重庆市南开中学高三数学9月月考试题 理（含解析）(1).doc

重庆南开中学高2015级高三9月月考数学试题（理科）【试卷综析】注重基础知识，基本技能的考查，符合新课程标准和命题的意图及宗旨。解答题中，梯度明显，考查的都是集合与函数中的基本概念和基本方法，在关注学生基本能力的考查的同时，仍然紧扣双基。总体感觉试题对学生双基的考查既全面又突出重点，对教师的教和学生的学检测到位，同时对后续的教与学又起到了良好的导向和激励.第1卷（选择题共50分）一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的【题文】1已知集合，集合a=2,3，集合b=3,5，则=( )a. 2,3,5 b. 1,4,6) c. d.5)【知识点】交、并、补集的混合运算.a1【答案解析】c 解析：解：集合u=1，2，3，4，5，6，集合a=2，3，集合b=3，5，cub=1，2，4，6，a（ub）=2,所以c正确.【思路点拨】集合u=1，2，3，4，5，6，集合a=2，3，集合b=3，5，故cub=1，2，4，6，由此能求出a（ub）【题文】2在复平面内，复数 (其中i是虚数单位）对应的点位于( )a.第一象限 b.第二象限 c第三象限 d第四象限【知识点】复数的代数表示法及其几何意义.l4【答案解析】a 解析：解：复数 =，复数对应的点的坐标是（ ，）复数 在复平面内对应的点位于第一象限，故选a【思路点拨】先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，分母变成一个实数，分子进行复数的乘法运算，整理成复数的标准形式，写出对应点的坐标，看出所在的象限【题文】3函数的定义域为( )a. b. (-2,1) c. d. (1,2)【知识点】函数的定义域及其求法.b1【答案解析】d 解析：解：由题意得：，解得：1x2，故选：d【思路点拨】根据导数的性质，二次根式的性质得不等式，解出即可【题文】4函数的零点所在区间是( )a.(o,1) b.(1,2) c.(2,3) d.(3,4)【知识点】函数零点的判定定理b9【答案解析】b 解析：解：f（0）=1160，f（1）=0，f（2）=96+1=40，函数f（x）的零点在区间（1，2）能，故选：b【思路点拨】分别求出f（0），f（1），f（2）的值，得出f（1）0，f（2）0，从而得出答案b【题文】5若函数的图象如右图所示，则下列函数图象正确的是( )【知识点】函数的图象.b1【答案解析】 b解析：解:由题意可知图象过（3，1），故有1=loga3，解得a=3，选项a，y=ax=3x=（）x单调递减，故错误；选项b，y=x3，由幂函数的知识可知正确；选项c，y=（x）3=x3，其图象应与b关于x轴对称，故错误；选项d，y=loga（x）=log3（x），当x=3时，y=1，但图象明显当x=3时，y=1，故错误故选：b【思路点拨】由题意可得a=3，由基本初等函数的图象和性质逐个选项验证即可【题文】6下列叙述正确的是( )a命题：，使的否定为：，均有b命题：若，则或的逆否命题为：若或，则c己知，则幂函数为偶函数，且在上单调递减的充分必要条件为 n = 1d函数图像关于点(1，0)中心对称的充分必要条件为m = 1【知识点】命题的真假判断与应用. a2【答案解析】c 解析：解：解：a：命题：xr，使x3+sinx+20的否定为：xr，均有x3+sinx+20，故a错误；b：命题：若x2=1，则x=1或x=1的逆否命题为：若x1且x1，则x20，故b错误；c：因为幂函数y=x3n7在x（0，+）上单调递减，所以3n70，解得n，又nn，所以，n=0，1或2；又y=x3n7为偶函数，所以，n=1，即幂函数y=x3n7为偶函数，且在x（0，+）上单调递减的充分必要条件为n=1，c正确；d：令y=f（x）=log2，由其图象关于点（1，0）中心，得f（x）+f（2x）=0，即log2+log2=log2=0，=1，整理得：m2+2m3=0，解得m=1或m=3，当m=3时，=10，y=log2不存在，故m=3舍去，故m=1所以，函数y=log2图象关于点（1，0）中心对称的充分必要条件为m=1，d错误；故选：c【思路点拨】a：写出命题：xr，使x3+sinx+20的否定，判断即可；b：写出命题：若x2=1，则x=1或x=1的逆否命题，判断即可；c：依题意，可求得n=1，从而可判断其正误；d：令y=f（x）=log2，由其图象关于点（1，0）中心，得f（x）+f（2x）=0，解得m=1，从而可判断其正误【题文】7函数，若，则实数a取值范围是( )a b-1,0 c0,1 d.