重庆市高三数学上学期期末试卷 理（含解析）.doc

重庆市2015届高三上学期 期末数学试卷（理科）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1（5分）已知等比数列an中，a1=1，a3=4，则a2=（）a2bc2d2（5分）“ab”是“a+1b”的（）a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d既不充分也不必要条件3（5分）已知集合a=x|x=2n，nz，b=x|x=2n+1，nz，i是虚数单位，若kz且ik1，1，则（）akabkbckabdk4（5分）若数据x1，x2，x10的均值为，标准差为，则数据2x1+1，2x2+1，2x10+1的均值和标准差分别为（）a和2b2+1和2+1c2+1和2d2+1和45（5分）记集合a=（x，y）| 、b=（x，y）|x2+y21构成的平面区域分别为m、n，现随机地向n中抛一粒豆子（大小忽略不计），则该豆子落入m中的概率为（）abcd6（5分）在abc中，=，则abc一定是（）a等腰三角形b锐角三角形c直角三角形d钝角三角形7（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（）a3b4c5d68（5分）（1）当x=x0时，函数f（x）=取得最大值，则cos2x0的值为（）a1bc0d19（5分）对任意实数x定义：2x为x的幂数，已知a，b，cr，若a，b的幂数之和与a，b之和的幂数相等，且a，b，c的幂数之和与a，b，c之和的幂数也相等，则c的最大值为（）a2log23blog32c1dlog2310（5分）已知双曲线=1（a0，b0）的右顶点和右焦点分别为a（a，0）、f（c，0），若在直线x=上存在点p使得apf=30则该双曲线的离心率的取值范围是（）a（1，b，+）c（1，4d4，+）二、填空题（共3小题，每小题5分，满分15分）11（5分）已知函数f（x）=2xlnx的导函数为f（x）则f（2）=12（5分）有4名优秀大学毕业生被某公司录用，该公司共有5个科室，由公司人事部门安排他们到其中任意3个科室上班，每个科室至少安排一人，则不同的安排方案种数为13（5分）已知函数f（x）=，则方程f（x）=2x在0，2015内的根的个数为选做题（共1小题，每小题5分，满分5分）14（5分）已知圆o的半径为1，过圆外一点p作圆o的割线与圆o交于c、d两点，若pcpd=8，则线段po的长度为选做题（共1小题，每小题5分，满分5分）15（5分）已知点p在曲线c1：（为参数）上运动，以坐标原点为极点，x的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为cos（+）=，点q在l上运动，则|pq|的最小值是选做题（共1小题，每小题0分，满分0分）16若关于x的不等式|x2|+|x+a|3的解集为r，则实数a的取值范围是六、解答题（共6小题，满分75分）17（13分）已知命题p：关于x的方程x2+ax+4a2=0有一正一负两实数，命题q：函数f（x）=x2ax1在（，1上为减函数，若“pq”为真命题，“pq”为假命题，求实数a的取值范围18（13分）重庆z中学为筹备参加“汉字听写比赛”，对初二年级的400名同学进行了一次模拟听写比赛每位同学听写150个字，听写正确130个字以上（含130个）的同学才可以参加市级决赛据统计，该年级同学在摸底听写比赛中听写正确的字数的频率分布直方图如图（）根据频率分布直方图，该校可以参加市级决赛的同学有多少人？假设同一组中的每个数据用该组区间的中点值代替，估算这400名同学平均听写正确的字数；（）重庆z中学在可以参加市级决赛的同学中派1人参加市级决赛，按决赛规定：每人最多有5次听写机会，累计听写正确3个字或听写错误3个字即终止设参加决赛的这名同学每个字听写正确的概率相同，且相互独立，若该同学连续两次听写错误的概率是，求该同学在决赛中听写正确的字数x的分布列及数学期望19（13分）在abc中，内角a、b、c所对的边为a、b、c，且cosc=，5（a2+b2）6ab=20（）求c；（）当abc的面积最大时，求sina20（12分）已知曲线f（x）=a（x1）2+blnx（a，br）在点（1，f（1）处的切线的斜率为1（）若函数f（x）在2，+）上为减函数，求a的取值范围；（）当x1，+）时，不等式f（x）x1恒成立，求a的取值范围21（12分）已知椭圆