（全国通用）高考数学 考前三个月复习冲刺 第二篇 第2讲 立体几何 理.doc

第2讲立体几何题型一空间中的平行与垂直问题例1(12分)如图所示，在四棱锥pabcd中，底面abcd是正方形，e、f分别为pc、bd的中点，侧面pad底面abcd，且papdad.(1)求证：ef平面pad；(2)求证：平面pab平面pcd.证明(1)连接ac，则f是ac的中点，又e为pc的中点，在cpa中，efpa，3分又pa平面pad，ef平面pad，4分ef平面pad.5分(2)平面pad平面abcd，平面pad平面abcdad，又cdad，cd平面pad，cdpa.8分又papdad，pad是等腰直角三角形，10分且apd90，即papd.又cdpdd，pa平面pcd，又pa平面pab，平面pab平面pcd.12分评分细则第(1)问得分点1.不说明ef平面pad，扣1分.2.不说明pa平面pad，扣1分.第(2)问得分点1.不说明平面pad平面abcdad，扣2分.2.不说明cdpdd，扣2分.3.不说明pa平面pab，扣1分.第一步：将题目条件和图形结合起来；第二步：根据条件寻找图形中的平行、垂直关系；第三步：和要证结论相结合，寻找已知的垂直、平行关系和要证关系的联系；第四步：严格按照定理条件书写解题步骤.跟踪训练1如图，四棱锥pabcd中，abac，abpa，abcd，ab2cd，e，f，g，m，n分别为pb，ab，bc，pd，pc的中点.(1)求证：ce平面pad；(2)求证：平面efg平面emn. 题型二利用空间向量求角例2(12分)如图，四边形abcd为正方形，pd平面abcd，dpc30，afpc于点f，fecd，交pd于点e.(1)证明：cf平面adf；(2)求二面角dafe的余弦值.规范解答(1)证明pd平面abcd，ad平面abcd，pdad.又cdad，pdcdd，ad平面pcd.2分又pc平面pcd，adpc.又afpc，adafa，pc平面adf，即cf平面adf.4分(2)解设ab1，则在rtpdc中，cd1，又dpc30，pc2，pd，pcd60.由(1)知cfdf，dfcdsin 60，cfcdcos 60.又fecd，de.同理efcd.6分如图所示，以d为原点，建立空间直角坐标系，则a(0,0,1)，e(，0,0)，f(，0)，p(，0,0)，c(0,1,0).7分设m(x，y，z)是平面aef的一个法向量，则又(，0，1)，(0，0)，令x4，则z，m(4,0，).9分由(1)知平面adf的一个法向量为(，1,0).11分设二面角dafe的平面角为，可知为锐角，故cos |cosm，|.故二面角dafe的余弦值为.12分评分细则第(1)问得分点1.addc，pdad及相关证明，每个给1分.2.证明线面垂直时条件完整得2分，不完整扣1分.第(2)问得分点1.写出建系方法可得1分.2.写出相应点、向量的坐标给2分，有错误根据相应情况扣除分数，长度单位可灵活选取.3.求出平面aef的一个法向量给2分，只给出结果没有过程，只给1分.4.写(求)出平面adf的一个法向量给2分.5.求出两个法向量所成角的余弦值给1分.6.转化为所求二面角的平面角的余弦值给1分.第一步：作出(或找出)具有公共交点的三条相互垂直的直线；第二步：建立空间直角坐标系，设出特征点坐标；第三步：求半平面的法向量n，m；第四步：求法向量n，m的夹角或cosm，n；第五步：将法向量的夹角转化为二面角，要注意直观判定二面角的大小；第六步：反思回顾.查看关键点、易错点及解题规范.跟踪训练2如图，四棱锥pabcd中，pa平面abcd，e为bd的中点，g为pd的中点，dabdcb，eaebab1，pa，连接ce并延长交ad于f.(1)求证：ad平面cfg；(2)求平面bcp与平面dcp的夹角的余弦值.答案精析第2讲立体几何跟踪训练1证明(1)方法一取pa的中点h，连接eh，dh.又e为pb的中点，所以eh綊ab.又cd綊ab，所以eh綊cd.所以四边形dceh是平行四边形，所以cedh.又dh平面pad，ce平面pad.所以ce平面pad.方法二连接cf.因为f为ab的中点，所以afab.又cdab，所以afcd.又afcd，所以四边形afcd为平行四边形因此cfad，又ad平面pad，cf平面pad，所以cf平面pad.因为e，f分别为pb，ab的中点，所以efpa.又pa平面pad，ef平面pad，所以ef平面pad.因为cfeff，故平面cef平面pad.又ce平面cef，所以ce平面pad.(2)因为e、f分别为pb、ab的中点，所以efpa.又因为abpa，所以efab，同理可证abfg.又因为effgf，ef平面efg，fg平面efg.所以ab平面efg.又因为m，n分别为pd，pc的中点，所以mncd，又abcd，所以mnab，所以mn平面efg.又因为mn平面emn，所以平面efg平面emn.跟踪训练2(1)证明在abd中，因为e为bd中点，所以eaebedab1，故bad，abeaeb.因为dabdcb，所以eabecb，从而有fedbecaeb，所以fedfea.故efad，affd，所以efab，gfpa.又因为pa平面abcd，abad，所以gfad，efad，又gfeff，故ad平面cfg.(2)解以a为坐标原点建立如图所示的坐标系，则a(0,0,0)，b(1,0,0)，