-1,1【知识点】分段函数的应用b1【答案解析】d 解析：解：函数f（x）=，当a=0时，f（a）+f（a）2f（1）即为2f（0）2f（1），即1e+1成立；当a0时，a0，f（a）+f（a）2f（1）即为2ea+2a2（e+1），令y=g（x）=2ex+x，y=2ex+10，则y=2ex+x在r上递增由g（a）g（1）可得a1当a0时，a0，f（a）+f（a）2f（1）即为2ea2a2（e+1），由y=g（x）=2ex+x在r上递增，又g（a）g（1），即有a1，即a1由得实数a取值范围是1，1 故选d【思路点拨】讨论a=0，a0，a0，化简不等式，构造函数y=g（x）=2ex+x，运用导数判断单调性，再由单调性解不等式，最后求并集【题文】8用c(a)表示非空集合a中的元素个数，定义.若，且|a-b|=1，由a的所有可能值构成的集合为s，那么c(s)等于( )a1 b2 c3 d4【知识点】子集与交集、并集运算的转换a1【答案解析】a 解析：解：解：由|x2+2x3|=a得：x2+2x3a=0，a0；对于x2+2x3a=0，=4+4（3+a）0，方程x2+2x3a=0至少有两个实数根，即集合b至少含2个元素；|ab|=1，b含3个元素；方程x2+2x3+a=0有二重根，=44（3+a）=0，a=4；s=4，c（s）=1故选a【思路点拨】先根据已知条件可判断出b含3个元素，所以方程|x2+2x3|=a有三个实根，进一步判断出方程x2+2x3+a=0有两个二重根，所以根据=0即可求得a的值，从而求出集合s，这样便可判断出集合s所含元素的个数【题文】9己知定义在实数集r上的函数满足：；当时，则f(2014)、f(2015)、 f(2016)满足( )a. f(2014) f(2015) f(2016) b. f(2016) f(2015) f(2014)c. f(2016)= f(2014) f(2015) d. f(2016)= f(2014) f(2015)【知识点】抽象函数及其应用b1【答案解析】c 解析：解：解：因为f（2x）=f（x），所以该函数的对称轴为x=，由f（x+2）=f（x2），令t=x2，代入原式得f（t+4）=f（t），所以该函数周期为4，因为当x1，x21，3时，0，所以该函数在1，3上是减函数则f（2014）=f（4503+2）=f（2），f（2015）=f（4503+3）=f（3），f（2016）=f（4504）=f（0）=f（20）=f（2）所以f（2014）=f（2016）=f（2）f（3）=f（2015），故选：c【思路点拨】给出了函数的对称轴；给出了周期；确定了单调性，据此可以将给的函数值进行转化，最终变成1，3内的函数值再进行比较【题文】10设函数f(x)对于所有的正实数x均有f(3x)=3f(x)，且，则使得f(x)= f(2014)的最小的正实数x的值为( )a 173 b416 c556 d 589【知识点】抽象函数及其应用b1【答案解析】b 解析：解：解：因为f（x）对于所有的正实数x均有f（3x）=3f（x），所以f（x）=3f（），所以f（2014）=3f（）=32f（）=，当n=6时，所以f（2014）=372014=173，同理f（x）=3nf（）=，（nn*）当时，x=3n+1173，n=6时，找的第一个符合前面条件的x=556；当时，x=3n+173，当n=5时找到最小的x=416符合前面条件综上，当x=416时满足题意故选b【思路点拨】实际上，此题类似于“周期函数”，只是这个“周期”是每次三倍增大变化的，要求其解析式，只需将x化归到1，3上即可而与f（2014）相等的也不止一个，为此我们只需找到相应的那个区间即可求出来第ii卷（非选择题，共100分）二. 