c：+=1（ab0）的离心率为a为椭圆c上一动点（a异于左、右顶点），f1、f2分别为椭圆c的左、右焦点，且af1f2面积的最大值为1；（）求椭圆c的方程（）如图，已知点p（2，0），连接ap交椭圆c于点m，连接af1、mf1并延长分别交椭圆c于点b、n，记=，=（、r），求+的取值范围22（12分）已知数列an满足：a1=1，3a+3a10anan+1=3，anan+1（nn+）（）证明：3an+1an是等比数列；（）设数列an的前n项和为sn，求证：+重庆市2015届高三上学期期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1（5分）已知等比数列an中，a1=1，a3=4，则a2=（）a2bc2d考点：等比数列的性质 专题：等差数列与等比数列分析：由题意可得a22=a1a3，代值计算可得解答：解：等比数列an中，a1=1，a3=4，由等比数列的性质可得a22=a1a3，代入数据可得a22=4，解得a2=2故选：c点评：本题考查等比数列的性质，属基础题2（5分）“ab”是“a+1b”的（）a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断 专题：简易逻辑分析：根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可解答：解：若ab，则a+1ab成立，即充分性成立，反之不一定成立，故“ab”是“a+1b”的充分不必要条件，故选：a点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，半径基础3（5分）已知集合a=x|x=2n，nz，b=x|x=2n+1，nz，i是虚数单位，若kz且ik1，1，则（）akabkbckabdk考点：元素与集合关系的判断 专题：集合分析：由kz且ik1，1，得到k=2n或者k=4n，由此判断k的属性解答：解：kz且ik1，1，得到k=2n或者k=4n，所以ka故选a点评：本题考查了复数的运算以及元素与集合关系的判断4（5分）若数据x1，x2，x10的均值为，标准差为，则数据2x1+1，2x2+1，2x10+1的均值和标准差分别为（）a和2b2+1和2+1c2+1和2d2+1和4考点：众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差 专题：概率与统计分析：根据x1，x2，x3，x10的平均数为得到10个数据的关系，把这组数据做相同的变化，数据的倍数影响平均数和方差，后面的加数影响平均数，不影响方差解答：解：x1，x2，x3，x10的平均数为，=，数据2x1+1，2x2+1，2x10+1的均值=2，x1，x2，x3，x10的方差=2，数据2x1+1，2x2+1，2x10+1的方差=42，所以标准差为2；故选c点评：本题考查平均数和方差的变换特点，若在原来数据前乘以同一个数，平均数也乘以同一个数，而方差要乘以这个数的平方，在数据上同加或减同一个数，方差不变5（5分）记集合a=（x，y）| 、b=（x，y）|x2+y21构成的平面区域分别为m、n，现随机地向n中抛一粒豆子（大小忽略不计），则该豆子落入m中的概率为（）abcd考点：几何概型 专题：概率与统计分析：先求出区域a的面积，然后利用圆的面积公式求区域b的面积，最后利用几何概型的概率公式解之即可解答：解：如图：集合a=（x，y）| 、b=（x，y）|x2+y21构成的平面区域分别为m、n，分别为正方形与圆，随机地向n中抛一粒豆子（大小忽略不计），则该夹子落入m中的概率：就是=故选：a点评：本题主要考查了几何概型的概率，以及利用圆的面积公式求区域面积，属于中档题6（5分）在abc中，=，则abc一定是（）a等腰三角形b锐角三角形c直角三角形d钝角三角形考点：平面向量数量积的运算 专题：计算题；平面向量及应用分析：运用向量的三角形法则，以及向量的数量积的性质：向量的平方即为模的平方，即可判断解答：解：由=，则+=0，即（+）=0，即（+）（）=0，即有=，即为|=|，则abc为等腰三角形故选a点评：本题考查向量的数量积的性质，考查向量的平方即为模的平方，以及三角形的形状的判定，属于基础题7（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（）a3b4c5d6考点：程序框图 