（全国通用）高考数学 10.2 排列与组合练习.doc

课时提升作业(六十二)排列与组合(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.(2015桂林模拟)从10名大学毕业生中选3人担任村长助理,则甲、乙至少有1人入选,而丙没有入选的不同选法的种数为()a.28b.49c.56d.85【解析】选b.依题意,满足条件的不同选法的种数为c22c71+c21c72=49种.2.(2015厦门模拟)甲、乙、丙、丁四个人排成一行,则乙、丙两人位于甲同侧的排法种数是()a.16b.12c.8d.6【解析】选a.当甲在两边时有a21a33=12种,当甲不在两边时有a21a22=4种,所以共有12+4=16种.【方法技巧】排列问题与组合问题的识别方法3.现有16张不同的卡片,其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张.从中任取3张,要求这3张卡片不能是同一种颜色,且红色卡片至多1张,不同取法的种数为()a.232b.252c.472d.484【解析】选c.显然该问题是一个组合问题,什么条件也不考虑共有c163种取法,同一种颜色共有4c43种取法,两张红色卡片共有c42c121种取法,不同的取法有:c163-4c43-c42c121=-16-72=472.【一题多解】本题也可以用如下方法求解:选c.先求出没用红色卡片的取法共有c40c123,再去掉相同颜色的共有3c43,最后加上一张红色卡片的情况共有c41c122,共有不同的取法:c40c123-3c43+c41c122=220-12+264=472.4.(2015济南模拟)某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言,要求甲、乙两人至少有一人参加,当甲、乙同时参加时,他们两人的发言不能相邻,那么不同的发言顺序的种数为()a.360b.520c.600d.720【解析】选c.根据题意,可分2种情况讨论:只有甲乙其中一人参加,有c21c53a44=480种情况;甲乙两人都参加,有c22c52a44=240种情况,其中甲乙相邻的有c22c52a33a22=120种情况;则不同的发言顺序种数为480+240-120=600种.5.在1,2,3,4,5,6这六个数字组成的没有重复数字的三位数中,各位数字之和为偶数的共有()a.60个b.36个c.24个d.18个【解析】选a.依题意,所选的三位数字有两种情况:(1)3个数字都是偶数,有a33种方法.(2)3个数字中有2个是奇数,1个是偶数,有c32c31a33种方法,故共有a33+c32c31a33=60(个),故选a.【加固训练】若从1,2,3,9这9个整数中同时取4个不同的数,其和为偶数,则不同的取法共有()a.60种b.63种c.65种d.66种【解析】选d.对于4个数之和为偶数,可分三类,即4个数均为偶数,2个数为偶数2个数为奇数,4个数均为奇数,因此不同的取法共有c44+c42c52+c54=66种.6.某高中学生社团得到迅猛发展,某校高一新生中的五名同学打算参加“小记者团”“舞者轮滑俱乐部”“足球之家”“围棋苑”四个社团.若每个社团至少有一名同学参加,每名同学至少参加一个社团且只能参加一个社团,且其中甲不参加“围棋苑”,则不同的参加方法的种数为()a.72b.108c.180d.216【解析】选c.设五名同学分别为甲、乙、丙、丁、戊,由题意,如果甲不参加“围棋苑”,有下列两种情况:(1)从乙、丙、丁、戊中选一人(如乙)参加“围棋苑”,有c41种方法,然后从甲与丙、丁、戊共4人中选2人(如丙、丁)并成一组与另2人分配到其他三个社团中,有c42a33种方法,故共有c41c42a33种参加方法.(2)从乙、丙、丁、戊中选2人(如乙、丙)参加“围棋苑”,有c42种方法,甲与丁、戊分配到其他三个社团中有a33种方法,这时共有c42a33种参加方法.综合(1)(2),共有c41c42a33+c42a33=180种参加方法.