8.(2015湖南十二校联考)已知函数f(x)的定义域为-1,5,部分对应值如表:x-10245f(x)12021f(x)的导函数y=f(x)的图象如图所示,则f(x)的极小值为.【解析】由y=f(x)的图象可知,f(x)与f(x)随x的变化情况如表:x(-1,0)0(0,2)2(2,4)4(4,5)f(x)+0-0+0-f(x)极大值极小值极大值所以f(2)为f(x)的极小值,f(2)=0.答案:0三、解答题(每小题10分,共20分)9.(2015东北三省四市联考)已知函数f(x)=ln x,g(x)=(x-a)2+(ln x-a)2.(1)求函数f(x)在a(1,0)处的切线方程.(2)若g(x)在1,+)上单调递增,求实数a的取值范围.【解析】(1)因为f(x)=,所以f(1)=1,故切线方程为y=x-1.(2)g(x)=,令f(x)=x- -a,则y=f(x)在1,+)上单调递增,f(x)=,则当x1时,x2-ln x+a+10恒成立,即当x1时,a-x2+ln x-1恒成立.令g(x)=-x2+ln x-1,则当x1时,g(x)= 0.(1)讨论f(x)在其定义域上的单调性.(2)当x0,1时,求f(x)取得最大值和最小值时x的值.【解析】(1)f(x)的定义域为(-,+),f(x)=1+a-2x-3x2,令f(x)=0得x1=,x2=,x1x2,所以f(x)=-3(x-x1)(x-x2),当xx2时f(x)0;当x1x0.所以f(x)在和内单调递减,在内单调递增.(2)因为a0,所以x10.当a4时,x21,由(1)知,f(x)在0,1上单调递增,所以f(x)在x=0和x=1处分别取得最小值和最大值.当0a4时,x21,由(1)知,f(x)在0,x2上单调递增,在x2,1上单调递减.所以f(x)在x=x2=处取得最大值.又f(0)=1,f(1)=a,所以当0a1时,f(x)在x=1处取得最小值;当a=1时,f(x)在x=0和x=1处同时取得最小值;当1a4时,f(x)在x=0处取得最小值.【加固训练】(2014马鞍山模拟)已知函数f(x)=ln x-ax2+(a-2)x.(1)若f(x)在x=1处取得极值,求a的值.(2)求函数y=f(x)在a2,a上的最大值.【解析】(1)因为f(x)=ln x-ax2+(a-2)x,所以函数的定义域为(0,+),所以f(x)=因为f(x)在x=1处取得极值,即f(1)=-(2-1)(a+1)=0,所以a=-1.当a=-1时,在(,1)内f(x)0,所以x=1是函数f(x)的极小值点,所以a=-1.(2)因为a2a,所以0a0,所以f(x)在（0,）上单调递增;在（,+）上单调递减.当0a时,f(x)在a2,a上单调递增,所以f(x)max=f(a)=ln a-a3+a2-2a.当即时,f(x)在上单调递增,在上单调递减,所以f(x)max=f()=;当a2,即a1时,f(x)在a2,a上单调递减,所以f(x)max=f(a2)=2ln a-a5+a3-2a2.综上所述,当0a时,函数y=f(x)在a2,a上的最大值是ln a-a3+a2-2a;当时,函数y=f(x)在a2,a上的最大值是-1-ln 2;当a1,即a2时,f(x)在(-,1)上大于0,函数f(x)在(-,1)上为增函数,f(x)在(1,a-1)内小于0,函数f(x)在(1,a-1)内为减函数,f(x)在(a-1,+)内大于0,函数f(x)在(a-1,+)上为增函数.依题意应有:当x(1,4)时,f(x)0,所以4a-16,解得5a7,所以a的取值范围是5,7,故选b.2.(5分)(2015安阳模拟)函数f(x)=ax3+bx2+cx-34(a,b,cr)的导函数为f(x),若不等式f(x)0的解集为x|-2x3,且f(x)的极小值等于-115,则a的值为()a.-b.c.2d.5【解析】选c.由已知可知f(x)=3ax2+2bx+c,由3ax2+2bx+c0的解集为x|-2x3可知a0,且-2,3是方程3ax2+2bx+c=0的两根,则由根与系数的关系知所以,c=-18a,此时f(x)=ax3-x2-18ax-34,当x(-,-2)时,f(x)0,f(x)为增函数;当x(-2,3)时,f(x)0,f(x)为增函数,所以f(3)为f(x)的极小值,且f(3)=27a-54a-34=-115,解得a=2,故选c.3.(5分)(2014辽宁高考)当x-2,1时,不等式ax3-x2+4x+30恒成立,则实数a的取值范围是()a.-5,-3b.-6,-c.-6,-2d.-4,-3【解析】选c.当x(0,1时,不等式ax3-x2+4x+30a,x(0,1恒成立.令g(x)= ,x(0,1,则g(x)=,x(0,1,设h(x)=-x2+8x+9,h(x)在(0,1上为增函数,h(x)h(0)=90,所以x(0,1时,g(x)= 0,则g(x)= 在(0,1上为增函数,g(x)= ,x(0,1的最大值g(x)max=g(1)=-6,从而a-6.当x=0时,ar.当x-2,0)时,不等式ax3-x2+4x+30a,x-2,0)恒成立.-1x0,-2x0恒成立,f(x)的单调递增区间为(0,+),当a0时,令f(x)0,xa,令f(x)0,0x0,h(2)=ln 2-10,所以当x(0,2)时,f(x)0,函数y=f(x)单调递增.所以f(x)的单调递减区间为(0,2),单调递增区间为(2,+).(2)由(1)知,k0时,函数f(x)在(0,2)内单调递减,故f(x)在(0,2)内不存在极值点;当k0时,设函数g(x)=ex