（全国通用）高考数学 专项强化训练(五).doc

专项强化训练(五)圆锥曲线的综合问题1.已知直线l:y=x+1,圆o:x2+y2=,直线l被圆截得的弦长与椭圆c: =1(ab0)的短轴长相等,椭圆的离心率e=.(1)求椭圆c的方程.(2)过点的直线l0交椭圆于a,b两点,试问:在坐标平面上是否存在一个定点t,使得无论l0如何转动,以ab为直径的圆恒过定点t?若存在,求出点t的坐标;若不存在,请说明理由.【解题提示】(1)利用弦长公式及离心率公式求出a,b的值,从而求得椭圆c的方程.(2)先根据直线l0的斜率不存在及斜率为0的情况确定t的坐标,然后再证明以ab为直径的圆恒过定点t即可.【解析】(1)由题意知,圆o的半径r=,圆o(0,0)到直线y=x+1的距离d=,则直线l被圆截得的弦长为,依题意2=2b,b=1.又椭圆的离心率,所以椭圆c的方程为+y2=1.(2)假设存在定点t(x0,y0),设a(x1,y1),b(x2,y2)(x1x2).当直线l0的斜率不存在时,易知a(0,1),b(0,-1),则圆的方程为x2+y2=1.当直线l0的斜率为0时,直线l0的方程为y=-,代入椭圆方程可得即圆的方程为易知t(0,1).下面证明,当直线l0的斜率存在且不为0时,t(0,1)也符合.设直线l0的方程为y=kx-,联立消去y得(2k2+1)x2-=0.则.此时,ta=(x1,y1-1),tb=(x2,y2-1),即当直线l0的斜率存在且不为0时,以ab为直径的圆恒过点t(0,1).综上所述,存在定点t,其坐标为(0,1).【加固训练】已知椭圆c: =1(ab0)的左,右焦点分别为f1,f2,a为上顶点,af1f2为正三角形,以af2为直径的圆与直线y=x+2相切.(1)求椭圆c的标准方程.(2)过点f2作斜率为k的直线l与椭圆交于m,n两点,在x轴上是否存在点p(m,0),使得pq=pm+pn时四边形pmqn为菱形,且点q在椭圆c上?若存在,求m的值;若不存在,请说明理由.【解析】(1)由已知af1f2为正三角形,由a(0,b),f2(c,0),得af2的中点,点b到直线y=x+2的距离为解得a2=4,b2=3,所以椭圆c的标准方程为=1.(2)由(1)可知f2(1,0),设直线l的方程为y=k(x-1).联立方程,得整理得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0,设m(x1,y1),n(x2,y2),由根与系数的关系得x1+x2=,则y1+y2=k(x1+x2-2)=,又pm=(x1-m,y1),pn=(x2-m,y2),所以pq=pm+pn=(x1+x2-2m,y1+y2)得5k4+16k2+12=0,因为5k4+16k2+120恒成立,故满足条件的点p(m,0)不存在.2.过x轴上动点a(a,0)引抛物线y=x2+1的两条切线ap,aq.切线斜率分别为k1和k2,切点分别为p,q.(1)求证:k1k2为定值,并且直线pq过定点.(2)记s为面积,当最小时,求apaq的值.【解析】(1)方法一:设过a点的直线为:y=k(x-a),与抛物线联立得得x2-kx+ka+1=0,=k2-4ak-4=0,所以k1+k2=4a,k1k2=-4为定值.抛物线方程y=x2+1,求导得y=2x,设切点p,q的坐标分别为(xp,yp),(xq,yq),k1=2xp,k2=2xq,所以xp+xq=2a,xpxq=-1.直线pq的方程:y-yp=(x-xp),由yp=xp2+1,yq=xq2+1,得到y=(xp+xq)x-xpxq+1,整理可得y=2xa+2,所以直线pq过定点(0,2).