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2010-2011学年第二学期本科试卷 学 院: 专 业: 学号: 姓名: 装订线 学院课程名称:线性代数(B）题号一二三四五六七八九十总成绩得分阅卷人复核人得分一、填空题（共15分，每小题3分）1. 设三阶行列式，则元素2的代数余子式的值为_-20_.2. 已知，则. 3. 设阶矩阵的各行元素之和均为零，且，则齐次线性方程组的通解为_.4. 设，则矩阵的秩_3_.5. 设为阶正交矩阵，则=.得分二、选择题（共15分，每小题3分）1. 下列矩阵不是初等矩阵的是( C ).(A) ； (B) ； (C) ； (D) .2. 向量能由线性表示是向量组线性相关的 ( B ).(A) 必要条件； (B) 充分条件； (C) 充分必要条件； (D) 既非充分也非必要条件.3. 设向量与向量正交，则（ A ）. (A) 3； (B) 2； (C) 1； (D) 0.4. 设是非奇异矩阵的一个特征值，则矩阵有一个特征值等于 ( B ).(A) ； (B) ； (C) ； (D) .5. 二次型的矩阵为 ( C ).(A) ； (B) ； (C) ； (D) .得分三、（9分）求解矩阵方程，其中，.解：，故可逆，且.得分四、（8分）设向量组线性相关，而向量组线性无关，证明：(1)向量能由线性表示；(2)向量不能由线性表示.证：(1)由向量组线性无关，知向量组线性无关，而向量组线性相关，故能由线性表示.(2)假设向量能由向量组线性表示，比如. 由向量能由线性表示，设，则，这与向量组线性无关矛盾，故向量不能由向量组线性表示.得分五、（9分）求向量组， ，的秩和一个极大无关组，并把其余向量用该极大无关组线性表示.解：对进行初等行变换，得于是向量组的秩为3，它的一个极大无关组为，且有 ，.得分六、（9分）求非齐次线性方程组的通解（用对应的齐次线性方程组的基础解系表示通解）. . 解： 可见，齐次方程组的基础解系中含有1个解向量，故方程组的通解为，.得分七、（9分）设矩阵有一个特征向量，求、和对应的特征值.解：由，知，从而.得分八、（9分）用Schmidt正交化方法将向量组，规范正交化.解：取，再将它们单位化，得 ，则即为所求.得分九、（9分）求正交变换将二次型化为标准形.解：二次型的矩阵为，由，知特征值为， ，故二次型的标准形为.对于，解方程组，即，得到特征向量；对于，解方程组，即，得到特征向量.单位化，得，. 令，则所求正交变换为，即 .得分十、（8分）已知实矩阵满足条件：(1),其中是的代数余子式；(2). 证明
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