重庆市杨家坪中学高二数学上学期期中试题 文（含解析）.doc

2015-2016学年重庆市杨家坪中学高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（每小题5分，共60分）1直线xy1=0不通过( )a第一象限b第二象限c第三象限d第四象限2已知圆c：x2+y2+mx4=0上存在两点关于直线xy+3=0对称，则实数m的值( )a8b4c6d无法确定3直线x+y+1=0被圆x2+y2=1所截得的弦长为( )ab1cd4已知底面边长为1，侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的表面积为( )abc2d45如图，某几何体的正视图（主视图），侧视图（左视图）和俯视图分别是等边三角形，等腰三角形和菱形，则该几何体体积为( )ab4cd26在正三棱柱abca1b1c1中，若ab=2，aa1=1，则点a到平面a1bc的距离为( )abcd7已知四棱锥sabcd的所有棱长都相等，e是sb的中点，则ae，sd所成的角的正弦值为( )abcd8设a、b、c分别是abc中a、b、c所对边的边长，则直线xsina+ay+c=0与bxysinb+sinc=0的位置关系是( )a垂直b平行c重合d相交但不垂直9直线ax+by+c=0与圆x2+y2=9相交于两点m，n，若c2=a2+b2，则（o为坐标原点）等于( )a7b14c7d1410曲线y=+1（2x2）与直线y=kx2k+4有两个不同的交点时实数k的范围是( )a（，b（，+）c（，）d（，）（，+）11如图，正方体abcda1b1c1d1中，点p为线段ad1上一动点，点q为底面abcd内（含边界）一动点，m为pq的中点，点m构成的点集是一个空间几何体，则该几何体为( )a棱柱b棱锥c棱台d球12已知圆c：（x3）2+（y4）2=1和两点a（m，0），b（m，0）（m0），若圆c上存在点p，使得apb=90，则m的最大值为( )a7b6c5d 4二、填空题（每小题5分，共20分）13直线xy+1=0的倾斜角是_14已知正abc的边长为1，那么在斜二侧画法中它的直观图abc的面积为_15已知三条直线ax+2y+8=0，4x+3y=10和2xy=10中没有任何两条平行，但它们不能构成三角形的三边，则实数a的值为_16在三棱锥pabc中，侧棱pa，pb，pc两两垂直，q为底面abc内一点，若点q到三个侧面的距离分别为3、4、5，则过点p和q的所有球中，表面积最小的球的表面积为_三、解答题（70分）17已知直线l1：3x+4y2=0和l2：2x5y+14=0的相交于点p求：（）过点p且平行于直线2xy+7=0的直线方程；（）过点p且垂直于直线2xy+7=0的直线方程18如图，三棱柱abca1b1c1的侧棱aa1底面abc，acb=90，e是棱cc1上中点，f是ab中点，ac=1，bc=2，aa1=4（1）求证：cf平面aeb1；（2）求三棱锥cab1e的体积19已知圆c：x2+y2+2x4y+3=0（1）若圆c的切线在x轴、y轴上的截距相等，求切线方程；（2）从圆c外一点p（x1，y1）向该圆引一条切线，切点为m且有|pm|=|po|（o为原点），求使|pm|取得最小值时点p的坐标20如图，三棱柱abca1b1c1中，侧棱a1a底面abc，ac=bc，d、e、f分别为棱ab，bc，a1c1的中点（1）证明：ef平面a1cd；（2）证明：平面a1cd平面abb1a121如图，直三棱柱abca1b1c1中，acab，ab=2aa1，m是ab的中点，a1mc1是等腰三角形，d为cc1的中点，e为bc上一点（1）若de平面a1mc1，求；（2）求直线bc和平面a1mc1所成角的余弦值22已知c过点p（1，1），且与m：（x+2）2+（y+2）2=r2（r0）关于直线x+y+2=0对称（）求c的方程；（）设q为c上的一个动点，求的最小值；（）过点p作两条相异直线分别与c相交于a，b，且直线pa和直线pb的倾斜角互补，o为坐标原点，试判断直线op和ab是否平行？