方法二:设切点p,q的坐标分别为(xp,yp),(xq,yq),求导得y=2x,所以lap:y=2xp(x-a),(xp,yp)在直线上,即yp=2xp(xp-a),由p(xp,yp)在抛物线方程上得yp=xp2+1,整理可得yp=2xpa+2,同理yq=2xqa+2,所以lqp:y=2xa+2,所以直线pq过定点(0,2).联立pq的直线方程lqp:y=2xa+2和抛物线方程y=x2+1,可得:x2-2xa-1=0.所以xpxq=-1,xp+xq=2a,所以k1k2=2xp2xq=-4为定值.(2)设a到pq的距离为d.当且仅当t=时取等号,即a=.因为apaq=(xp-a,yp)(xq-a,yq)=xpxq-a(xp+xq)+a2+ypyq,ypyq=(2xpa+2)(2xqa+2)=4a2xpxq+4+4a(xp+xq)=4a2+4,所以apaq=3a2+3=.3.(2015郑州模拟)如图,已知抛物线c:y2=2px和m:(x-4)2+y2=1,圆心点m到抛物线c的准线的距离为.过抛物线c上一点h(x0,y0)(y01)作两条直线分别与m相切于a,b两点,与抛物线c交于e,f两点.(1)求抛物线c的方程.(2)当ahb的角平分线垂直x轴时,求直线ef的斜率.(3)若直线ab在y轴上的截距为t,求t的最小值.【解题提示】(1)由题意列方程,求出p的值,即可得抛物线c的方程.(2)联立直线与抛物线的方程得e,f的坐标,再利用直线的斜率公式得出结论.(3)方法一:设出点a,b的坐标,由点斜式求出直线ha,hb的方程,进而得到直线ab的方程,令x=0,求出纵截距t的表达式,由函数单调性求出t的最小值.方法二:连接hm,求出以h为圆心,ha为半径的圆的方程,进而可得直线ab的方程,令x=0,求出纵截距t的表达式,由函数单调性求出t的最小值.【解析】(1)由题意知m的圆心m的坐标为(4,0),半径为1,抛物线c的准线方程为x=-,因为圆心m到抛物线c的准线的距离为,所以,所以抛物线c的方程为y2=x.(2)因为ahb的角平分线垂直于x轴,所以点h(4,2),所以ahb=60,可得kha=,khb=-,所以直线ha的方程为y=x-4+2,(3)方法一:由题意可设点a,b的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),连接ma,mb,则,因为ha,hb是m的切线,所以hama,hbmb,所以,所以直线ha,hb的方程分别为(4-x1)x-y1y+4x1-15=0,(4-x2)x-y2y+4x2-15=0,又点h在抛物线上,有y02=x0,所以点h的坐标为(y02,y0)(y01),分别代入直线ha,hb的方程得(4-x1)y02-y1y0+4x1-15=0,(4-x2)y02-y2y0+4x2-15=0,可整理为(4-y02)x1-y0y1+4y02-15=0,(4-y02)x2-y0y2+4y02-15=0,从而可求得直线ab的方程为(4-y02)x-y0y+4y02-15=0,令x=0,得直线ab在y轴上的截距 (y01),考虑到函数f(x)=4x-(x1)为单调递增函数,所以tmin=41-=-11.方法二:连接hm,由(1)知设点h(y02,y0)(y01),则hm2=y04-7y02+16,ha2=y04-7y02+15.以h为圆心,ha为半径的圆的方程为(x-y02)2+(y-y0)2=y04-7y02+15,又m的方程为(x-4)2+y2=1.-得:直线ab的方程为(2x-y02-4)(4-y02)-(2y-y0)y0=y04-7y02+14.当x=0时,直线ab在y轴上的截距t=4y0-(y01),因为t关于y0的函数在1,+)上单调递增,所以tmin=-11.4.(2015西安模拟)已知椭圆c: =1(ab0)经过点,离心率为.