填空题：本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分把答案填写在答题卡相应位置上【题文】11 = 【知识点】对数的运算性质b7【答案解析】-6 解析：解：=（log26log23）9+2=19+2=6故答案为：6【思路点拨】利用对数和指数的性质和运算法则求解【题文】12定义在r上的函数满足，则=_ _【知识点】抽象函数及其应用b1【答案解析】 6解析：解：由题意可知：f（1）=f（0+1）=f（0）+f（1）+201=f（0）+f（1），f（0）=0f（0）=f（1+1）=f（1）+f（1）+2（1）1=f（1）+f（1）2，f（1）=0f（1）=f（2+1）=f（2）+f（1）+2（2）1=f（2）+f（1）4，f（2）=2f（2）=f（3+1）=f（3）+f（1）+2（3）1=f（3）+f（1）6，f（3）=6故答案为：6【思路点拨】本题是抽象函数及其应用类问题在解答时，首先要分析条件当中的特殊函数值，然后结合条件所给的抽象表达式充分利用特值得思想进行分析转化，例如结合表达式的特点1=0+1等，进而问题即可获得解答【题文】13已知函数，若关于x的方程有且只有四个不相等的实数根，则实数k的取值范围是_ _【知识点】函数的零点与方程根的关系b9【答案解析】（，） 解析：解：令g（x）=kx（k0），则方程f（x）=kx（k0）有且只有四个不相等的实数根可转化为函数f（x）与g（x）有且只有四个交点；作出函数f（x）= 的图象如下图，当与第二半圆相切时，有3个交点，此时，k=，当与第三半圆相切时，有5个交点，此时，k=，则实数k的取值范围为（，）故答案为：（，）【思路点拨】令g（x）=kx（k0），将方程的解的个数化为函数交点的个数，作出函数f（x）= 的图象，从图象中得到实数k的取值范围考生注意：14、15、1.6为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分【题文】14.如图，ab是半圆o的直径，bac =30，bc为半圆的切线，且bc= 4，则点o到ac的距离od= _【知识点】相似三角形的性质；相似三角形的判定n1【答案解析】3 解析：解：过o做ac的垂线，垂足是d，bc是o的切线，abc=90，odac，在abc与ado中，ado=90，a=a，abcado，；在abc中，bac=30，ac=2bc=8 ，ab=12，oa=6=bo，od=故答案为：3【思路点拨】首先过o作ac的垂线段od，再利用两个角对应相等得到三角形相似，利用三角形相似的性质得到比例式，根据直角三角形中特殊角的三角函数，求出o到ac的距离【题文】15已知直线l的参数方程是，曲线c的极坐标方程是=2，若直线l与曲线c相交于a，b两点，则|ab|= _【知识点】参数方程化成普通方程n3【答案解析】 解析：解：由直线的参数方程得2x+y3=0由曲线c的极坐标方程是=2，得x2+y2=4，半径r=2，圆心（0，0）到直线的距离d=，|ab|=故答案为：【思路点拨】首先，将直线的参数方程化为普通方程，曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，然后，根据圆中的弦长公式进行求解【题文】16已知集合，则集合= _【知识点】交集及其运算a1【答案解析】x|2x5 解析：解：解：集合a=xr|x+3|+|x4|9，所以a=x|4x5；集合，当且仅当t=时取等号，所以b=x|x2所以ab=x|4x5x|x2=x|2x5故答案为：x|2x5【思路点拨】求出集合a，求出集合b，然后利用集合的运算法则求出ab三.解答题：本大题6个小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤【题文】17.（本题满分13分） 已知集合，集合，不等式的解集为b，若，求实数a的取值范围【知识点】集合的包含关系判断及应用；补集及其运算a1【答案解析】 解析：解：解：由|xa|2可得，a2xa+2，即a=x|a2xa+2，由（x2x2）2（x1）可得02x2x2x2解不等式可得，x3，即 b=x|x3cub=x|x3acuba+23a1【思路点拨】由已知可得，a=x|a2xa+2，b=x|x3，进而可求得，cub=x|x3，由acub可得a+23，可求实数a的取值范围【题文】18.(本题满分13分，(1)小问4分，(2)小问9分） 已知集合，集合.(1)求集合a(2)若，求实数k的取值范围.【知识点】集合的包含关系判断及应用a1【答案解析】 7，+）解析：解：解：（1）x25x+40，1x4，a=1，4；（2）当b=时，=818k0，求得k当b时，有2x29x+k=0的两根均在1，4内，设f（x）=2x29x+k，则解得7k综上，k的范围为7，+）【思路点拨】(1)解不等式，可得集合a；（2）若ba，分类讨论，求实数k的取值范围【题文】19.