请说明理由2015-2016学年重庆市杨家坪中学高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（每小题5分，共60分）1直线xy1=0不通过( )a第一象限b第二象限c第三象限d第四象限【考点】确定直线位置的几何要素【专题】直线与圆【分析】把直线的方程化为斜截式，可得直线的倾斜角为90，在y轴上的截距等于1，故直线经过第一、三、四象限【解答】解：直线xy1=0即 y=x1，它的斜率等于1，倾斜角为90，在y轴上的截距等于1，故直线经过第一、三、四象限，不经过第二象限，故选 b【点评】本题主要考查直线的斜截式方程，确定直线位置的几何要素，属于基础题2已知圆c：x2+y2+mx4=0上存在两点关于直线xy+3=0对称，则实数m的值( )a8b4c6d无法确定【考点】直线和圆的方程的应用；恒过定点的直线【专题】计算题【分析】因为圆上两点a、b关于直线xy+3=0对称，所以直线xy+3=0过圆心（，0），由此可求出m的值【解答】解：因为圆上两点a、b关于直线xy+3=0对称，所以直线xy+3=0过圆心（，0），从而+3=0，即m=6故选c【点评】本题考查圆的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答3直线x+y+1=0被圆x2+y2=1所截得的弦长为( )ab1cd【考点】直线与圆的位置关系【专题】直线与圆【分析】由圆的方程可得圆心坐标和半径，再利用点到直线的距离公式求出圆心到直线x+y+1=0的距离d，即可求出弦长为2，运算求得结果【解答】解：圆x2+y2=1的圆心o（0，0），半径等于1，圆心到直线x+y+1=0的距离d=，故直线x+y+1=0被圆x2+y2=1所截得的弦长为 2=，故选 d【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，弦长公式的应用，属于中档题4已知底面边长为1，侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的表面积为( )abc2d4【考点】球的体积和表面积【专题】计算题；数形结合；空间位置关系与距离；立体几何；球【分析】画出图形，正四棱锥pabcd的外接球的球心在它的高po1上，记为o，求出po1，oo1，解出球的半径，求出球的表面积即可【解答】解：正四棱锥pabcd的外接球的球心在它的高po1上，记为o，po=ao=r，po1=1，oo1=r1，或oo1=1r（此时o在po1的延长线上），在rtao1o中，r2=1+（r1）2得r=1，球的表面积s=4r2=4故选：d【点评】本题考查了球的表面积，球的内接体问题，考查计算能力，是基础题5如图，某几何体的正视图（主视图），侧视图（左视图）和俯视图分别是等边三角形，等腰三角形和菱形，则该几何体体积为( )ab4cd2【考点】由三视图求面积、体积【专题】立体几何【分析】根据已知中的三视图及相关视图边的长度，我们易判断出该几何体的形状及底面积和高的值，代入棱锥体积公式即可求出答案【解答】解：由已知中该几何中的三视图中有两个三角形一个菱形可得这个几何体是一个四棱锥由图可知，底面两条对角线的长分别为2，2，底面边长为2故底面棱形的面积为=2侧棱为2，则棱锥的高h=3故v=2故选c【点评】本题考查的知识点是由三视图求面积、体积其中根据已知求出满足条件的几何体的形状及底面面积和棱锥的高是解答本题的关键6在正三棱柱abca1b1c1中，若ab=2，aa1=1，则点a到平面a1bc的距离为( )abcd【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；棱柱的结构特征【专题】计算题【分析】要求点a到平面a1bc的距离，可以求三棱锥底面a1bc上的高，由三棱锥的体积相等，容易求得高，即是点到平面的距离【解答】解：设点a到平面a1bc的距离为h，则三棱锥的体积为即 故选：b【点评】本题求点到平面的距离，可以转化为三棱锥底面上的高，用体积相等法，容易求得“等积法”是常用的求点到平面的距离的方法7已知四棱锥sabcd的所有棱长都相等，e是sb的中点，则ae，sd所成的角的正弦值为( )abcd【考点】异面直线及其所成的角【专题】空间角【分析】作so平面abcd，交平面abcd于点o，以o为原点，os为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法能求出ae，sd所成的角的正弦值【解答】解：作so平面abcd，交平面abcd于点o，以o为原点，os为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，令四棱锥的棱长为2，则a（1，1，0），d（1，1，0），s（0，