(1)求椭圆c的方程.(2)直线y=k(x-1)(k0)与椭圆c交于a,b两点,点m是椭圆c的右顶点,直线am与直线bm分别与y轴交于点p,q,试问以线段pq为直径的圆是否过x轴上的定点?若是,求出定点坐标;若不是,说明理由.【解析】(1)由题意得解得a=2,b=1.所以椭圆c的方程是+y2=1.(2)以线段pq为直径的圆过x轴上的定点,由得(1+4k2)x2-8k2x+4k2-4=0,设a(x1,y1),b(x2,y2),则有又因为点m是椭圆c的右顶点,所以点m(2,0),由题意可知直线am的方程为y=(x-2),故点.直线bm的方程为y=(x-2),故点q若以线段pq为直径的圆过x轴上的定点n(x0,0),则等价于pnqn=0恒成立,又因为(x1-2)(x2-2)=x1x2-2(x1+x2)+4y1y2=k(x1-1)k(x2-1)=k2x1x2-(x1+x2)+1即x轴上的定点为(,0)或(-,0).故以线段pq为直径的圆过x轴上的定点(,0).5.已知椭圆c: =1(ab0)的离心率为,直线l1经过椭圆的上顶点a和右顶点b,并且和圆x2+y2=相切.(1)求椭圆c的方程.(2)设直线l2:y=kx+m与椭圆c相交于m,n两点,以线段om,on为邻边作平行四边形ompn,其中顶点p在椭圆c上,o为坐标原点,求|op|的取值范围.【解析】(1)由已知可得e2=,所以a2=4b2,即a=2b.又椭圆的上顶点a(0,b),右顶点b(a,0),所以直线l1的方程为=1,即x+2y-a=0.因为直线l1与圆x2+y2=相切,所以圆心(0,0)到直线l1的距离等于圆的半径,即,解得a=2,所以b=1,故椭圆c的方程为+y2=1.(2)将直线l2的方程和椭圆c的方程联立得消去y,化简整理得(1+4k2)x2+8kmx+4(m2-1)=0,故=(8km)2-4(1+4k2)4(m2-1)=-16(m2-1-4k2)0,即4k2+1m2.设m(x1,y1),n(x2,y2),p(x0,y0),则由根与系数之间的关系可得x1+x2=,因为四边形ompn为平行四边形,所以x0=x1+x2=,y0=y1+y2=k(x1+x2)+2m=kx0+2m=,故点.由点p在椭圆上可得=1,整理得4m2(4k2+1)=(4k2+1)2,因为4k2+10,所以4m2=4k2+1,6.(2015太原模拟)抛物线c1:y2=4x的焦点与椭圆c2: =1(ab0)的一个焦点相同.设椭圆的右顶点为a,c1,c2在第一象限的交点为b,o为坐标原点,且oab的面积为a.(1)求椭圆c2的标准方程.(2)过a点作直线l交c1于c,d两点,连接oc,od分别交c2于e,f两点,记oef,ocd的面积分别为s1,s2.问:是否存在上述直线l使得s2=3s1,若存在,求直线l的方程;若不存在,请说明理由.【解析】(1)因为y2=4x,所以焦点f(1,0),所以c=1,即a2=1+b2.又soab=|oa|yb=a,所以yb=.代入抛物线方程得b.又b点在椭圆上,得b2=3,a2=4,所以椭圆c2的标准方程为=1.(2)假设存在满足题意的直线l,设直线l的方程为x=my+2,由,得y2-4my-8=0.设c(x1,y1),d(x2,y2),e(xe,ye),f(xf,yf),则y1+y2=4m,y1y2=-8,所以48m2=-40,故不存在直线l使得s2=3s1.【加固训练】如图,已知椭圆c: =1(ab0)的左、右焦点分别为f1,f2,其上顶点为a.已知f1af2是边长为2的正三角形.(1)求椭圆c的方程.(2)过点q(-4,0)任作一动直线l交椭圆c于m,n两点,记mq=qn.若在线段mn上取一点r,使得mr=-rn,当直线