专题：算法和程序框图分析：执行程序框图，依次写出每次循环得到的s，k的值，当s=10时，不满足条件s10，退出循环，输出k的值为5解答：解：执行程序框图，有k=1，s=2满足条件s10，s=4，k=2满足条件s10，s=6，k=3满足条件s10，s=8，k=4满足条件s10，s=10，k=5不满足条件s10，退出循环，输出k的值为5故选：c点评：本题主要考察了程序框图和算法，正确得到每次循环s，k的值是解题的关键，属于基础题8（5分）（1）当x=x0时，函数f（x）=取得最大值，则cos2x0的值为（）a1bc0d1考点：三角函数的最值 专题：计算题；三角函数的求值；三角函数的图像与性质分析：运用同角的平方关系和二倍角的正弦公式和余弦公式，化简f（x），再由余弦函数的值域即可最大值和对应的x的值，进而求得结论解答：解：函数f（x）=4，由于1cosx1，则23+cosx4，则当cosx=1，即x=2k，kz时，f（x）取得最大值，且为1则有cos2x0=cos4k=1故选d点评：本题考查三角函数的化简和求值，考查二倍角公式和余弦函数的值域，考查运算能力，属于中档题9（5分）对任意实数x定义：2x为x的幂数，已知a，b，cr，若a，b的幂数之和与a，b之和的幂数相等，且a，b，c的幂数之和与a，b，c之和的幂数也相等，则c的最大值为（）a2log23blog32c1dlog23考点：有理数指数幂的化简求值 专题：函数的性质及应用分析：a，b的幂数之和与a，b之和的幂数相等，且a，b，c的幂数之和与a，b，c之和的幂数也相等，可得2a+2b=2a+b，2a+2b+2c=2a+b+c利用基本不等式的性质、不等式的性质、指数运算性质即可得出解答：解：a，b的幂数之和与a，b之和的幂数相等，且a，b，c的幂数之和与a，b，c之和的幂数也相等，2a+2b=2a+b，2a+2b+2c=2a+b+c2c（2a+b1）=2a+b0，可得a+b2=1+，c=2log23c的最大值为2log23故选：a点评：本题考查了基本不等式的性质、不等式的性质、指数运算性质，属于基础题10（5分）已知双曲线=1（a0，b0）的右顶点和右焦点分别为a（a，0）、f（c，0），若在直线x=上存在点p使得apf=30则该双曲线的离心率的取值范围是（）a（1，b，+）c（1，4d4，+）考点：双曲线的简单性质 专题：计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：首先运用正弦定理，求得圆的半径r=ca，再由直角三角形求得圆b的方程，所求圆恰好经过a，f，则原题等价于直线与圆b存在公共点，即有ca，由离心率公式，解不等式即可得到解答：解：由a（a，0）、f（c，0），则|af|=ca，由正弦定理可得，2r=2（ca），即有r=ca，且圆心b在x=上，当afq为直角三角形，且aqf=30，qaf=90时，可得b的纵坐标为（ca）故以为圆心、ca为半径的圆b恰好经过a、f两点，且圆b上的点q即为使得aqf=30的所有点，所以原题等价于直线与圆b存在公共点，即cae23e20e，或e（舍去）故选b点评：本题考查双曲线的方程和性质，考查离心率的求法，考查直线和圆的关系，考查正弦定理的运用，考查运算能力，属于中档题和易错题二、填空题（共3小题，每小题5分，满分15分）11（5分）已知函数f（x）=2xlnx的导函数为f（x）则f（2）=考点：导数的运算 专题：导数的概念及应用分析：求函数的导数，即可得到结论解答：解：函数的导数f（x）=2，则f（2）=2=，故答案为：点评：本题主要考查导数的计算，比较基础12（5分）有4名优秀大学毕业生被某公司录用，该公司共有5个科室，由公司人事部门安排他们到其中任意3个科室上班，每个科室至少安排一人，则不同的安排方案种数为360考点：计数原理的应用 专题：排列组合分析：先从5个科室任选三个，再从4人中选2人做为一个元素，和另外两人到分配到三个科室，根据分步计数原理可得答案解答：解：先从5个科室任选三个，有=10种，再从4人中选2人做为一个元素，和另外两人到分配到三个科室，故有=360，故答案为：360点评：本题考查了分步计数原理，如何分步是关键，属于基础题13（5分）已知函数f（x）=，则方程f（x）=2x在0，2015内的根的个数为2016考点：根的存在性及根的个数判断 