0，），e（），=（，），=（1，1，），设ae，sd所成的角为，cos=|cos|=，sin=ae，sd所成的角的正弦值为故选：b【点评】本题考查异面直线所成角的求法，是基础题，解题时要注意线线、线面、面面间的位置关系和性质的合理运用，注意空间思维能力的培养8设a、b、c分别是abc中a、b、c所对边的边长，则直线xsina+ay+c=0与bxysinb+sinc=0的位置关系是( )a垂直b平行c重合d相交但不垂直【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系【专题】计算题【分析】先由直线方程求出两直线的斜率，再利用正弦定理化简斜率之积等于1，故两直线垂直【解答】解：两直线的斜率分别为和 ，abc中，由正弦定理得=2r，r为三角形的外接圆半径，斜率之积等于，故两直线垂直，故选a【点评】本题考查由直线方程求出两直线的斜率，正弦定理得应用，两直线垂直的条件9直线ax+by+c=0与圆x2+y2=9相交于两点m，n，若c2=a2+b2，则（o为坐标原点）等于( )a7b14c7d14【考点】直线与圆相交的性质；平面向量数量积的运算【专题】计算题【分析】由题意，直线ax+by+c=0与圆x2+y2=9组成方程组，消去y，得到x的一元二次方程，求得x1x2；同理，可求得y1y2；从而求出的值【解答】解：设m（x1，y1），n（x2，y2），则由方程组，消去y，得（a2+b2）x2+2acx+（c29b2）=0，x1x2=；消去x，得（a2+b2）y2+2bcy+（c29a2）=0，y1y2=；=x1x2+y1y2=7；故选a【点评】本题通过平面向量数量积的坐标表示，考查了直线与圆组成方程组的问题，是常见的基础题10曲线y=+1（2x2）与直线y=kx2k+4有两个不同的交点时实数k的范围是( )a（，b（，+）c（，）d（，）（，+）【考点】直线与圆相交的性质【专题】直线与圆【分析】根据直线过定点，以及直线和圆的位置关系即可得到结论利用数形结合作出图象进行研究即可【解答】解：由y=k（x2）+4知直线l过定点（2，4），将y=1+，两边平方得x2+（y1）2=4，则曲线是以（0，1）为圆心，2为半径，且位于直线y=1上方的半圆当直线l过点（2，1）时，直线l与曲线有两个不同的交点，此时1=2k+42k，解得k=，当直线l与曲线相切时，直线和圆有一个交点，圆心（0，1）到直线kxy+42k=0的距离d=，解得k=，要使直线l：y=kx+42k与曲线y=1+有两个交点时，则直线l夹在两条直线之间，因此k，故选：a【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，利用数形结合是解决本题的关键，考查学生的计算能力11如图，正方体abcda1b1c1d1中，点p为线段ad1上一动点，点q为底面abcd内（含边界）一动点，m为pq的中点，点m构成的点集是一个空间几何体，则该几何体为( )a棱柱b棱锥c棱台d球【考点】棱柱的结构特征【专题】空间位置关系与距离【分析】先讨论p点与a点重合时，m点的轨迹，再分析把p点从a点向上沿线段ad1移动，在移动过程中m点轨迹，最后结合棱柱的几何特征可得答案【解答】解：q点不能超过边界，若p点与a点重合，设ab中点e、ad中点f，移动q点，则此时m点的轨迹为：以ae、af为邻边的正方形；下面把p点从a点向上沿线段ad1移动，在移动过程中可得m点轨迹为正方形，最后当p点与d1点重合时，得到最后一个正方形，故所得几何体为棱柱，故选：a【点评】本题考查的知识点是棱柱的几何特征，解答的关键是分析出p点从a点向上沿线段ad1移动，在移动过程中m点轨迹12已知圆c：（x3）2+（y4）2=1和两点a（m，0），b（m，0）（m0），若圆c上存在点p，使得apb=90，则m的最大值为( )a7b6c5d4【考点】直线与圆的位置关系【专题】直线与圆【分析】根据圆心c到o（0，0）的距离为5，可得圆c上的点到点o的距离的最大值为6再由apb=90，可得po=ab=m，可得m6，从而得到答案【解答】解：圆c：（x3）2+（y4）2=1的圆心c（3，4），半径为1，圆心c到o（0，0）的距离为5，圆c上的点到点o的距离的最大值为6再由apb=90可得，以ab为直径的圆和圆c有交点，可得po=ab=m，故有m6，故选：b【点评】本题主要直线和圆的位置关系，求得圆c上的点到点o的距离的最大值为6，是解题