（全国通用）高考数学 专项强化训练(六).doc

专项强化训练(六)概率与统计的综合问题1.(2015桂林模拟)某校从高一年级学生中随机抽取40名学生作为样本,将他们的期中考试数学成绩(满分100分,成绩均为不低于40分的整数)分成六组:40,50),50,60),90,100后得到如图的频率分布直方图.(1)求图中实数a的值.(2)若该校高一年级共有学生500人,试估计该校高一年级在考试中成绩不低于60分的人数.(3)若从样本中数学成绩在40,50)与90,100两个分数段内的学生中随机选取两名学生,试用列举法求这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率.【解析】(1)由0.05+0.1+0.2+10a+0.25+0.1=1,可得a=0.03.(2)数学成绩不低于60分的概率为:0.2+0.3+0.25+0.1=0.85,数学成绩不低于60分的人数为5000.85=425(人).(3)数学成绩在40,50)的学生人数:400.05=2(人).数学成绩在90,100的学生人数:400.1=4(人).设数学成绩在40,50)的学生为a1,a2,数学成绩在90,100的学生为a3,a4,a5,a6.两名学生的结果为:a1,a2,a1,a3,a1,a4,a1,a5,a1,a6,a2,a3,a2,a4,a2,a5,a2,a6,a3,a4,a3,a5,a3,a6,a4,a5,a4,a6,a5,a6.共15种,其中两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的情况有a1,a2,a3,a4,a3,a5,a3,a6,a4,a5,a4,a6,a5,a6共7种,因此,抽取的两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率为.2.(2015长沙模拟)某电视台拟举行由选手报名参加的比赛类型的娱乐节目,选手进入正赛前需通过海选,参加海选的选手可以参加a,b,c三个测试项目,只需通过一项测试即可停止测试,通过海选.若通过海选的人数超过预定正赛参赛人数,则优先考虑参加海选测试次数少的选手进入正赛.甲选手通过项目a,b,c测试的概率为分别为,且通过各次测试的事件相互独立.(1)若甲选手先测试a项目,再测试b项目,后测试c项目,求他通过海选的概率;若改变测试顺序,对他通过海选的概率是否有影响?说明理由.(2)若甲选手按某种顺序参加海选测试,第一项能通过的概率为p1,第二项能通过的概率为p2,第三项能通过的概率为p3,设他通过海选时参加测试的次数为,求的分布列和期望(用p1,p2,p3表示);并说明甲选手按怎样的测试顺序更有利于他进入正赛.【解析】(1)依题意,甲选手不能通过海选的概率为故甲选手能通过海选的概率为若改变测试顺序对他通过海选的概率没有影响,因为无论按什么顺序,其不能通过的概率均为即无论按什么顺序,其能通过海选的概率均为.(2)依题意,的所有可能取值为1,2,3.p(=1)=p1,p(=2)=(1-p1)p2,p(=3)=(1-p1)(1-p2)p3.故的分布列为e()=p1+2(1-p1)p2+3(1-p1)(1-p2)p3,分别计算当甲选手按cba,cab,bac,bca,abc,acb的顺序参加测试时,e()的值,得甲选手按cba的顺序参加测试时,e()最小,因为参加测试的次数少的选手优先进入正赛,故该选手选择将自己的优势项目放在前面,即按cba的顺序参加测试更有利于进入正赛.3.(2015重庆模拟)某单位实行休年假制度三年以来,50名职工休年假的次数进行的调查统计结果如表所示根据上表信息解答以下问题:(1)该单位任选两名职工,用表示这两人休年假次数之和,记“函数f(x)=x2-x-1在区间(4,6)上有且只有一个零点”为事件a,求事件a发生的概率p(a).