【一题多解】解答本题可以用如下方法解决:选c.由于甲是特殊元素,故按甲进行分类.第一类,甲自己去一个社团,有c31种选法,将其余4人中选2人有c42种选法,将这2人和其余2人分派到三个社团共有a33种方法,所以共有c31c42a33=108种.第二类,甲与另外一人同去一个社团,先安排甲有c31种选法,然后将剩余4人分派到四个社团有a44种,所以共有c31a44=72种,所以总共有108+72=180种参加方法.7.(2015三明模拟)将a,b,c,d,e排成一列,要求a,b,c在排列中顺序为“a,b,c”或“c,b,a”(可以不相邻),这样的排列有()a.12种b.20种c.40种d.60种【解析】选c.五个元素没有限制全排列有a55种,由于要求a,b,c的次序一定(按a,b,c或c,b,a),故符合要求的排列有2=40(种).二、填空题(每小题5分,共15分)8.8名游泳运动员参加男子100米的决赛,已知游泳池有从内到外编号依次为1,2,3,4,5,6,7,8的8条泳道,若指定的3名运动员所在的泳道编号必须是3个连续数字(如:5,6,7),则参加游泳的这8名运动员被安排泳道的方式共有种.【解析】先从8个数字中取出3个连续的数字共有6种方法,将指定的3名运动员安排在这3个编号的泳道上,剩下的5名运动员安排在其他编号的5条泳道上,共有6a33a55=4320种安排方式.答案:4320【一题多解】解答本题还可以用如下的方法解决先将所在的泳道编号是3个连续数字的3名运动员全排列,有a33种排法,然后把他们捆绑在一起当作一名运动员,再与剩余5名运动员全排列,有a66种排法,故共有a33a66=4320种安排方式.答案:43209.(2013浙江高考)将a,b,c,d,e,f六个字母排成一排,且a,b均在c的同侧,则不同的排法共有种(用数字作答).【解析】分两步:任意选3个空排a,b,c,共有c63a22a22种排法;再排其余3个字母,共有a33种排法;所以一共有c63a22a22a33=480(种)排法.答案:48010.(2015广州模拟)某救灾小组共有8人,其中男同志5人,女同志3人,现从这8人中选出3人参加灾后防疫工作,要求这3个中男、女同志都有,则不同的选法有种(用数字作答).【解析】从3名女同志和5名男同志中选出3人,分别参加灾后防疫工作,若这3人中男、女同志都有,则从全部方案中减去只选派女同志的方案数c33,再减去只选派男同志的方案数c53,合理的选派方案共有c83-c33-c53=45(种).答案:45【方法技巧】求排列组合问题的原理和方法排列组合问题虽然种类繁多,但只要能把握住最常见的原理和方法,即“分步用乘、分类用加、有序排列、无序组合”,留心容易出错的地方就能够以不变应万变,把排列组合学好. (20分钟40分)1.(5分)有8张卡片分别标有数字1,2,3,4,5,6,7,8,从中取出6张卡片排成3行2列,要求3行中仅有中间行的两张卡片上的数字之和为5,则不同的排法共有()a.1344种b.1248种c.1056种d.960种【解题提示】根据题意,分两步进行,首先确定中间行的数字只能为1,4或2,3,然后确定其余4个数字的排法数,使用排除法,用总数减去不合题意的情况数,可得其情况数目,由分步乘法计数原理计算可得答案.【解析】选b.根据题意,要求3行中仅有中间行的两张卡片上的数字之和为5,则中间行的数字只能为1,4或2,3,共有c21a22=4(种)排法,然后确定其余4个数字,其排法总数为a64=360,其中不合题意的有:中间行数字和为5,还有一行数字和为5,有4种排法,余下两个数字有a42=12(种)排法,所以此时余下的这4个数字共有360-412=312种方法;由分步乘法计数原理可知共有4312=1248(种)不同的排法.2.(5分)方程x+y+z=8的非负整数解的组数为.【解析】把x,y,z分别看作是x个1,y个1和z个1,则共有8个1,问题抽象为8个1和两个“+”号的一个排列问题.