的关键，属于中档题二、填空题（每小题5分，共20分）13直线xy+1=0的倾斜角是45【考点】直线的倾斜角【分析】把已知直线的方程变形后，找出直线的斜率，根据直线斜率与倾斜角的关系，即直线的斜率等于倾斜角的正切值，得到倾斜角的正切值，由倾斜角的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出倾斜角的度数【解答】解：由直线xy+1=0变形得：y=x+1所以该直线的斜率k=1，设直线的倾斜角为，即tan=1，（0，180），=45故答案为：45【点评】此题考查了直线的倾斜角，以及特殊角的三角函数值熟练掌握直线倾斜角与斜率的关系是解本题的关键，同时注意直线倾斜角的范围14已知正abc的边长为1，那么在斜二侧画法中它的直观图abc的面积为【考点】斜二测法画直观图【专题】数形结合；定义法；空间位置关系与距离【分析】由直观图和原图的面积之间的关系，直接求解即可【解答】解：正三角形的高oa=，底bc=1，在斜二侧画法中，bc=bc=1，0a=，则abc的高ad=0asin45=，则abc的面积为s=1=，故答案为：【点评】本题考查斜二测画法中原图和直观图面积之间的关系，属基本运算的考查15已知三条直线ax+2y+8=0，4x+3y=10和2xy=10中没有任何两条平行，但它们不能构成三角形的三边，则实数a的值为1【考点】两条直线的交点坐标【专题】直线与圆【分析】由已知可得直线ax+2y+8=0必经过4x+3y=10和2xy=10的交点，求出即可【解答】解：由三条直线ax+2y+8=0，4x+3y=10和2xy=10中没有任何两条平行，但它们不能构成三角形的三边，则直线ax+2y+8=0必经过4x+3y=10和2xy=10的交点联立解得，把x=4，y=2代入ax+2y+8=0得a=1故答案为1【点评】正确理解题意是解题的关键16在三棱锥pabc中，侧棱pa，pb，pc两两垂直，q为底面abc内一点，若点q到三个侧面的距离分别为3、4、5，则过点p和q的所有球中，表面积最小的球的表面积为50【考点】球的体积和表面积【专题】球【分析】根据题意，点q到三个侧面的垂线与侧棱pa、pb、pc围成一个棱长为3、4、5的长方体，分析可知以pq为直径的球是它的外接球，此时过点p和q的所有球中，表面积最小的球，即可求解【解答】解：根据题意：点q到三个侧面的垂线与侧棱pa、pb、pc围成一个棱长为3、4、5的长方体，内部图形如图则其外接球的直径即为pq且为长方体的体对角线，过点p和q的所有球中，此时外接球的表面积最小2r=r=由球的表面积公式得：s=4r2=50故答案为：50【点评】本题主要考查空间几何体的构造和组合体的基本关系判断长方体的对角线是过p和q的所有球中，最小的球是解题的关键三、解答题（70分）17已知直线l1：3x+4y2=0和l2：2x5y+14=0的相交于点p求：（）过点p且平行于直线2xy+7=0的直线方程；（）过点p且垂直于直线2xy+7=0的直线方程【考点】直线的点斜式方程【专题】计算题【分析】（）联立两直线的方程即可求出交点p的坐标，求出直线2xy+7=0的斜率为2，所求直线与直线2xy+7=0平行得到斜率相等都为2，根据p的坐标和斜率2写出直线方程即可；（）根据两直线垂直时斜率乘积为1求出所求直线的斜率，根据p和斜率写出直线方程即可【解答】解：由解得，即点p坐标为p（2，2），直线2xy+7=0的斜率为2（）过点p且平行于直线2xy+7=0的直线方程为y2=2（x+2）即2xy+6=0；（）过点p且垂直于直线2xy+7=0的直线方程为即x+2y2=0【点评】此题考查学生会利用两直线的方程求两直线的交点坐标，掌握两直线平行及垂直时斜率的关系，会根据一点和斜率写出直线的点斜式方程，是一道综合题18如图，三棱柱abca1b1c1的侧棱aa1底面abc，acb=90，e是棱cc1上中点，f是ab中点，ac=1，bc=2，aa1=4（1）求证：cf平面aeb1；（2）求三棱锥cab1e的体积【考点】直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积【专题】空间位置关系与距离【分析】（1）取ab1的中点g，联结eg，fg，由已知条件推导出四边形fgec是平行四边形，由此能证明cf平面ab1e（2）由=，利用等积法能求出三棱锥cab1e的体积【解答】（1）证明：取ab1的中点g，联结eg，fgf，g分别是棱ab、ab1