专题：计算题；作图题；函数的性质及应用分析：方程f（x）=2x在0，2015内的根的个数即y=f（x）与y=2x的图象的交点的个数，作图求解解答：解：由题知，方程f（x）=2x在0，2015内的根的个数即y=f（x）与y=2x的图象的交点的个数，作函数y=f（x）与y=2x的图象如图所示，显然，方程f（x）=2x在0，2015内的根分别是x=0，1，2，3，2015，共2016个故答案为：2016点评：本题考查了方程的根与函数的图象关系应用，属于基础题选做题（共1小题，每小题5分，满分5分）14（5分）已知圆o的半径为1，过圆外一点p作圆o的割线与圆o交于c、d两点，若pcpd=8，则线段po的长度为3考点：与圆有关的比例线段 专题：直线与圆分析：利用已知条件，由切割线定理得（por）（po+r）=8，由此能求出po的长解答：解：如图，延长po，交圆o于m，n两点，圆o的半径为1，过圆外一点p作圆o的割线与圆o交于c，d两点，pcpd=8，pmpn=（por）（po+r）=8，po212=8，解得po=3故答案为：3点评：本题考查与圆有关的线段长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意切割线定理的合理运用选做题（共1小题，每小题5分，满分5分）15（5分）已知点p在曲线c1：（为参数）上运动，以坐标原点为极点，x的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为cos（+）=，点q在l上运动，则|pq|的最小值是1考点：参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程 专题：坐标系和参数方程分析：把曲线c1的参数方程化为直角坐标方程可得圆心与半径，把直线l的极坐标方程化为直角坐标方程，利用点到直线的距离公式可得圆心到直线的距离，即可得出解答：解：曲线c1：（为参数）化为（x1）2+（y+3）2=1，可得c1（1，3），半径r=1直线l的极坐标方程为cos（+）=，展开化为=，即xy2=0圆心c1到直线的距离d=，|pq|的最小值=dr=1故答案为：1点评：本题考查了把参数方程化为直角坐标方程、极坐标方程化为直角坐标方程、点到直线的距离公式，考查了计算能力，属于基础题选做题（共1小题，每小题0分，满分0分）16若关于x的不等式|x2|+|x+a|3的解集为r，则实数a的取值范围是（，51，+）考点：绝对值不等式的解法 专题：计算题；不等式的解法及应用分析：由绝对值的意义可得|x2|+|x+a|的最小值等于|2+a|，由题意可得|2+a|3，由此解得实数a的取值范围解答：解：由于|x2|+|x+a|表示数轴上的x对应点到2和a的距离之和，它的最小值等于|2+a|，由题意可得|2+a|3，解得 a1，或 a5，故答案为：（，51，+）点评：本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，得到|2+a|3是解题的关键，属于中档题六、解答题（共6小题，满分75分）17（13分）已知命题p：关于x的方程x2+ax+4a2=0有一正一负两实数，命题q：函数f（x）=x2ax1在（，1上为减函数，若“pq”为真命题，“pq”为假命题，求实数a的取值范围考点：复合命题的真假 专题：简易逻辑分析：分别求出命题p，q成立时的a的取值范围，由“pq”为真，“pq”为假，知：p，q一真一假，得到不等式组，解出即可解答：解：命题p成立4a20a2或a2，命题q成立1a1，由“pq”为真，“pq”为假，知：p，q一真一假，故或即a2或1a2点评：本题考查了复合命题的判断，考查了二次函数的性质，是一道基础题18（13分）重庆z中学为筹备参加“汉字听写比赛”，对初二年级的400名同学进行了一次模拟听写比赛每位同学听写150个字，听写正确130个字以上（含130个）的同学才可以参加市级决赛据统计，该年级同学在摸底听写比赛中听写正确的字数的频率分布直方图如图（）根据频率分布直方图，该校可以参加市级决赛的同学有多少人？