（本题满分13分） 已知命题p:关于x的方程在有解；命题单调递增；若为真命题，是真命题，求实数m的取值范围【知识点】复合命题的真假a2【答案解析】m（1，） 解析：解：解：由命题p：关于x的方程x2mx2=0在x0，1有解；可设函数f（x）=x2mx2，f（1）0，解得 m1，由命题q得x22mx+0，在区间1，+）上恒成立，且函数y=x22mx+0，在区间1，+）上单调递增，根据x22mx+0，在区间1，+）上恒成立，得m，由函数y=x22mx+0，在区间1，+）上单调递增，得m1，由命题q得：m，p为真命题，pq是真命题，得到p假q真，m（1，）实数m的取值范围（1，）【思路点拨】首先，判断命题p为真命题时，实数m的取值范围，然后，再判断命题q为真命题时，实数m的取值范围最后，结合条件：p为真命题，pq是真命题，得到p假q真，最后，得到实数m的取值范围【题文】20.(本题满分12分， (1)小问4分，(2)小问8分） 已知定义在偶函数满足：当时，函数,(1)求函数上的解析式：(2)若对于任意，都有成立，求实数a的取值范围【知识点】函数恒成立问题；函数解析式的求解及常用方法b1【答案解析】(1) （2）解析：解：（1）设x1，0，则x0，1，结合函数f（x）是1，1上的偶函数，所以f（x）=f（x）=x+，所以（2）因为对任意的x1，x21，1，都有g（x2）f（x1）成立，则只需g（x）minf（x）max，又因为y=f（x），x1，1是偶函数，所以f（x）的值域就是f（x）在0，1值域而当x0，1时，f（x）=x+2，令t=，原函数化为y=t2+2t+2=（t1）2+3，t1，显然t=1时f（x）max=3，又因为g（x）min=3a+5，则由题意得，解得0即为所求【思路点拨】1）可设x1，0，则x0，1，可得到f（x），然后利用奇偶性得到f（x），再合并成分段函数的形式给出结果；（2）结合图象分析：只需g（x）minf（x）max，然后再分别求出两函数相应的最值即可【题文】21.(本题满分12分，(1)小问5分，(2)小问7分） 已知关于x的方程的两不等实根为，函数的定义域为(1)求的值；(2)设表示函数的最大值，表示函数的最小值，记函数，求函数的值域【知识点】导数在最大值、最小值问题中的应用；函数的定义域及其求法；函数的值域；函数的最值及其几何意义b1,b3【答案解析】(1)(2) h（t）的值域为2，+） 解析：解：（1）由韦达定理得：x1x2=1，x1+x2=2t，则f（x1）f（x2）=（2），由于x1，x2为方程x22tx1=0的两实根，故当xx1，x2时，x22tx10恒成立，得f（x）0在x1，x2上恒成立，所以f（x）在x1，x2上递增，所以由题意知g（t）=f（x2）f（x1）=，结合（1），将1=x1x2，t=代入上式化简得g（t）=在h（t）中，令u=log2t，则u（0，1，则函数化为y=，化简得，u（0，1，根据对勾函数的性质，该函数在（0，1上递减，所以函数h（t）的值域为2，+）【思路点拨】1）结合韦达定理得到两根之和、两根之积，然后整体代入f（x1）f（x2）即可；（2）先将t看成参数，求出f（x）的最值（用t表示），以此得到g（t）=maxf（x）minf（x），再利用换元法研究将函数h（t）进行转化，研究转化后的函数的单调性求其值域【题文】22(本题满分12分，(1)小问5介，(2)小问7分） 己知集合a=l,2,3,2n,，对于a的一个子集s，若存在不大于n的正整数m，使得对于s中的任意一对元素，都有，则称s具有性质p。(1)当n=10时，试判断集合和是否一定具有性质p ?并说明理由。(2)当n=2014时若集合s具有性质p，那么集合是否一定具有性质p ?说明理由，若集合s具有性质p，求集合s中元素个数的最大值【知识点】子集与交集、并集运算的转换；元素与集合关系的判断.a1【答案解析】 (1)略(2)2685解析：解：（1）当n=10时，a=1，2，3，19，20，b=xa|x9=10，11，12，19，20；对于任意不大于10的正整数m，都可以找到集合b中两个元素b1=10，b2=10+m，使得|b1b2|=m成立；集合b不具有性质p；集合c=xa|x=3k1，kn*具有性质p；可取m=110，对于集合c中任意一对元；都有|c1c2|=3|k1k2|1；即集合c具有性质p；（2）当n=2014时，a=1，2，3，4027，4028；若集合s具有性质p，则集合t=4029x|