的中点，又四边形fgec是平行四边形，cfeg，cf不包含于平面ab1e，eg平面ab1e，cf平面ab1e（2）解：aa1底面abc，cc1底面abc，cc1cb，又acb=90，bcac，bc平面acc1a1，即bc面ace，点b到平面aeb1的距离为bc=2，又bb1平面ace，b1到平面ace的距离等于点b到平面ace的距离，即为2，=【点评】本题考查直线与平面平行的证明，考查三棱锥的体积的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养19已知圆c：x2+y2+2x4y+3=0（1）若圆c的切线在x轴、y轴上的截距相等，求切线方程；（2）从圆c外一点p（x1，y1）向该圆引一条切线，切点为m且有|pm|=|po|（o为原点），求使|pm|取得最小值时点p的坐标【考点】直线与圆相交的性质【专题】综合题；直线与圆【分析】（1）分类讨论，利用待定系数法给出切线方程，然后再利用圆心到切线的距离等于半径列方程求系数即可；（2）可先利用pm（pm可用p点到圆心的距离与半径来表示）=po，求出p点的轨迹（求出后是一条直线），然后再将求pm的最小值转化为求直线上的点到原点的距离po之最小值【解答】解：（ 1）将圆c配方得（x+1）2+（y2）2=2当直线在两坐标轴上的截距为零时，设直线方程为y=kx，由直线与圆相切得=，即k=2，从而切线方程为y=（2）x当直线在两坐标轴上的截距不为零时，设直线方程为x+ya=0，由直线与圆相切得x+y+1=0，或x+y3=0所求切线的方程为y=（2）xx+y+1=0或x+y3=0（2）由|po|=|pm|得，x12+y12=（x1+1）2+（y12）222x14y1+3=0.即点p在直线l：2x4y+3=0上，|pm|取最小值时即|op|取得最小值，直线opl，直线op的方程为2x+y=0解方程组得p点坐标为（，）【点评】本题重点考查了直线与圆的位置关系，切线长问题一般会考虑到点到圆心距、切线长、半径满足勾股定理列方程；弦长问题一般会利用垂径定理求解20如图，三棱柱abca1b1c1中，侧棱a1a底面abc，ac=bc，d、e、f分别为棱ab，bc，a1c1的中点（1）证明：ef平面a1cd；（2）证明：平面a1cd平面abb1a1【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定【专题】空间位置关系与距离【分析】（1）根据线面平行的判定定理证明efa1d即可证明ef平面a1cd；（2）根据面面垂直的判定定理即可证明平面a1cd平面abb1a1【解答】证明：（1）连结de，d，e分别是ab，bc的中点deac，de=ac，f为棱a1c1的中点a1f=a1c1，a1fac，即dea1f，de=a1f，四边形a1def为平行四边形，a1def又ef平面a1cd，a1d平面a1cd，ef平面a1cd（2）a1a平面abc，cd平面abc，aa1cd，ac=bc，d为ab的中点，abcd，a1aab=acd平面abb1a1cd平面a1cd，平面a1cd平面abb1a1【点评】本题主要考查空间直线和平面平行以及平面和平面垂直的判定，要求熟练掌握相应的判定定理21如图，直三棱柱abca1b1c1中，acab，ab=2aa1，m是ab的中点，a1mc1是等腰三角形，d为cc1的中点，e为bc上一点（1）若de平面a1mc1，求；（2）求直线bc和平面a1mc1所成角的余弦值【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的性质【专题】空间角【分析】（1）取bc中点n，连结mn，c1n，由已知得a1，m，n，c1四点共面，由已知条件推导出dec1n，从而求出（2）连结b1m，由已知条件得四边形abb1a1为矩形，b1c1与平面a1mc1所成的角为b1c1m，由此能求出直线bc和平面a1mc1所成的角的余弦值【解答】解：（1）取bc中点n，连结mn，c1n，m，n分别为ab，cb中点mnaca1c1，a1，m，n，c1四点共面，且平面bcc1b1平面a1mnc1=c1n，又de平面bcc1b1，且de平面a1mc1，dec1n，d为cc1的中点，e是cn的中点，（2）连结b1m，因为三棱柱abca1b1c1为直三棱柱，aa1平面abc，aa1ab，即四边形abb1a1为矩形，且ab=2aa1，m是ab的中点，b1ma1m，又