假设同一组中的每个数据用该组区间的中点值代替，估算这400名同学平均听写正确的字数；（）重庆z中学在可以参加市级决赛的同学中派1人参加市级决赛，按决赛规定：每人最多有5次听写机会，累计听写正确3个字或听写错误3个字即终止设参加决赛的这名同学每个字听写正确的概率相同，且相互独立，若该同学连续两次听写错误的概率是，求该同学在决赛中听写正确的字数x的分布列及数学期望考点：离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图 专题：概率与统计分析：（）由频率分布直方图能求出可以参加市级比赛的人数和这400人平均听写正确的字数（）设该同学每次听写正确的概率为p，则连续两次错误的概率为，解得，他在最多五次听写机会中听写正确的字数x是一个随机变量，x的可能取值为：0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出x的分布列及数学期望解答：（本小题满分13分）解：（）由频率分布直方图知，听写正确130个字以上（含130个）的人数为：0.002520400=20人，可以参加市级比赛的人数为20这400人平均听写正确的字数为：（0.0012540+0.001560+0.0092580+0.0245100+0.011120+0.0025140）20=100；（6分）（）设该同学每次听写正确的概率为p，则连续两次错误的概率为，解得，他在最多五次听写机会中听写正确的字数x是一个随机变量，x的可能取值为：0，1，2，3，x=0，连续3次错误，p（x=0）=，x=1，第四次错，前三次1对2错，p（x=1）=，x=2，第五次错，前四次2对2错，p（x=2）=，x=3，前三次对；或第四次对前三次2对1错；或第五次对前四次2对2错，p（x=3）=，x的分布列为： x 0 1 2 3 p数学期望为 （13分）点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，在历年2015届高考中都是必考题型之一19（13分）在abc中，内角a、b、c所对的边为a、b、c，且cosc=，5（a2+b2）6ab=20（）求c；（）当abc的面积最大时，求sina考点：余弦定理 专题：计算题；三角函数的求值；解三角形分析：（）由余弦定理知cosc=，结合已知5（a2+b2）6ab=20，即可解得c的值；（）由5a2+5b210ab，可知5a2+5b26ab20=04ab20，可得sabc=面积最大时，ab=5当且仅当a=b，从而可得a的值，由正弦定理即可求sina的值解答：解：（）cosc=，5a2+5b25c2=6ab，5（a2+b2）6ab=205c2+6ab=20+6ab，可解得c=2，（）由（i）可得5a2+5b26ab20=05a2+5b210ab，5a2+5b26ab20=04ab20，ab5，sabc=面积最大时，ab=5当且仅当a=b，a=，c=2，且cosc=，可得sinc=，由正弦定理可得：，sina=点评：本题主要考查了余弦定理的应用，不等式的解法，三角形面积公式的应用，综合性较强，属于中档题20（12分）已知曲线f（x）=a（x1）2+blnx（a，br）在点（1，f（1）处的切线的斜率为1（）若函数f（x）在2，+）上为减函数，求a的取值范围；（）当x1，+）时，不等式f（x）x1恒成立，求a的取值范围考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程 专题：导数的概念及应用；导数的综合应用分析：（）求解导数，根据单调性得出f（x）0在2，+）上恒成立，转化为f（x）最大值0，成立即可（）不等式f（x）x1恒成立，转化为构造g（x）=f（x）x+1在1，+）上恒有g（x）0，再利用g（x）最大值问题求解即可，具体分类讨论解答：解：（）由题知f（1）=b=1f（x）=a（x1）2+lnx，f（x）在2，+）上单减，f（x）0在2，+）上恒成立即2ax22ax+10在2，+）上恒成立，2a，a，（）令g（x）=f（x）x+1=a（x1）2+lnxx+1，则g（x）0在1，+）上恒成立，当2a0即a0时，g（x）0，g（x）在1，+）上单减，g（x）g（1）=0，符合题意；当1时，g（x）0，g（x）在1，+）上单增，当x1时，g（x）g（1）=0，矛盾；当时，g（x）在上单减，上单增，而，矛盾；综上，a0点评：本题综合考查了导数的运用，结合不等式，求解最值，判断求解单调性，不等式恒成立问题，综合性较强，难度较大21（12分）已知椭圆c：+=1（ab0）的离心率为a为椭圆c上一动点（a异于左、右顶点），f1、f2分别为椭圆c的左、右焦点，且af1f2面积的最大值为1；（）求椭圆c的方程（）如图，已知点p（2，0），连接ap交椭圆c于点m，连接af1、mf1并延长分别交椭圆c于点b、n，记=，=（、r），求+的取值范围考点：直线与圆锥曲线的综合问题 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（）通过及，计算即得结论；（）通过联