机械振动学习题解答(二)PPT课件.ppt

机械振动学 习题解答 二 2013 04 19 2020 1 9 1 4 1如图所示 质量为m的油缸与刚度为k的弹簧相连 通过阻尼系数为c的黏性阻尼器以运动规律y Asin t的活塞给予激励 求油缸运动的振幅以及它相对于活塞的相位 解 设油缸位移为x 活塞位移为y 对油缸建立方程即方程的解为x的振幅而活塞的运动为所以x相对于y的相位差 y c m k x 相位 2020 1 9 2 4 2如图所示 质量可忽略的直角刚性杆可绕铰链O自由转动 弹簧一端有简谐位移扰动Acos t 试导出系统的振动微分方程 并求系统的稳态响应 解 设刚性杆向顺时针方向转动 角 则图中B点的位移和速度分别为对刚性杆用动量矩定理 c m k Acos t mg a L 由化简得微分方程 B 2020 1 9 3 微分方程 稳态响应其中或其中 2020 1 9 4 4 3求弹簧 质量系统在库仑阻尼和简谐激励力F0sin t作用下的振幅 在什么条件下运动能继续 解 库仑阻尼的等效阻尼系数振幅 上式可化简为 要使运动能继续 X不能为虚数 所以 2020 1 9 5 4 5带结构阻尼的单自由度系统 若刚度和阻尼的作用可用复数形式表示 系统的等效质量为m 求系统在简谐激励下的响应 解 系统的微分方程为设系统的稳态响应 代入上式得 解得 所以 其中 2020 1 9 6 4 7弹性支承的车辆沿高低不平的道路运行可用图示单自由度系统模拟 若每经过距离为L的路程 路面的高低按简谐规律变化一次 试求出车辆振幅与运行速度v之间的关系 并确定最不利的运行速度 解 将路面看成简谐激励 其周期 则角频率 系统方程为 稳态响应 振幅 系统发生共振时为最不利的情况 2020 1 9 7 4 8图示系统中 集中质量m 20kg 弹簧刚度k 3 5kN m 阻尼器的黏性阻尼系数为c 0 2kN s m 凸轮的转速为60r min 行程为0 01m 试求系统的稳态响应 解 设凸轮的行程为a 则凸轮的位移可表示为 并由题意知 a 0 01m 周期 1s 将x0 t 展开为Fourier级数 其中所以 奇函数的Fourier级数只有正弦项 偶函数只有余弦项 2020 1 9 8 系统的微分方程为即于是稳态响应 静载荷 多个简谐激励 其中 2020 1 9 9 4 9一个弹簧 质量系统从倾斜角为30 的光滑斜面下滑 求弹簧从开始接触挡板到脱开挡板的时间 解 设弹簧接触挡板的时刻为t 0 此后质量块做无阻尼自由振动 以弹簧平衡位置为原点 其运动方程为t 0时的初速度初始位移 即弹簧自由长度与静平衡长度的差值 质量块的运动规律为求出运动规律后 要求弹簧从开始接触挡板到脱开挡板的时间 有两种办法 m k S 2020 1 9 10 解法二 将此简谐运动写作式中由图可见 弹簧从接触挡板到脱离的时间为 解法一 设弹簧运行至最低点时t 则弹簧脱离挡板的时刻应为t 2 令 可得弹簧从接触挡板到脱离的时间为 2 0 x0 2020 1 9 11 5 5机器质量为453 4kg 安装时使支承弹簧产生的静变形为5 08mm 若机器的旋转失衡为0 2308kg m 求 在1200r min时传给地面的力 在同一速度下的动振幅 解 旋转失衡的微分方程为 振幅其中 所以 传给地面的力 2020 1 9 12 2020 1 9 13 5 6如果题5 5的机器安装在质量为1136kg的大混凝土基础上 增加基础下面弹簧的刚度 使弹簧静变形为5 08mm 则动振幅将是多少 解 频率比振幅 与上题相同 比上题小了 2020 1 9 14 5 7质量为113kg的精密仪器通过橡皮衬垫装在基础上 基础受到频率为20Hz 幅值为15 24cm s2的加速度激励 设橡皮衬垫有如下参数 k 2802N cm 0 1 问 传给精密仪器的加速度是多少 解 微分方程位移传递率 式中加速度传递率所以 2020 1 9 15 5 9机器重2500kN 弹簧刚度k 800kN m 阻尼比 0 1 干扰力频率与发动机转速相等 试问 在多大转速下 传递给基础的力幅大于激振力幅 传递力幅为激振力幅20 时的转速是多大 解 力传递率于是 故最大转速为 力传递率于是 转速 2020 1 9 16 5 10一仪器要与发动机的频率从1600到2200r min范围实现振动隔离 若要隔离85 仪器安装在隔振装置上时 隔振装置的静变形应为多少 解 根据传递率与频率比的关系曲线 要在 r1 r2 的频率区间内使隔振达到85 只要在r1时传递率Tr 0 15即可 2020 1 9 17 5 11悬挂系统的固有频率为0 5Hz 箱子从0 5m高处落下 求所需的振荡空间 解 设x为质量m的绝对位移 y为箱子的绝对位移 z为质量m相对于箱子的位移 当箱子做自由落体运动时 微分方程 即此系统受到阶跃激励 其响应为 课本p 110 此运动一直持续到箱子落地的时刻 设此时刻为t1 则将t1代入z t 的表达式 可得此时的位移和速度 分别记为 2020 1 9 18 箱子落地后 相对速度瞬间增加了gt1 而相对位移不变 即此后 质量m做有阻尼自由振动 初始条件即为其响应为 课本p 54 式 3 53 求此响应的最大幅值即为箱子所需的振荡空间 2020 1 9 19 两大通用方法 1Duhamel积分2Laplace变换特殊函数激励的响应 无阻尼系统 1单位脉冲响应2阶跃激励F t F0的响应3斜坡激励F t at的响应 单自由度系统瞬态激励下的响应 2020 1 9 20 解 tt0时 系统响应有两种解法 解法一 将激励看成两个阶跃函数的叠加 其响应分别为 4 11如图所示 一弹簧 质量系统 从t 0开始作用一不变的F0力 作用时间为t0 求系统在tt0两种情况下的响应 并找出t t0时最大位移与t0 的关系 如果t0与系统自振周期 相比很小 最大位移为多少 请与脉冲响应函数比较 于是 2020 1 9 21 解法二 t t0时系统作自由振动 初始条件为 于是 为求t t0时的最大位移 上式可用和差化积公式改写为 最大值当时 t0很小的阶跃响应与脉冲响应类似 但由于阶跃激励的瞬时值是有限值 而脉冲激励的瞬时值是无穷大 故二者仍有区别 t0很小的阶跃响应最大值趋近于0 而脉冲响应不是 2020 1 9 22 4 12如图所示 一单自由度无阻尼弹簧 质量系统 受到图示力的激励 用杜哈美积分求系统在tt1两种情况下的响应 并概略图示之 解 tt1时 系统受到的激励可看成两个斜坡函数的叠加 2020 1 9