(2)从该单位任选两名职工,用表示这两人休年假次数之差的绝对值,求随机变量的分布列及数学期望e().【解析】(1)函数f(x)=x2-x-1过(0,-1)点,在区间(4,6)上有且只有一个零点,则必有,即所以,=4或=5.=4与=5为互斥事件,由互斥事件有一个发生的概率公式,所以p(a)=p1+p2=(2)依题设可知的可能取值为0,1,2,3.故的分布列为:4.(2015西安模拟)某煤矿发生透水事故时,作业区有若干人员被困.救援队从入口进入之后有l1,l2两条巷道通往作业区,l1巷道有a1,a2,a3三个易堵塞点,各点被堵塞的概率都是;l2巷道有b1,b2两个易堵塞点,被堵塞的概率分别为.(1)求l1巷道中,三个易堵塞点最多有一个被堵塞的概率.(2)若l2巷道中堵塞点个数为x,求x的分布列及数学期望e(x),并按照“平均堵塞点少的巷道是较好的抢险路线”的标准,请你帮助救援队选择一条抢险路线,并说明理由.【解析】(1)设“l1巷道中,三个易堵塞点最多有一个被堵塞”为事件a,则(2)依题意,x的可能取值为0,1,2.所以,随机变量x的分布列为:(方法一)设l1巷道中堵塞点个数为y,则y的可能取值为0,1,2,3. p(y=0)=c30,p(y=1)=c31,所以,随机变量y的分布列为:e(y)=0,因为e(x)e(y),所以选择l2巷道为抢险路线为好.(方法二)设l1巷道中堵塞点个数为y,则随机变量yb,所以e(y)=3.因为e(x)e(y),所以选择l2巷道为抢险路线为好.5.为了解甲、乙两厂产品的质量,从两厂生产的产品中分别随机抽取各10件样品,测量产品中某种元素的含量(单位:毫克).如图是测量数据的茎叶图:规定:当产品中的此种元素含量不小于18毫克时,该产品为优等品.(1)试用上述样本数据估计甲、乙两厂生产的优等品率.(2)从乙厂抽出的上述10件样品中,随机抽取3件,求抽到的3件样品中优等品数的分布列及其数学期望e().(3)从甲厂的10件样品中有放回地随机抽取3件,也从乙厂的10件样品中有放回地随机抽取3件,求抽到的优等品数甲厂恰比乙厂多2件的概率.【解析】(1)甲厂抽取的样本中优等品有6件,优等品率为:乙厂抽取的样本中优等品有5件,优等品率为:.(2)的取值为0,1,2,3.的分布列为的数学期望为e()=0.(3)抽取的优等品数甲厂恰比乙厂多2件包括2个事件,即a=“抽取的优等品数甲厂2件,乙厂0件”,b=“抽取的优等品数甲厂3件,乙厂1件”.则抽取的优等品数甲厂恰比乙厂多2件的概率为:p(a)+ p(b)=6.某校有一贫困学生因病需手术治疗,但现在还差手术费1.1万元,团委计划在全校开展爱心募捐活动,为了增加活动的趣味性吸引更多学生参与,特举办“摇奖100%中奖”活动.凡捐款10元者,享受一次摇奖机会,如图是摇奖机的结构示意图,摇奖机的旋转盘是均匀的,扇形区域a,b,c,d,e所对应的圆心角的比值为12345.相应区域分别设立一、二、三、四、五等奖,奖品分别为价值5元、4元、3元、2元、1元的学习用品.摇奖时,转动圆盘片刻,待停止后,固定指针指向哪个区域(边线忽略不计)即可获得相应价值的学习用品(如图指针指向区域c,可获得价值3元的学习用品).(1)预计全校捐款10元者将会达到1500人次,那么除去购买学习用品的款项后,剩余款项是否能帮助该生完成手术治疗?(2)如果学生甲捐款20元,获得了两次摇奖机会,求他获得价值6元的学习用品的概率.【解析】(1)设摇奖一次,获得一、二、三、四、五等奖的事件分别记为a,b,c,d,e.则其概率分别为设摇奖一次支出的学习用品相应的款项为,则的分布列为:若捐款10元者达到1