由于x,y,z非负,故允许“+”号相邻,如11+111111表示x=2,y=0,z=6,+11111111+表示x=0,y=8,z=0等,所以不同排法总数为从10个位置中选取2个放“+”号,所以方程的非负整数解共有c102=45组.答案:453.(5分)(2015衡水模拟)数列an共有12项,其中a1=0,a5=2,a12=5,且|ak+1-ak|=1,k=1,2,3,11,则满足这种条件的不同数列有个.【解题提示】先将条件|ak+1-ak|=1,k=1,2,3,11,转化为不含绝对值的形式,再将问题转化为与排列组合有关的问题.【解析】由|ak+1-ak|=1知an相邻两项相差1,从a1到a5共4次1的运算,使0变成2,需要3次+1,1次-1,故有c43种方法;从a5到a12共7次1的运算,使2变成5,需要5次+1,2次-1,故有c75种方法;由分步乘法计数原理得:有c43c75=84种可能,即有84个不同数列.答案:844.(12分)用0,1,2,3,4,5,6构成无重复数字的七位数,其中:(1)能被25整除的数有多少个?(2)设x,y,z分别表示个位、十位、百位上的数字,满足xyz的数有多少个?(3)偶数必须相邻的数有多少个?【解题提示】(1)探究知,后两位数字是50与25时,这样的整数能被25整除,分两类计数求解.(2)可求出总的七位数字个数,由于xyz重复计数a33次,用总数除之求解.(3)用捆绑法把偶数看作一个元素,求出总的个数再减去0在首位的个数即可.【解析】(1)能被25整除的数有两类;后两位是50时,总的个数是a55=120,后两位是25时,先排首位有4种方法,其他四位有a44种方法,共有4a44=96(个)数,所以能被25整除的数有120+96=216(个).(2)0,1,2,3,4,5,6构成无重复数字的七位数有6a66个,满足x,y,z分别表示个位、十位、百位上的数字,且xyz的数共有=720(个).(3)先把四个偶数放在一起,故有a44种排法,再把四个偶数看作一个元素与三个奇数组成四个元素进行排列,有a44种排法,总的排法有a44a44=576(种),由于此种排法会出现0在首位的现象,故从总的计数中减去0在首位的排法个数,0在首位时,三个偶数的排法有a33种,三个奇数排在个、十、百位也有a33种方法,故0在首位的排法有a33a33=36(种).所以偶数必须相邻的数有576-36=540(个).5.(13分)(能力挑战题)集合a=xz|x10,集合b是集合a的子集,且b中的元素满足:任意一个元素的各数位的数字互不相同;任意一个元素的任意两个数位的数字之和不等于9.(1)集合b中两位数和三位数各有多少个?(2)集合b中是否有五位数?是否有六位数?(3)将集合b中的元素从小到大排列,求第1081个元素.【解析】将0,1,9这10个数字按照和为9进行配对,考虑(0,9),(1,8),(2,7),(3,6),(4,5),b中元素的每个数位只能从上面五对数中每对只取一个数构成.(1)两位数有c5222a22-c412=72(个);三位数有c5323a33-c4222a22=432(个).(2)存在五位数,只需从上述五个数对中每对取一个数即可找出符合条件的五位数;不存在六位数,若存在,则至少要从一个数对中取出两个数,则该两个数字之和为9,与b中任意一个元素的任意两个数位的数字之和不等于9矛盾,因此不存在六位数.(3)四位数共有c5424a44-c4323a33=1728(个),因此第1081个元素是四位数,且是第577个四位数,我们考虑千位,千位为1,2,3的四位数有3c4323a33=576(个),因此第1081个元素是4012.【误区警示】解答本题易出现下面两个误区(1)对“各数位的数字互不相同”理解不深刻致误.(2)对“任意两个数位的数字之和不等于9”理解不到位.不能从反面出发,把数字分成(0,9),(1,8),(2,7),(3,6),(4,5)五组进行求解而致误.【加固训练】已知10件不同产品中共有4件次品,现对它们进行一一测试,直至找到所有次品为止.(1)若恰在第5次测试,才测试到第一件次